量子力学的基本概念

1. 量子的基本概念

1.1 量子化 (Quantization)

什么是量子化？简单来说，就是物质的状态不是连续的，而是分立的。

• 例 1：原子的分立能级

  原子中的电子只能处于一系列不连续的、特定的能量状态（能级）上，就像楼梯的台阶，而不能停留在台阶之间。

• 例 2：光的双缝干涉实验

  • 这个实验完美地揭示了光的波粒二象性 (Wave-Particle Duality)。
  • 探测时（只开单缝）：光表现出粒子性。一个个光子像小球一样通过缝隙。
  • 不探测时（双缝全开）：光表现出波性，形成明暗相间的干涉条纹。
  • 关键现象：即使是单个光子逐一发射，最终也会形成干涉条纹，这被称为”光子与自身发生干涉”，是量子世界独有的奇特行为。

• 例 3：电子的干涉实验

  • 不仅光子，电子这样的实物粒子也具有波动性。
  • 电子束通过双缝同样会产生干涉条纹，这证实了物质波（德布罗意波，de Broglie Wave）的存在。

核心概念：波粒二象性

以上实验共同指向一个核心概念：微观粒子（如光子、电子）同时具有粒子和波两种属性。

1.2 本质：量子叠加 (Quantum Superposition)

如何在一个统一的框架下理解看似矛盾的波和粒子？答案是量子相干叠加。

• 本质：一个量子系统可以同时处于多种可能状态的”叠加”中。当进行观测时，它会随机地”坍缩”到其中一个确定的状态。

• 数学描述：我们使用一种叫做”狄拉克符号”的记法来表示量子态。例如，一个量子比特 (Qubit) 的状态：

  • 可以是一个确定的粒子态：$|0⟩$ 或 $|1⟩$；

  • 也可以是它们的叠加态（体现波动性）：

    $|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩$

  • 这个叠加态表示该量子比特有 50% 的概率是 $|0⟩$，50% 的概率是 $|1⟩$。这两个数字来自玻恩规则 (Born Rule)：测得某个分量的概率等于其振幅模的平方，即 $|\frac{1}{\sqrt{2}}{|}^2=\frac{1}{2}$；两个概率之和 $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，说明该态是归一化的。

• 意义：通过叠加原理，量子力学将粒子（确定的状态）和波（多种可能性的叠加）的行为统一在了一起。

1.3 总结：数学框架——希尔伯特空间 (Hilbert Space)

所有这些量子态（如 $|0⟩$、$|1⟩$、$|\psi ⟩$）都存在于一个被称为**希尔伯特空间 (Hilbert Space)**的抽象数学空间中。这个框架为描述和计算量子世界的一切现象提供了坚实的数学基础。

2. 状态表示：希尔伯特空间 (Hilbert Space)

希尔伯特空间是量子力学中用来描述量子态的数学舞台。简单来说，它是一个完备的、带有内积的线性复数空间。

为了理解这个概念，我们把它拆解成两个部分来学习：“复数空间”和”线性空间”。

2.1 为什么是”复数”空间？

• 量子态的系数是复数，而不仅仅是实数。

• 一个复数 $c=R{e}^{i\varphi }$ 包含两个关键信息：

  • 振幅 (Amplitude)：$R$（其平方 $R^2$ 决定了测量到该状态的概率）；
  • 相位 (Phase)：$\varphi$（决定了量子态之间如何发生干涉）。

• 根据欧拉公式 (Euler’s Formula)，我们可以将其展开，这与复平面上的一个矢量相对应：

  $c=R{e}^{i\varphi }=R(\cos \varphi +i\sin \varphi )$

  这个展开式的几何图像是：复数 $c$ 对应复平面上的一个点，它到原点的距离（矢量长度）是模长 $R$，它与实轴正方向的夹角是辐角（相角）$\varphi$。

2.2 为什么是”线性空间”？

一个”空间”在数学上是由元素和作用于元素的操作所定义的。在线性代数中，我们最熟悉的就是由矢量和矩阵构成的空间。

• 元素（单元）：量子态，表示为矢量 (Vector)，例如 $|\psi ⟩$。

• 操作（变换）：对量子态的演化或测量，表示为线性算符 (Linear Operator)，通常用**矩阵 (Matrix)**来实现，例如算符 $A$。

• 变换过程：一个态 $|{\psi }_1⟩$ 经过算符 $A$ 的作用，会转变为一个新的态 $|{\psi }_2⟩$：

  $|{\psi }_2⟩=A|{\psi }_1⟩$

空间的属性

之所以称之为”空间”，是因为这个集合满足特定的数学规则：

1. 封闭性 (Closure)

   • 空间内的任意元素（矢量）进行线性组合后，结果仍然是空间内的一个元素。
   • 物理意义：这就是量子叠加原理的数学体现。任何几个有效的量子态叠加后，形成的新状态依然是一个有效的量子态。

2. 定义了距离/度量 (Metric)

   • 空间中必须有一种方法来衡量两个元素（矢量）之间的”距离”或”相似度”。

   • 在希尔伯特空间中，这是通过内积 (Inner Product)来实现的：内积可以定义范数 (Norm)，范数则可以定义距离。

   • 例如，两个态 $|x⟩$ 与 $|y⟩$ 之间的距离可以表示为”差矢量”的长度：

     $d(|x⟩,|y⟩)=\Vert |x⟩-|y⟩\Vert$

算符的线性 (Linearity)

“线性”是对操作（算符）性质的严格约束，它保证了叠加原理的普适性：

1. 算符作用于态的线性组合：

   $A(\alpha |{\psi }_1⟩+\beta |{\psi }_2⟩)=\alpha (A|{\psi }_1⟩)+\beta (A|{\psi }_2⟩)$

2. 算符本身的线性组合：

   $(\alpha A+\beta B)|\psi ⟩=\alpha (A|\psi ⟩)+\beta (B|\psi ⟩)$

（其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 为任意复数。）

2.3 基矢与维度 (Basis and Dimension)

在一个线性空间中，我们需要一个”坐标系”来定位和描述每一个矢量（量子态）。这个”坐标系”就是由一组**基矢 (Basis Vectors)**构成的。

基矢是一组最基本的、线性无关的矢量，空间中的任何矢量都可以表示为这组基矢的线性组合。

• 例：二维空间中的任意矢量

  • 我们可以用两个最简单的基矢来表示它：

    $|0⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),|1⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

  • 那么，任何一个二维矢量（比如一个量子比特的状态）都可以写成：

    $|\psi ⟩=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=x\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=x|0⟩+y|1⟩$

标准正交基 (Orthonormal Basis)

在量子力学中，我们通常使用一种特殊的基矢——标准正交基。它满足两个条件：

1. 正交性 (Orthogonality)：任意两个不同的基矢互相”垂直”，它们的内积为 0。例如 $⟨0|1⟩=0$。
2. 归一性 (Normalization)：每个基矢自身的”长度”为 1。这个长度被称为范数 (Norm)。例如 $⟨0|0⟩=1$、$⟨1|1⟩=1$。

维度 (Dimension)

空间的维度 = 构成这个空间所需的最少基矢的数量。

• 二维空间（Qubit）：需要 2 个基矢，如 $\{|0⟩,|1⟩\}$；

• 三维空间：需要 3 个基矢，如

  $\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\right\}$

2.4 基的变换 (Change of Basis)

描述同一个矢量，我们可以选用不同的”坐标系”（基）。同一个量子态，在不同的基下，其坐标表示（展开系数）是不同的。

• 标准基 (Computational Basis，又称计算基)

  • 这是我们最常用的基，对应于直角坐标系：

    $|0⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),|1⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

• 对角基 / Hadamard 基 (Diagonal Basis)

  • 这是另一组常用的标准正交基，相当于将标准基”旋转 45°”：

    $|+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),|-⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$

  • “旋转 45°“可以从数值上直接看出：在以 $|0⟩$ 分量为横轴、$|1⟩$ 分量为纵轴的系数平面上，矢量 $|+⟩$ 的两个坐标都是 $\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707$，它与横轴的夹角是 $\arctan \frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}}=\arctan 1=45°$，而 $|0⟩$ 本身沿横轴方向。

  • 我们还应验证它确实是标准正交基。正交性由下式给出：

    $⟨+|-⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(⟨0|+⟨1|)\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩)=\frac{1}{2}(⟨0|0⟩-⟨0|1⟩+⟨1|0⟩-⟨1|1⟩)=\frac{1}{2}(1-0+0-1)=0$

    归一性 $⟨+|+⟩=1$ 的验证见下面关于范数的计算。

重点概念：范数 (Norm)

• 定义：范数是矢量的”长度”或”大小”。对于一个量子态 $|\psi ⟩$，它的范数通过其与自身的内积来计算：

  $\Vert |\psi ⟩\Vert =\sqrt{⟨\psi |\psi ⟩}$

• 物理意义：在量子力学中，所有合法的量子态矢量都必须是归一化的，即它们的范数必须等于 1。这保证了所有可能性的概率之和为 1。

• 为什么有 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 因子？

  • 这是为了确保新的基矢 $|+⟩$ 和 $|-⟩$ 的范数为 1。

  • 以 $|+⟩$ 为例，列矢量的范数平方等于各分量模方之和，故其范数的平方为：

    $\Vert |+⟩{\Vert }^2=(\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^2+(\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$

3. 数学工具：狄拉克符号与内积

为了方便地在希尔伯特空间中进行计算，物理学家狄拉克发明了一套简洁而强大的符号系统，即**狄拉克符号 (Dirac Notation)**或 Bra-Ket 符号。

3.1 狄拉克符号 (Bra-Ket Notation)

这套符号将矢量优雅地拆分为两部分：

1. 右矢 (Ket)：$|\psi ⟩$

   • 代表一个量子态，形式上是一个列矢量。

   • 例如，一个任意的量子比特状态：

     $|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩\to \left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$

2. 左矢 (Bra)：$⟨\psi |$

   • 是右矢 $|\psi ⟩$ 的共轭转置 (Conjugate Transpose)，形式上是一个行矢量。

   • 这个操作也被记为”匕首符 (dagger)“，即 $⟨\psi |=(|\psi ⟩{)}^{†}$。

   • 计算过程分两步：先对矢量中的每个复数元素取共轭（$z\mapsto z^{\ast }$），然后将列矢量转置为行矢量：

     $⟨\psi |={\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)}^{†}=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }^{\ast }& {\beta }^{\ast }\end{array}\right)$

3.2 内积 (Inner Product)

内积是衡量两个矢量”相似度”或”投影关系”的运算。在狄拉克符号中，内积就是将一个左矢和一个右矢”并”在一起。

• 计算方式：$⟨\varphi |\psi ⟩$

  • 将左矢 $⟨\varphi |$（行矢量）与右矢 $|\psi ⟩$（列矢量）进行矩阵乘法。

  • 例如，对于 $|\psi ⟩=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$ 和 $|\varphi ⟩=\left(\begin{array}{c}\gamma \\ \delta \end{array}\right)$：

    $⟨\varphi |\psi ⟩=\left(\begin{array}{cc}{\gamma }^{\ast }& {\delta }^{\ast }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)={\gamma }^{\ast }\alpha +{\delta }^{\ast }\beta$

  • 注意：内积的结果是一个标量（一个复数）。

• 与范数的关系：一个矢量与自身的内积，等于其范数的平方：

  $⟨\psi |\psi ⟩=\left(\begin{array}{cc}{\alpha }^{\ast }& {\beta }^{\ast }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)={\alpha }^{\ast }\alpha +{\beta }^{\ast }\beta =|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=\Vert |\psi ⟩{\Vert }^2$

  （其中 ${\alpha }^{\ast }\alpha =|\alpha {|}^2$ 对任何复数成立。）

  • 根据上一节的归一化要求，对于任何一个合法的量子态，必须满足 $⟨\psi |\psi ⟩=1$。

3.3 幺正变换 (Unitary Transformation)

量子态的演化（比如经过一个量子门）是通过幺正变换来实现的。幺正变换由幺正矩阵 (Unitary Matrix) $U$ 所描述。

• 数学定义：一个算符（矩阵）$U$ 是幺正的，当且仅当它的共轭转置 $U^{†}$ 等于它的逆 $U^{-1}$：

  $U^{†}U=U{U}^{†}=I$

  其中 $I$ 是单位矩阵。由 $U^{†}U=I$ 立即得到 $U^{-1}=U^{†}$，所以幺正变换总是可逆的。

• 核心特性：幺正变换保持矢量的范数不变，也就是说，变换前后的矢量”长度”不变。这个结论需要证明，而证明只需两行。设 $|{\psi }^{\prime }⟩=U|\psi ⟩$，使用乘积的共轭转置规则 $(AB{)}^{†}=B^{†}{A}^{†}$（对 $A=U$、$B=|\psi ⟩$ 应用，注意 $|{\psi }^{\prime }⟩=U|\psi ⟩$ 的左矢是 $⟨{\psi }^{\prime }|=⟨\psi |U^{†}$）：

  $⟨{\psi }^{\prime }|{\psi }^{\prime }⟩=⟨\psi |U^{†}U|\psi ⟩=⟨\psi |I|\psi ⟩=⟨\psi |\psi ⟩$

  同理，任意两个态的内积在幺正变换下也不变：把上式中两处相同的态换成两个不同的态，推导逐字成立。

• 物理意义：量子系统的演化必须是概率守恒的。如果一个态在演化前是归一化的（总概率为 1），那么演化后的态也必须是归一化的。幺正变换完美地保证了这一点。

4. 可视化与测量 (Visualization & Measurement)

4.1 布洛赫球 (Bloch Sphere)

我们如何直观地理解一个量子比特的状态 $|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$？**布洛赫球 (Bloch Sphere)**提供了一个完美的几何表示。

任意一个单量子比特的状态，都可以被映射为三维空间中一个单位球球面上的一个点。

• 基本约定：

  • 北极代表状态 $|0⟩$；
  • 南极代表状态 $|1⟩$；
  • 球面上任何其他的点都代表 $|0⟩$ 和 $|1⟩$ 的一个叠加态。

• 用球坐标表示量子态：

  • 在把 $\alpha$、$\beta$（两个复数，共四个实参数）映射到球面之前，我们先减少自由度。首先，整体相位没有物理意义：$|\psi ⟩$ 与 $e^{i\chi }|\psi ⟩$ 在任何测量中都不可区分，因此可以约定 $\alpha$ 为非负实数。其次，归一化条件 $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$ 再消去一个自由度。于是恰好剩下两个实参数，我们用球坐标中的极角 (Polar Angle) $\theta$ 与方位角 (Azimuthal Angle) $\varphi$ 来表示它们：

    $|\psi ⟩=\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+e^{i\varphi }\sin \frac{\theta }{2}|1⟩$

  • 我们验证归一化：由 $|e^{i\varphi }|=1$ 以及勾股恒等式，

    $|\cos \frac{\theta }{2}{|}^2+|e^{i\varphi }\sin \frac{\theta }{2}{|}^2={\cos }^2\frac{\theta }{2}+{\sin }^2\frac{\theta }{2}=1$

    对一切 $\theta$ 成立。所以球面上的每个点都对应一个合法的归一化量子态。

  • 角度的物理意义：

    • $\theta$（theta）决定了状态在 $|0⟩$ 和 $|1⟩$ 之间的”倾斜”程度，即它们的概率幅值：

      • 当 $\theta =0$ 时，态为 $|0⟩$（北极）；
      • 当 $\theta =\pi$ 时，态为 $|1⟩$（南极）；
      • 当 $\theta =\pi /2$ 时，态为 $|0⟩$ 和 $|1⟩$ 的等量叠加（位于赤道上）。

    • $\varphi$（phi）决定了两个基态之间的相对相位。按球坐标的直角坐标表示，球面上的点位于 $(\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta )$，$\varphi$ 正是赤道平面上从 $x$ 轴量起的旋转角度。

  • 数值例子：取 $\theta =\pi /2$、$\varphi =\pi /2$。代入参数化公式（用 $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 和 $e^{i\pi /2}=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}=i$）：

    $|\psi ⟩=\cos \frac{\pi }{4}|0⟩+e^{i\pi /2}\sin \frac{\pi }{4}|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{i}{\sqrt{2}}|1⟩=\frac{|0⟩+i|1⟩}{\sqrt{2}}$

    测量概率是 $|\frac{1}{\sqrt{2}}{|}^2=\frac{1}{2}$ 与 $|\frac{i}{\sqrt{2}}{|}^2=\frac{1}{2}$，两者相等；而相对相位 $i$ 把这个态放到赤道平面上 $\varphi =90°$ 的位置，对应球面点 $(\sin \frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2},\sin \frac{\pi }{2}\sin \frac{\pi }{2},\cos \frac{\pi }{2})=(0,1,0)$。

4.2 测量 (Measurement)

既然量子态可以处于复杂的叠加态，我们如何获取它的信息？答案是测量。但测量是一个会”破坏”原有状态的”粗暴”过程。

• 测量的本质：通过仪器进行观测。在量子计算中，这通常指在某个确定的基（如 $\{|0⟩,|1⟩\}$）下进行测量。

• 一个生动的比喻：

  测量一个叠加态 $|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$，就好比用一把只能识别 $|0⟩$ 和 $|1⟩$ 的尺子去量一个倾斜的矢量。你无法得到矢量的精确方向，只能得到它在这两个坐标轴上的投影。

状态坍缩 (State Collapse)

测量一个叠加态时，会发生状态坍缩：量子态会从叠加态随机地、不可逆地”坍缩”到其中一个基态上。对于状态 $|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$：

• 系统有 $|\alpha {|}^2$ 的概率坍缩到状态 $|0⟩$；
• 系统有 $|\beta {|}^2$ 的概率坍缩到状态 $|1⟩$。

关键后果：失去了相位信息

测量是不可逆的，一旦坍缩发生，原有的叠加态信息就丢失了。

• 在测量之前，状态 $|\psi ⟩$ 同时包含了振幅信息（$|\alpha |$、$|\beta |$）和相位信息 $\varphi$。
• 在测量之后，状态变成了确定的 $|0⟩$ 或 $|1⟩$。我们只得到了一个非 0 即 1 的经典结果，而关于它们之间原始的、精妙的叠加关系（尤其是相位）则完全丢失。

总结：量子计算的强大威力，正是在于利用测量前、量子态在叠加态下的并行演化（幺正变换）；而测量的目的，则是从这种复杂的演化中提取出我们想要的经典计算结果。

5. 确定性的演化 vs. 概率性的测量

核心思想：量子态的演化是确定的（遵循幺正变换），只有测量才是概率性的。

一个量子态本身是一个确定的数学对象。它的”不确定性”或”随机性”只在与测量仪器发生相互作用时才会体现出来。

我们将通过一个经典的例子——哈达玛门 (Hadamard Gate)——来深入理解这一点。

5.1 核心工具：哈达玛门 (Hadamard Gate, H 门)

哈达玛门是量子计算中最基本的量子门之一。它的作用是创造均匀的叠加态。

• 矩阵表示：

  $H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$

• 对基态的作用（下面完整写出矩阵—矢量乘法，每一步都可以自行复核）：

  • $H$ 作用于 $|0⟩$：

    $H|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\times 1+1\times 0\\ 1\times 1+(-1)\times 0\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}}\equiv |+⟩$

  • $H$ 作用于 $|1⟩$：

    $H|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\times 0+1\times 1\\ 1\times 0+(-1)\times 1\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\frac{|0⟩-|1⟩}{\sqrt{2}}\equiv |-⟩$

  • 两个结果都是归一化的：$|\frac{1}{\sqrt{2}}{|}^2+|\frac{1}{\sqrt{2}}{|}^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$。这印证了 3.3 节的结论——幺正变换保持范数。

5.2 思想实验：相位信息是”隐藏属性”吗？

现在我们有两个截然不同的量子态：$|+⟩$ 和 $|-⟩$。它们唯一的区别是 $|1⟩$ 分量前的相位（一个是 $+$，一个是 $-$）。我们如何区分它们？

情景一：直接在标准基 $\{|0⟩,|1⟩\}$ 下测量

• 测量态 $|+⟩$：

  • 得到 $|0⟩$ 的概率为 $|\frac{1}{\sqrt{2}}{|}^2=\frac{1}{2}$（即 50%）；
  • 得到 $|1⟩$ 的概率为 $|\frac{1}{\sqrt{2}}{|}^2=\frac{1}{2}$（即 50%）。

• 测量态 $|-⟩$：

  • 得到 $|0⟩$ 的概率为 $|\frac{1}{\sqrt{2}}{|}^2=\frac{1}{2}$（即 50%）；
  • 得到 $|1⟩$ 的概率为 $|-\frac{1}{\sqrt{2}}{|}^2=(\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^2=\frac{1}{2}$（即 50%，取模会去掉正负号）。

结论：无法区分！ 如果只在标准基下进行测量，我们得到的统计结果是完全一样的。相位信息在这种测量方式下丢失了，我们无法分辨初始态是 $|+⟩$ 还是 $|-⟩$。

情景二：先通过 H 门演化，再测量

现在，我们在测量之前，先对这两个态施加一个哈达玛门（这是一个确定的**幺正演化**）。

我们需要一个准备知识：H 门是自身的逆。这一性质可以通过显式矩阵乘法验证——注意分母上 $\frac{1}{\sqrt{2}}\times \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，分子上四个元素按行列两两相乘后求和：

$H^2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1\times 1+1\times 1& 1\times 1+1\times (-1)\\ 1\times 1+(-1)\times 1& 1\times 1+(-1)\times (-1)\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=I$

• 演化态 $|+⟩$：

  $H|+⟩=H(H|0⟩)=(HH)|0⟩=I|0⟩=|0⟩$

  （第一个等号用了 5.1 节的结果 $|+⟩=H|0⟩$；第二个等号用了矩阵乘法的结合律，把括号移动到两个 $H$ 之间。）

• 演化态 $|-⟩$：

  $H|-⟩=H(H|1⟩)=(HH)|1⟩=I|1⟩=|1⟩$

结论：可以完美区分！ 经过 H 门演化后：

• 如果初始态是 $|+⟩$，测量结果将 100% 确定是 $|0⟩$；
• 如果初始态是 $|-⟩$，测量结果将 100% 确定是 $|1⟩$。

5.3 总结：信息隐藏在相位中

这个思想实验揭示了三件事：

1. 态是确定的：$|+⟩$ 和 $|-⟩$ 是两个完全不同、确定无疑的量子态。
2. 演化是确定的：H 门对它们的作用是可预测且唯一的。
3. 测量是概率性的，且依赖于基：相位信息（比如 $+$ 和 $-$ 的区别）就像一种”隐藏属性”，在某个测量基（标准基）下不可见，但在另一个测量基（哈达玛基）下则清晰可辨。通过正确的幺正变换（如 H 门），我们可以将这些”隐藏”的量子信息转换为经典世界里可测量的确定结果。

6. 相干性：量子与经典的根本区别

6.1 一个经典类比：掷硬币

让我们想象一个经典世界的概率事件：掷一枚硬币。

• 初始状态：硬币在空中旋转，我们可以说它处于一种”50% 概率是正面，50% 概率是反面”的状态。
• “测量”：硬币落地并停止，我们观察到确定的”正面”或”反面”。
• 提出问题：我们能否对这枚硬币在测量前做一个操作，使它确定地恢复到”正面”的状态？
• 答案是不能。硬币落地之后，它实际上已经处于”正面”或”反面”之一，剩下的只是我们不知道是哪一个。经典世界里可逆的操作只能是”正面 $\leftrightarrow$ 反面”这类置换，而置换恰恰把”五五开”变成”五五开”；要确定地恢复正面，必须先看一眼落地结果——而这一看，与直接测量并无区别。经典概率描述的是”无知”，而不是”共存”。

这就是经典世界：一旦测量，信息就永久丢失。我们称之为”失去了相干性”。

6.2 量子的优越性：保持相干性 (Coherence)

现在回到我们在 5.2 节讨论的量子态 $|+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$。

• 它看起来也像是”50% 是 $|0⟩$，50% 是 $|1⟩$”。

• 但关键区别在于，我们可以通过一个确定的、可逆的幺正操作（哈达玛门 $H$），将它 100% 确定地变回 $|0⟩$：

  $H|+⟩=|0⟩$

  （推导见 5.2 节。）注意整个过程没有进行任何中间测量，也没有偷看任何结果。

这种能够保持不同可能性之间精确关系（尤其是相位），并允许我们通过确定性操作进行状态恢复和转换的能力，就是”量子相干性 (Coherence)“。

6.3 量子计算最大的敌人：退相干 (Decoherence)

量子态的相干性是极其脆弱的。任何来自外部环境的微小扰动，都会破坏这种精妙的叠加关系。

破坏相干性 = 非预期的测量 = 环境干扰

• 什么是环境干扰？

  • 一个杂散光子撞击了你的量子比特；
  • 周围磁场的微小波动；
  • 设备温度的热振动。

• 后果：环境”偷看”了量子比特的状态（相当于进行了一次测量），导致其叠加态坍缩。量子计算赖以为生的相位信息就此丢失，量子比特退化成了一个普通的经典比特。这个过程就叫做**退相干 (Decoherence)**。

为什么量子计算机需要在极端环境中运行？

“为什么要隔绝在接近 -273.15℃（-459.67°F）的环境？”

• -273.15℃ 就是绝对零度 (0 Kelvin)。
• 在这个温度下，原子的热运动几乎完全停止。
• 通过极低温和电磁屏蔽，我们可以创造一个极度”安静”的环境，最大限度地减少对量子比特的干扰，延长其保持相干性的时间（即相干时间 (Coherence Time)），从而让量子计算有足够的时间去完成。

总结：量子计算的本质

量子计算 = 利用概率幅和隐藏的相位信息来进行计算。

1. 准备：将量子比特制备到包含多种可能性的叠加态。
2. 计算：通过一系列精确的幺正变换（量子门），巧妙地操控这些叠加态的相位，让错误答案的路径相互抵消（相消干涉），让正确答案的路径相互增强（相长干涉）。
3. 测量：在计算的最后，对系统进行测量。由于相干操作，此时测量到正确答案的概率会变得非常高。

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参考资料

• 本词条整理自《量子计算算法教程》原文：ch01-basics/quantum-mechanics-basics
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