期望值

对处于 $|\psi ⟩$（或 $\rho$）的系统反复测量可观测量 $A$，结果的平均趋近期望值

$⟨A⟩=⟨\psi |A|\psi ⟩=\mathrm{Tr}(A\rho ).$

单次测量结果随机（$A$ 的某个本征值），期望值是完整的态信息中与 $A$ 相关的那一部分。

要点

• 采样代价：把 $⟨A⟩$ 估计到加性误差 $ϵ$ 通常需要 $O(1/{ϵ}^2)$ 次重复（蒙特卡洛标度）；振幅放大与估计 在可结构化的问题上把这一依赖降为 $O(1/ϵ)$，谱和与行列式 给出了系统化的应用。
• 变分算法的目标就是期望值：VQE 最小化 $E(\theta )=⟨\psi (\theta )|H|\psi (\theta )⟩$；其梯度可由参数平移法则 在两个平移点上测期望值精确得到。
• 多观测量同时估计是经典影子 的主题：随机 Pauli 测量的经典快照可复用于大量 $M$。
• 期望值对参数的依赖常为有限三角和（正弦响应），是分析含参电路（含参量子门）的标准工具。

关联词条

• 概念：可观测量、量子测量、密度矩阵
• 算法：VQE、经典影子的应用

取材：量子力学的基本概念、参数平移法则。

参考文献

• J. J. Sakurai, J. Napolitano.《现代量子力学》第 1 章（期望值）.
• Nielsen & Chuang.《量子计算与量子信息》第 2 章（可观测量）.