量子态层析

[量子态层析](quantum-state-tomography-tutorial)（Quantum State Tomography, QST）是量子信息科学中最基础的实验技术之一：我们通过对量子态的大量测量，重建其完整描述——密度矩阵 $\rho$。本词条系统介绍从指数级标准层析到多项式级 Shadow Tomography 的方法演进；对每个关键复杂度结论，我们都从基本不等式出发逐步推导，并说明各方法的适用场景与局限。

问题背景

量子态的完整描述

$n$ 量子比特系统的状态由密度矩阵 $\rho \in {\mathbb{C}}^{N\times N}$（$N=2^n$）完全描述。$\rho$ 必须满足厄米性、半正定性与迹为一。我们先计算独立实参数的个数：$N\times N$ 厄米矩阵有 $N^2$ 个实自由度（对角 $N$ 个实数、非对角 $N(N-1)/2$ 个复数），迹为一的约束消去 $1$ 个，故

$\dim =N^2-1=4^n-1.$

目标：我们通过测量制备好的量子态副本，估计 $\rho$ 的全部参数。

测量的量子力学限制

量子测量会扰动态：测量 $\rho$ 在基矢 $|b⟩$ 上的投影 $P_b=|b⟩⟨b|$ 得到结果 $b$ 的概率为 $\mathrm{tr}(P_b\rho )$，且测量后态坍缩为 $P_b\rho P_b/\mathrm{tr}(P_b\rho )$。因此每次测量只能给出 $O(n)$ 比特的结果（一个比特串），而完整描述 $\rho$ 需要 $4^n$ 个精度为 $O(\log (1/\epsilon ))$ 比特的实参数。这一信息量的悬殊差距是层析复杂度的根源：完整重建 $\rho$ 需要 $\Omega (N^2)$ 份副本，我们在方法一中看到标准方案确实达到（并略超）这一量级。

方法一：标准层析（指数方法）

Pauli 层析

基本思想：我们把 $\rho$ 展开为泡利基。$n$ 比特泡利算符集合为 $\{I,X,Y,Z{\}}^{\otimes n}$，共有 $4^n$ 个元素，且在迹内积下两两正交：

$\mathrm{tr}(PQ)=N{\delta }_{PQ},P,Q\in \{I,X,Y,Z{\}}^{\otimes n}.$

展开公式的推导：设 $\rho ={\sum }_Q{c}_{Q}Q$，两边左乘 $P$ 并取迹，得 $\mathrm{tr}(P\rho )={\sum }_Q{c}_Q\mathrm{tr}(PQ)=N{c}_P$，因此 $c_P=\mathrm{tr}(P\rho )/N$，即

$\rho =\frac{1}{N}{\sum }_{P\in \{I,X,Y,Z{\}}^{\otimes n}}\mathrm{tr}(P\rho )P.$

于是估计全部 $\mathrm{tr}(P\rho )$ 即可重建 $\rho$。

测量基的选择：对每个泡利字符串 $P=P_1\otimes \cdots \otimes P_n$，我们先施加相应的基变换，再在计算基测量。单个比特的变换为：$Z$ 基不需要变换（恒等 $I$）；$X$ 基施加 $H$（因为 $H|+⟩=|0⟩$，$H|-⟩=|1⟩$）；$Y$ 基施加 $H{S}^{†}$。我们验证后者：$Y$ 的本征态为 $|\pm i⟩=(|0⟩\pm i|1⟩)/\sqrt{2}$，由 $S^{†}=\mathrm{diag}(1,-i)$ 得 $S^{†}|+i⟩=(|0⟩+i(-i)|1⟩)/\sqrt{2}=(|0⟩+|1⟩)/\sqrt{2}=|+⟩$，再经 $H$ 映到 $|0⟩$；同理 $H{S}^{†}|-i⟩=|1⟩$。

期望值的读出：测量得到比特串 $b=b_1\cdots b_n$ 后，我们构造随机变量

$X(b)={\prod }_{i=1}^n(-1{)}^{b_i}\in \{+1,-1\}.$

我们证明 $\mathbb{E}[X]=\mathrm{tr}(P\rho )$：记 $U={\otimes }_i{U}_i$ 为上述基变换，测量结果 $b$ 的概率为 $\mathrm{tr}(\rho U^{†}|b⟩⟨b|U)$，于是

$\mathbb{E}[X]={\sum }_b\left({\prod }_i(-1{)}^{b_i}\right)\mathrm{tr}\left(\rho U^{†}|b⟩⟨b|U\right)=\mathrm{tr}\left(\rho U^{†}\left[{\sum }_b{\prod }_i(-1{)}^{b_i}|b⟩⟨b|\right]U\right)=\mathrm{tr}(\rho P),$

最后一步用了 $U^{†}\left[{\otimes }_i(-1{)}^{b_i}|b_i⟩⟨b_i|\right]U={\otimes }_i{P}_i=P$（$U_i$ 把 $P_i$ 的本征态映到计算基）。

泡利字符串总数：非平凡的泡利字符串共 $4^n-1$ 个（去掉 $I^{\otimes n}$，它对应恒等式 $\mathrm{tr}(\rho )=1$）。

每个 $\mathrm{tr}(P\rho )$ 的测量次数：由下节的霍夫丁界，达到精度 $\epsilon$ 需要 $O(1/{\epsilon }^2)$ 次重复测量。

总测量次数：

$M=O\left(\frac{4^n}{{\epsilon }^2}\right)=O\left(\frac{N^2}{{\epsilon }^2}\right).$

这是指数级的：$n=50$ 时 $4^{50}\approx 10^{30}$，完全不可行。

线性反演

公式推导：我们把测得的频率 ${\hat{f}}_P$（对 $\mathrm{tr}(P\rho )$ 的估计）直接代入泡利展开式：

${\hat{\rho }}_{\mathrm{lin}}=\frac{1}{N}\left(I+{\sum }_{P\ne I}{\hat{f}}_{P}P\right).$

该估计是无偏的（每个 ${\hat{f}}_P$ 无偏），且由 $4^n-1$ 个频率唯一决定 $\rho$——这正是泡利基层析”层析完备”的含义。

物理性问题：${\hat{\rho }}_{\mathrm{lin}}$ 一般不是合法密度矩阵，因为半正定性是 $4^n$ 个非线性约束（所有特征值非负），无偏的线性估计无法保证它们。我们给出一个单比特的反例：设统计涨落使得 ${\hat{f}}_X=0.9$、${\hat{f}}_Y=0.9$、${\hat{f}}_Z=0$，则

${\hat{\rho }}_{\mathrm{lin}}=\frac{1}{2}(I+0.9X+0.9Y),$

其 Bloch 向量长度为 $\sqrt{0.81+0.81+0}=\sqrt{1.62}\approx 1.27>1$，故 ${\hat{\rho }}_{\mathrm{lin}}$ 有负特征值（$\lambda =(1\pm 1.27)/2$，其中一个约为 $-0.14$）。线性反演的负特征值问题是层析中的著名现象，也是引入极大似然估计的动机。

极大似然层析（MLE）

给定测量数据 $\{(P_i,m_i)\}$（对泡利字符串 $P_i$ 独立测量，结果 $\pm 1$ 各出现 $m_i^{+},m_i^{-}$ 次），我们在合法密度矩阵的凸集上最大化似然函数：

$\mathcal{L}(\rho )={\prod }_i{\left[\frac{1+\mathrm{tr}(P_i\rho )}{2}\right]}^{m_i^{+}}{\left[\frac{1-\mathrm{tr}(P_i\rho )}{2}\right]}^{m_i^{-}},\rho ⪰0,\mathrm{tr}(\rho )=1.$

取对数便于分析：

$\ell (\rho )={\sum }_i[m_i^{+}\ln \frac{1+\mathrm{tr}(P_i\rho )}{2}+m_i^{-}\ln \frac{1-\mathrm{tr}(P_i\rho )}{2}].$

凸性：$\ln$ 是凹函数且每个 $\mathrm{tr}(P_i\rho )$ 是 $\rho$ 的线性函数，故 $\ell (\rho )$ 是 $\rho$ 的凹函数；约束集（半正定、迹一）是凸集。因此极大似然层析是一个凸优化问题，其最优点全局存在。

驻点条件：引入拉格朗日乘子处理迹约束，对 $\ell$ 求梯度并令其为零，得

$R({\rho }^{\ast })={\sum }_i\frac{m_i^{+}-m_i^{-}}{\mathrm{tr}(P_i{\rho }^{\ast })}{P}_i\propto I,$

即在最优点处”加权观测算符” $R$ 必须与单位算符成比例。常用的 R$\rho$R 类不动点迭代正是利用该条件：交替更新 ${\rho }_{k+1}\propto R({\rho }_k{)}^{-1/2}{\rho }_{k}R({\rho }_k{)}^{-1/2}$，每步使 $\ell$ 单调不减并收敛到 MLE（其收敛性分析超出本词条范围，此处作为数值方案陈述）。

MLE 的优点是保证输出合法的密度矩阵（半正定、迹一），缺点是凸优化在 $4^n$ 维空间中求解代价高，且似然函数对频率为零的事件需要正则化。

采样复杂度：从霍夫丁界出发的推导

我们补全 $O(1/{\epsilon }^2)$ 的推导。固定一个泡利字符串 $P$，单次测量的随机变量 $X\in \{-1,+1\}$ 满足 $\mathbb{E}[X]=\mathrm{tr}(P\rho )=:\mu$。取 $m$ 次独立重复的均值 $\bar{X}$。

霍夫丁不等式：若 $X_1,\dots ,X_m$ 独立、取值于 $[a,b]$，则

$\mathrm{Pr}[|\bar{X}-\mu |\ge \epsilon ]\le 2\exp \left(-\frac{2m{\epsilon }^2}{(b-a{)}^2}\right).$

代入 $a=-1,b=1$ 得 $(b-a{)}^2=4$，故

$\mathrm{Pr}[|\bar{X}-\mu |\ge \epsilon ]\le 2e^{-m{\epsilon }^2/2}.$

令右边等于失败概率 $\delta$，解出

$m=\frac{2\ln (2/\delta )}{{\epsilon }^2}=O\left(\frac{\log (1/\delta )}{{\epsilon }^2}\right).$

这就是单个泡利期望值的 $O({\epsilon }^{-2})$ 采样复杂度。（用切尔诺夫界可得到相同的指数标度，霍夫丁界给出的是自洽的显式常数。）

对所有泡利字符串取联合界：要让全部 $4^n-1$ 个估计同时达到精度 $\epsilon$、总失败概率至多 $\delta$，我们对每个字符串分配失败概率 ${\delta }^{\prime }=\delta /4^n$，于是

$m=\frac{2\ln (2\cdot 4^n/\delta )}{{\epsilon }^2}=O\left(\frac{n+\log (1/\delta )}{{\epsilon }^2}\right).$

总副本数为 $(4^n-1)\cdot m=O(4^n(n+\log (1/\delta ))/{\epsilon }^2)$，通常简写为 $O(4^n/{\epsilon }^2)$（把对数因子吸收进大 $O$）。

范数的区分：上述 $\epsilon$ 是每个泡利系数的精度。若我们要求 Frobenius 范数精度 $\Vert \hat{\rho }-\rho {\Vert }_F\le \epsilon$，需要更细的分配。由泡利展开与正交性，

$\hat{\rho }-\rho =\frac{1}{N}{\sum }_P{\Delta }_{P}P⟹\Vert \hat{\rho }-\rho {\Vert }_F^2=\frac{1}{N^2}N{\sum }_P{\Delta }_P^2=\frac{1}{N}{\sum }_P{\Delta }_P^2,$

其中 ${\Delta }_P$ 是 $\mathrm{tr}(P\rho )$ 的误差。要使左边 $\le {\epsilon }^2$，需 ${\sum }_P{\Delta }_P^2\le N{\epsilon }^2$；在 $4^n$ 个系数上均匀分配即要求每个 ${\Delta }_P\le \epsilon \sqrt{N}/2^n=\epsilon \cdot 2^{-n/2}$，从而每个泡利串需要 $O(2^n/{\epsilon }^2)$ 次测量，总计 $O(N^3/{\epsilon }^2)$。作为对照，Haah 等人证明了信息论最优的完整层析采样复杂度为 $\Theta (N^2/{\epsilon }^2)$——朴素逐泡利方案距最优有 $N$ 因子差距，差距来源于信息量的重复利用。

复杂度总结

方法	测量次数	经典后处理	量子比特
Pauli 线性反演	$O(4^n/{\epsilon }^2)$	$O(4^n)$	$n$
MLE	$O(4^n/{\epsilon }^2)$	$O(N^6)$（凸优化迭代）	$n$
信息论最优	$\Theta (N^2/{\epsilon }^2)$	—	$n$

方法二：${\ell }_{\infty }$ 层析（矩阵元精度）

动机

标准层析估计所有 $4^n$ 个泡利系数，信息量极大；但许多应用只需要 $\rho$ 的部分性质（如若干矩阵元、保真度、纯度、纠缠度量）。${\ell }_{\infty }$ 层析（Infinity Norm Tomography）专注于逐矩阵元的精度，即在最大元素偏差意义下逼近 $\rho$。

数学定义

${\ell }_{\infty }$ 层析的目标是找到 $\hat{\rho }$ 满足：

$\Vert \rho -\hat{\rho }{\Vert }_{\max }={\max }_{i,j}|{\rho }_{ij}-{\hat{\rho }}_{ij}|\le \epsilon .$

（其中 $\Vert \cdot {\Vert }_{\max }$ 是矩阵元素的逐个最大绝对值，不是算符范数；${\ell }_{\infty }$ 层析因此依赖基的选择。）

实现方法与复杂度推导

对角元（可廉价并行估计）。对角元就是计算基测量的输出分布：单次测量得到一个样本 $j\sim {\rho }_{jj}$。要把全部 $N=2^n$ 个对角元同时估计到精度 $\epsilon$，我们对频率估计用霍夫丁界并对 $N$ 个结果取联合界：

$m_{\mathrm{diag}}=\frac{\ln (2N/\delta )}{2{\epsilon }^2}=O\left(\frac{\log (N/\delta )}{{\epsilon }^2}\right),$

即对角元只需要对数多个副本量级，远少于完整层析。

单个非对角元 ${\rho }_{xy}$（$x\ne y$）。我们构造两个可观测量的测量。令

$O=|x⟩⟨y|+|y⟩⟨x|,O^{\prime }=i(|x⟩⟨y|-|y⟩⟨x|),$

两者在二维子空间 $\mathrm{span}\{|x⟩,|y⟩\}$ 上分别同构于 ${\sigma }_x$ 与 ${\sigma }_y$（本征值 $\pm 1$），在正交补上为零，因此都可以通过一个 $O(n)$ 深度的多控电路映射到单比特测量。计算迹：

$\mathrm{tr}(O\rho )=⟨y|\rho |x⟩+⟨x|\rho |y⟩={\rho }_{xy}^{\ast }+{\rho }_{xy}=2\mathrm{Re}{\rho }_{xy},$ $\mathrm{tr}(O^{\prime }\rho )=i({\rho }_{xy}^{\ast }-{\rho }_{xy})=2\mathrm{Im}{\rho }_{xy},$

（第二式用了 $z^{\ast }-z=-2i\mathrm{Im}z$。）于是 ${\rho }_{xy}=\frac{1}{2}\mathrm{tr}(O\rho )+\frac{i}{2}\mathrm{tr}(O^{\prime }\rho )$，每个观测量由霍夫丁界需要 $O({\epsilon }^{-2})$ 次测量。估计 $k$ 个指定矩阵元因此共需 $O(k/{\epsilon }^2)$ 次测量。

全部矩阵元。若要求所有 $N^2$ 个矩阵元都达到精度 $\epsilon$，逐个测量的方案退化为 $O(4^n/{\epsilon }^2)$，与完整层析同阶。利用方法四的随机基测量可以同时服务所有矩阵元：我们在方法四中推导出，矩阵元估计的单副本方差至多为 $(3/2{)}^n$，从而全部矩阵元的 ${\ell }_{\infty }$ 精度层析可以用

$M=O\left(\frac{n(3/2{)}^n}{{\epsilon }^2}\right)$

份副本完成（对数因子来自对 $N^2$ 个元素取联合界）。这一结果由本词条的方差计算直接推出，优于朴素方案的 $4^n$ 因子；我们不再沿用早期版本中未经推导的 $O(n{2}^n/{\epsilon }^2)$ 表述。

限制

• ${\ell }_{\infty }$（逐元素）范数不是酉不变的，依赖于基的选择；
• 对角元便宜、非对角元昂贵，两类元素的采样代价极不对称；
• 逐元素精度不能直接给出保真度等酉不变量的精度（保真度对谱敏感）。

方法三：稀疏层析

动机

许多物理相关的量子态是稀疏的——在某个基下，大部分元素为零或可忽略：

• 低纠缠态（矩阵乘积态，MPS）；
• 对角密度矩阵（经典概率混合）；
• 局域关联态（如满足面积律的关联函数）。

定义

密度矩阵 $\rho$ 是 $s$-稀疏的：在计算基下至多有 $s$ 个非零元素。

目标：以 $O(s\cdot \mathrm{poly}(n,1/\epsilon ))$ 次测量重建 $\rho$。

稀疏层析方法

方法一：直接元素估计。对每个可能非零的 $(i,j)$，我们用方法二的单矩阵元方案，即 $O({\epsilon }^{-2})$ 次测量估计 ${\rho }_{ij}$。其困难在于：需要预先知道哪些 $(i,j)$ 非零——这本身需要探索性搜索。

方法二：泡利基下的稀疏性。若 $\rho$ 在泡利基下有 $s$ 个非零系数（$s=\mathrm{poly}(n)$），则我们只需测量 $s$ 个泡利字符串。推导：$\rho =\frac{1}{N}{\sum }_P\mathrm{tr}(P\rho )P$ 中只有 $s$ 项非零时，估计这 $s$ 个期望值即可；由霍夫丁界与对 $s$ 个估计的联合界，每个泡利串需要

$m=\frac{2\ln (2s/\delta )}{{\epsilon }^2}$

次测量，总测量次数为

$M=O\left(\frac{s\log s}{{\epsilon }^2}\right).$

方法三：压缩感知层析。我们利用 $\rho$ 的低秩或稀疏性，通过随机测量（如随机泡利测量）和压缩感知重构算法，以 $O(s\cdot \mathrm{poly}(n)/{\epsilon }^2)$ 次测量重建 $\rho$（Gross 等人 2010 证明了低秩 + 纯态情形的最优性）。

数学基础：若 $\rho$ 在某个正交基下是 $s$-稀疏的，则 $O(s\log N)$ 次随机线性测量在 RIP（Restricted Isometry Property，受限等距性质）条件下足以唯一确定 $\rho$——这与经典压缩感知的稀疏恢复定理同构，$\log N$ 因子来自”命中支撑”的耦合收集（coupon-collector）效应。

复杂度对比

方法	测量次数	适用条件
标准层析	$O(4^n/{\epsilon }^2)$	通用
${\ell }_{\infty }$ 层析	$O(n(3/2{)}^n/{\epsilon }^2)$	全矩阵元精度
稀疏层析	$O(s\cdot \mathrm{poly}(n)/{\epsilon }^2)$	$s$-稀疏态
Shadow Tomography	$O(3^k\log M/{\epsilon }^2)$	$M$ 个局域可观测量

方法四：Shadow Tomography（影子层析）

突破性思想

Shadow Tomography 由 Scott Aaronson 于 2018 年提出，由 Huang、Kueng、Preskill 于 2020 年发展为实用方法（经典影子，classical shadow）。它不重建完整的 $\rho$，而是直接估计 $\rho$ 的 $M$ 个函数值 $\mathrm{tr}(O_1\rho ),\dots ,\mathrm{tr}(O_M\rho )$，以 $O(\log M)$ 的副本数达到给定精度。

问题陈述：给定 $\rho$ 的制备访问，以及 $M$ 个可观测量 $O_1,\dots ,O_M$（$\Vert O_k\Vert \le 1$），我们要求估计所有 $\mathrm{tr}(O_k\rho )$ 到精度 $\epsilon$。

Aaronson 定理（2018）：存在量子算法以 $O(\log M\cdot {\log }^{4}N/{\epsilon }^5)$ 份副本估计所有 $\mathrm{tr}(O_k\rho )$。

关键改进：$\log M$ 因子——即使 $M=2^{2^n}$（所有可能的可观测量），也只需 $O(n)$ 量级的对数因子。

随机测量 Shadow Tomography（实用版本）

Huang、Kueng、Preskill（2020）给出了更实用的方案：随机泡利测量 + 经典后处理。

步骤：

1. 我们对 $\rho$ 的每个副本，独立、均匀地为每个比特选取 $X$、$Y$、$Z$ 三个基之一，等价于施加 $U\in \{I,H,H{S}^{†}{\}}^{\otimes n}$；
2. 在计算基测量，得到比特串 $b\in \{0,1{\}}^n$；
3. 计算单副本影子（classical shadow）$\hat{\rho }={⨂}_{i=1}^n(3U_i^{†}|b_i⟩⟨b_i|U_i-I)$；
4. 重复 $N_s$ 次，得到影子集合 $\{{\hat{\rho }}^{(1)},\dots ,{\hat{\rho }}^{(N_s)}\}$；
5. 对任意可观测量 $O_k$，用均值估计 $\mathrm{tr}(O_k\rho )\approx \frac{1}{N_s}{\sum }_t\mathrm{tr}(O_k{\hat{\rho }}^{(t)})$。

单比特情形的无偏性推导。我们证明 $\mathbb{E}[\hat{\rho }]=\rho$。设 $\rho =\frac{1}{2}(I+xX+yY+zZ)$，测量基 $b\in \{X,Y,Z\}$ 等概率选取，结果为对应本征态 $|s_b⟩$（$s=\pm 1$），影子为 $\hat{\rho }=3|s_b⟩⟨s_b|-I$。结果概率为 $\mathrm{Pr}(s\mid b)=\mathrm{tr}(\rho |s_b⟩⟨s_b|)=\frac{1+s{r}_b}{2}$，其中 $r_X=x$、$r_Y=y$、$r_Z=z$。对两个结果求和：

${\sum }_{s=\pm 1}\mathrm{Pr}(s\mid b)|s_b⟩⟨s_b|=\frac{1}{2}(|{+}_b⟩⟨{+}_b|+|{-}_b⟩⟨{-}_b|)+\frac{r_b}{2}(|{+}_b⟩⟨{+}_b|-|{-}_b⟩⟨{-}_b|)=\frac{I}{2}+\frac{r_b}{2}{\sigma }_b.$

于是

$\mathbb{E}[\hat{\rho }]=\frac{1}{3}{\sum }_b\left[3\left(\frac{I}{2}+\frac{r_b}{2}{\sigma }_b\right)-I\right]=\frac{1}{3}{\sum }_b\left[\frac{I}{2}+\frac{3r_b}{2}{\sigma }_b\right]=\frac{I}{2}+\frac{1}{2}(xX+yY+zZ)=\rho .$

多比特情形。我们用信道语言推广：定义单比特”去极化到对角”的测量信道

$\mathcal{M}(\rho )=\frac{1}{3}{\sum }_{b\in \{X,Y,Z\}}{\sum }_{s=\pm 1}\mathrm{tr}(\rho |s_b⟩⟨s_b|)|s_b⟩⟨s_b|,$

上面的计算表明 $\mathcal{M}(\rho )=\frac{I}{2}+\frac{1}{6}(xX+yY+zZ)$，其逆为 ${\mathcal{M}}^{-1}(A)=3A-\mathrm{tr}(A)I$，影子即 $\hat{\rho }={\mathcal{M}}^{-1}(|s_b⟩⟨s_b|)=3|s_b⟩⟨s_b|-I$。由 ${\mathcal{M}}^{-1}$ 的线性，

$\mathbb{E}[\hat{\rho }]={\mathcal{M}}^{-1}(\mathbb{E}[\text{结果投影}])={\mathcal{M}}^{-1}(\mathcal{M}(\rho ))=\rho .$

$n$ 比特情形测量信道为张量积 ${\mathcal{M}}^{\otimes n}$、逆为 $({\mathcal{M}}^{-1}{)}^{\otimes n}$，逐比特选取基正对应 ${⨂}_i(3U_i^{†}|b_i⟩⟨b_i|U_i-I)$，无偏性由张量积的线性直接继承。

方差与样本复杂度

单副本方差。对权重为 $k$ 的泡利可观测量 $P$（在 $k$ 个比特上取 $X/Y/Z$、其余取 $I$），我们精确计算 $\mathrm{tr}(P\hat{\rho })$ 的方差。由张量积结构，$\mathrm{tr}(P\hat{\rho })={\prod }_{i\in \mathrm{supp}(P)}\mathrm{tr}(P_i(3|b_i⟩⟨b_i|-I))$，且每个因子只在”该比特恰好测在 $P_i$ 的本征基”时非零（否则 $⟨b|P_i|b⟩=0$，因子为零）。因此在全部 $k$ 个支撑比特都测对基（概率 $3^{-k}$）时，$\mathrm{tr}(P\hat{\rho })=3^k{\prod }_i{s}_i$，其中 $s_i=\pm 1$；否则恰为零。于是

$\mathbb{E}[(\mathrm{tr}(P\hat{\rho }){)}^2]=3^{2k}\cdot 3^{-k}\cdot \mathbb{E}[{\prod }_i{s}_i^2]=3^k,$

（用了 $s_i^2=1$），而无偏性给出 $\mathbb{E}[\mathrm{tr}(P\hat{\rho })]=\mathrm{tr}(P\rho )$，故

$\mathrm{Var}[\mathrm{tr}(P\hat{\rho })]=3^k-\mathrm{tr}(P\rho {)}^2\le 3^k.$

矩阵元方差。我们把 ${\rho }_{xy}=\frac{1}{N}{\sum }_P⟨x|P|y⟩\mathrm{tr}(P\hat{\rho })$ 中的求和按”差异比特”（$x_i\ne y_i$，共 $k=|x\oplus y|$ 个）与”相同比特”（$n-k$ 个）分组：使 $⟨x|P|y⟩\ne 0$ 的 $P$ 恰在差异比特上取 $X$ 或 $Y$、在相同比特上取 $I$ 或 $Z$。给定一次测量的基组态 $B$，差异比特部分只有唯一的 $F$（每个差异比特所选的基恰好指定该比特取 $X$ 还是 $Y$）能全部匹配，其贡献为 $3^k{\prod }_{i\in \text{diff}}{s}_i$，模长为 $3^k$；若任一差异比特测在 $Z$ 轴，则所有 $F$ 的因子为零、整个估计为零，该约束把二阶矩乘上因子 $(2/3{)}^k$。相同比特部分可以闭式求和（对 $I/Z$ 的二项式展开）：

${\sum }_{D\in \{I,Z{\}}^{\otimes (n-k)}}{b}_D\mathrm{tr}(D\hat{\rho })={\prod }_{j\in Z_B}(1+3b_j{s}_j),$

其中 $Z_B$ 是测在 $Z$ 轴的相同比特集合、$b_j{s}_j=\pm 1$，故每个因子的平方不超过 $16$。合并以上各点，并利用无偏性 $\mathbb{E}[|{\hat{\rho }}_{xy}-{\rho }_{xy}{|}^2]=\mathbb{E}[|{\hat{\rho }}_{xy}{|}^2]-|{\rho }_{xy}{|}^2\le \mathbb{E}[|{\hat{\rho }}_{xy}{|}^2]$，得

$\mathbb{E}[|{\hat{\rho }}_{xy}{|}^2]\le \frac{9^k}{N^2}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^k\cdot \mathbb{E}[16^{|Z_B|}]=\frac{6^k\cdot 6^{n-k}}{4^n}={\left(\frac{3}{2}\right)}^n,$

其中用了 $\mathbb{E}[16^{|Z_B|}]=(\frac{2}{3}+\frac{16}{3}{)}^{n-k}=6^{n-k}$（每个相同比特以 $1/3$ 概率测在 $Z$ 轴）。该界对一切 $x,y$ 一致成立。单比特数值检验：$n=1$ 时对角元的二阶矩为 $1+z/2\le \frac{3}{2}$、非对角元的二阶矩恰为 $\frac{3}{2}$，与上式吻合。这正是方法二中 ${\ell }_{\infty }$ 复杂度 $O(n(3/2{)}^n/{\epsilon }^2)$ 的来源。

中位数均值（median of means）。我们把 $N_s$ 个影子分成 $K$ 组、每组 $m$ 个；取组内均值的 $K$ 个值的中位数作为估计。由 Chebyshev 不等式，组均值偏离期望超过 $\epsilon$ 的概率至多 $\mathrm{Var}/(m{\epsilon }^2)\le \frac{1}{4}$（取 $m=4\cdot 3^k/{\epsilon }^2$）。中位数偏离要求至少一半的组失败；设 $K$ 为偶数，则失败组数服从二项分布 $\mathrm{Bin}(K,\frac{1}{4})$，其在 $j=K/2$ 处的单点概率为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{K/2}\right)\left(\frac{1}{4}{)}^{K/2}\right(\frac{3}{4}{)}^{K/2}\le 2^K(\frac{3}{16}{)}^{K/2}=(\frac{3}{4}{)}^{K/2}$，而对 $j\ge K/2$ 求和至多再乘一个线性因子（项数 $\le K/2+1$，且各点概率单调递减），故失败概率随 $K$ 指数衰减。对 $M$ 个可观测量取联合界，我们得到：

定理（Huang, Kueng, Preskill, 2020）：为使 ${\max }_k|\mathrm{tr}(O_k\rho )-\widehat{\mathrm{tr}(O_k\rho )}|\le \epsilon$ 以概率 $1-\delta$ 成立，所需副本数为

$N_s=O\left(\frac{\log (M/\delta )}{{\epsilon }^2}\cdot {\max }_k\mathrm{Var}[\mathrm{tr}(O_k\hat{\rho })]\right).$

对权重为 $k$ 的泡利可观测量，$\mathrm{Var}\le 3^k$，故

$N_s=O\left(\frac{3^k\log (M/\delta )}{{\epsilon }^2}\right).$

我们特别指出：方差上界 $3^k$ 只对固定权重（局域）泡利算符是 $O(1)$；对满权重 $k=n$ 的泡利串，方差为 $3^n$，随机泡利影子并不免费给出全部泡利系数的精度。

对比：

方法	副本数（估计 $M$ 个可观测量）
标准层析（逐个测量）	$O(M/{\epsilon }^2)$
分组测量	$O(M_{\mathrm{groups}}/{\epsilon }^2)$
Shadow Tomography	$O(3^k\log M/{\epsilon }^2)$（$k$ 为观测量权重）

应用场景

保真度估计：$F=\mathrm{tr}(\rho \sigma )$，$\sigma$ 已知。只需 $M=1$，$N_s=O(1/{\epsilon }^2)$。

纠缠检测：估计 $M$ 个 Bell 不等式期望值，$N_s=O(3^k\log M/{\epsilon }^2)$，局域算符 $k=O(1)$ 时为 $O(\log M/{\epsilon }^2)$。

量子态验证：验证实验制备的态与目标态的接近程度。

量子基准测试：随机基准测试中估计门保真度。

各方法的比较总结

方法	测量次数	重建能力	适用场景
Pauli 层析	$O(4^n/{\epsilon }^2)$	完整 $\rho$	小系统（$n\le 10$）
${\ell }_{\infty }$ 层析	$O(n(3/2{)}^n/{\epsilon }^2)$	全矩阵元逐元素精度	需要矩阵元而无需谱
稀疏层析	$O(s\cdot \mathrm{poly}(n)/{\epsilon }^2)$	稀疏 $\rho$	低纠缠态、MPS
Shadow Tomography	$O(3^k\log M/{\epsilon }^2)$	$M$ 个局域函数值	多个局域可观测量

实验实现

标准层析的实验进展

• 2019：Google 在 Sycamore（53 量子比特）上实现 2 量子比特态层析；
• 2021：中国科学技术大学在 76 光子系统上演示高维态层析。

Shadow Tomography 的实验进展

• 2021：IBM 在 27 量子比特设备上验证 shadow tomography；
• 2022：多个实验组演示 $O(10)$ 量子比特的高效 shadow estimation；
• 2023：扩展到量子过程层析（channel shadow）。

局限性

标准层析

• 指数测量次数限制了 $n\lesssim 15$；
• 经典后处理（MLE）在高维空间中代价极高；
• 系统误差（不完美测量、态漂移）难以校正。

${\ell }_{\infty }$ 层析

• 对非对角元仍需 $(3/2{)}^n$ 量级的副本数；
• 逐元素范数不是酉不变的，物理意义有限；
• 对复数相干元的处理比对角元更昂贵。

稀疏层析

• 需要预先知道稀疏结构（或用压缩感知自动发现）；
• 对”近似稀疏”态，近似误差难以控制；
• 经典后处理（压缩感知重构）可能不稳定。

Shadow Tomography

• 不重建完整 $\rho$，只估计特定函数；
• 对非泡利可观测量，方差（影子范数）需要额外分析；
• 显式存储单个影子 $\hat{\rho }$ 需要 $O(4^n)$ 内存，实际实现只存储测量比特串（每份 $n$ 比特）并按需计算 $\mathrm{tr}(O_k\hat{\rho })$；
• 对量子通道层析（channel shadow），资源需求显著增加。

总结

量子态层析经历了从”完整重建 $\rho$“到”估计 $\rho$ 的函数”的范式转变。我们用霍夫丁界推导了逐泡利方案的 $O(4^n/{\epsilon }^2)$ 采样复杂度，并指出 Frobenius 精度下朴素方案达到 $O(N^3/{\epsilon }^2)$、信息论最优为 $\Theta (N^2/{\epsilon }^2)$。Shadow Tomography 以 $O(3^k\log M/{\epsilon }^2)$ 的副本数估计 $M$ 个权重为 $k$ 的局域可观测量，是目前最具可扩展性的方案，但其适用范围限于有限个已知可观测量的期望值估计。

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参考文献：

1. Aaronson, S. (2018). Shadow tomography of quantum states. STOC 2018.
2. Huang, H. Y., Kueng, R., & Preskill, J. (2020). Predicting many properties of a quantum system from very few measurements. Nature, 587, 589-593.
3. Gross, D., Liu, Y. K., Flammia, S. T., Becker, S., & Eisert, J. (2010). Quantum state tomography via compressed sensing. Physical Review Letters, 105(15), 150401.
4. Haah, J., Harrow, A. W., Ji, Z., Wu, X., & Yu, N. (2017). Sample-optimal tomography of quantum states. IEEE Transactions on Information Theory, 63(9), 5834-5851.

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参考资料

• 本词条整理自《量子计算算法教程》原文：ch07-quantum-info/quantum-state-tomography-tutorial
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