密度矩阵

密度矩阵（密度算符）$\rho$ 是描述量子系统的算子语言：纯态对应 $\rho =|\psi ⟩⟨\psi |$；以概率 $p_i$ 混合制备若干纯态时 $\rho ={\sum }_i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$。合法密度矩阵满足 $\rho ⪰0$、$\mathrm{Tr}\rho =1$。

要点

• 可观测量 $M$ 的期望值有统一表示 $⟨M⟩=\mathrm{Tr}(M\rho )$；量子测量得到 $m$ 的概率 $=\mathrm{Tr}(|m⟩⟨m|\rho )$。
• 纯态判据：$\mathrm{Tr}{\rho }^2=1$ 为纯态，$<1$ 为混合态（见纯态与混合态）。
• 噪声与开放系统演化的自然语言：量子信道把 $\rho$ 映为 ${\rho }^{\prime }$（见量子噪声模型）；退相干表现为非对角元衰减。
• 局部信息由约化密度矩阵（偏迹）提取，它是纠缠度量与量子态层析的基本对象；变分算法中的参数平移法则 也以 $\mathrm{Tr}(MU\rho U^{†})$ 形式陈述最简洁。

关联词条

• 概念：纯态与混合态、约化密度矩阵、量子噪声模型
• 算法：经典影子的应用（多观测量 $\mathrm{Tr}(M\rho )$ 估计）

取材：量子力学的基本概念。

参考文献

• Nielsen & Chuang.《量子计算与量子信息》第 2 章（密度算符）.
• J. Watrous. The Theory of Quantum Information. Cambridge University Press (2018).