参数平移法则

深入探索：参数平移法则 (PSR) 的证明与适用范围

在正文中，我们介绍了参数平移法则（Parameter-Shift Rule, PSR）：只需在两个”平移后”的电路上测量期望值，就能得到关于门参数的解析梯度（analytical gradient）。本词条将给出这一法则的完整证明，并严格刻画它的适用范围。整个推导只用到矩阵欧拉公式（其推导见《含参量子门》）和几个基本的三角恒等式，我们对每一个等号都注明所用的依据，读者可以逐步核验。

1. 问题的设定：把一般电路化简为单个参数门

考虑一个含参数的量子电路，其中只有一个门 $U(\theta )$ 依赖于参数 $\theta$，其余的门与测量都与 $\theta$ 无关。为讨论方便，我们把 $\theta$ 无关的门按位置归并到电路的前段和后段，即把整个电路写成 $W(\theta )=AU(\theta )B$，其中 $A$ 和 $B$ 都是与 $\theta$ 无关的幺正算符。设输入态为 $|{\psi }_{\mathrm{in}}⟩$、可观测量（observable）为 $M$，则期望值为

$E(\theta )=⟨{\psi }_{\mathrm{in}}|W^{†}(\theta )MW(\theta )|{\psi }_{\mathrm{in}}⟩=⟨{\psi }_0|U^{†}(\theta )MU(\theta )|{\psi }_0⟩,$

其中第二个等号只是把 $B$ 吸收进初态、把 $A$ 吸收进观测量。具体地，代入 $W(\theta )=AU(\theta )B$ 并展开 $W^{†}=B^{†}{U}^{†}{A}^{†}$，得

$⟨{\psi }_{\mathrm{in}}|B^{†}{U}^{†}{A}^{†}MAUB|{\psi }_{\mathrm{in}}⟩=(B|{\psi }_{\mathrm{in}}⟩{)}^{†}{U}^{†}\left(A^{†}MA\right)U(B|{\psi }_{\mathrm{in}}⟩),$

因此只需取 $|{\psi }_0⟩=B|{\psi }_{\mathrm{in}}⟩$、并把 $A^{†}MA$ 重新记作 $M$（它仍是厄米算符），就得到了最简形式。这一化简表明：无论参数门位于电路的什么位置、周围还有多少别的门，我们都只需要研究 $E(\theta )=⟨{\psi }_0|U^{†}MU|{\psi }_0⟩$ 这一种情形。

参数门本身具有如下形式：

$U(\theta )=e^{-i\frac{\theta }{2}G},$

其中 $G$ 是厄米的生成元（generator）。对于旋转门 $R_x,R_y,R_z$，生成元分别是对应的泡利矩阵 $X,Y,Z$。这些生成元满足一个关键性质：$G^2=I$（单位矩阵）。

2. 核心引理：期望值是 $\theta$ 的正弦型函数

引理（正弦响应） 设 $G$ 与 $M$ 都是厄米算符且 $G^2=I$，$|{\psi }_0⟩$ 为任意归一化初态。记 $⟨A{⟩}_0:=⟨{\psi }_0|A|{\psi }_0⟩$，$[G,M]:=GM-MG$ 为对易子（commutator）。定义 $E(\theta )=⟨{\psi }_0|U^{†}(\theta )MU(\theta )|{\psi }_0⟩$，其中 $U(\theta )=e^{-i\theta G/2}$。则存在与 $\theta$ 无关的实常数 $a,b,C$，使得

$E(\theta )=a\sin \theta +b\cos \theta +C,$

其中

$a=\frac{i}{2}⟨[G,M]{⟩}_0,b=\frac{1}{2}(⟨M{⟩}_0-⟨GMG{⟩}_0),C=\frac{1}{2}(⟨M{⟩}_0+⟨GMG{⟩}_0).$

证明 分三步进行。

第一步：把 $U(\theta )$ 展开成 $I$ 与 $G$ 的线性组合。 由 $G^2=I$ 和矩阵欧拉公式（含参量子门）可得

$U(\theta )=\cos \frac{\theta }{2}I-i\sin \frac{\theta }{2}G.$

对其取伴随（利用 $G^{†}=G$ 以及 $\cos$、$\sin$ 取实数值）得

$U^{†}(\theta )=\cos \frac{\theta }{2}I+i\sin \frac{\theta }{2}G.$

为书写简洁，记 $c=\cos \frac{\theta }{2}$，$s=\sin \frac{\theta }{2}$。

第二步：展开 $U^{†}MU$ 并对初态取期望。 将上面两式代入 $U^{†}MU$，逐项相乘可得四项：

$U^{†}MU=(cI+isG)M(cI-isG)=c^{2}M-icsMG+icsGM+s^{2}GMG.$

四项的来源分别是：$cI\cdot M\cdot cI=c^{2}M$；$cI\cdot M\cdot (-isG)=-icsMG$；$(isG)\cdot M\cdot cI=icsGM$；$(isG)\cdot M\cdot (-isG)=(i)(-i)s^{2}GMG=s^{2}GMG$，最后一步用了 $i\cdot (-i)=-i^2=1$。把中间两项合并为对易子，得到

$U^{†}MU=c^{2}M+ics[G,M]+s^{2}GMG,$

于是

$E(\theta )=c^2⟨M{⟩}_0+ics⟨[G,M]{⟩}_0+s^2⟨GMG{⟩}_0.$

第三步：用半角恒等式把 $\theta /2$ 的函数改写为 $\theta$ 的函数。 所需的三个恒等式为

${\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1+\cos \theta }{2},{\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2},\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}=\frac{\sin \theta }{2},$

它们都可由倍角公式 $\cos \theta ={\cos }^2\frac{\theta }{2}-{\sin }^2\frac{\theta }{2}$ 与 $\sin \theta =2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}$ 直接得到。先处理含 ${\cos }^2$、${\sin }^2$ 的两项：

$c^2⟨M{⟩}_0+s^2⟨GMG{⟩}_0=\frac{1+\cos \theta }{2}⟨M{⟩}_0+\frac{1-\cos \theta }{2}⟨GMG{⟩}_0=\frac{⟨M{⟩}_0+⟨GMG{⟩}_0}{2}+\frac{\cos \theta }{2}(⟨M{⟩}_0-⟨GMG{⟩}_0).$

再处理交叉项：

$ics⟨[G,M]{⟩}_0=\frac{i}{2}⟨[G,M]{⟩}_0\sin \theta .$

把三部分按常数项、$\cos \theta$ 项、$\sin \theta$ 项归拢，即得

$E(\theta )=C+b\cos \theta +a\sin \theta ,$

其中 $a=\frac{i}{2}⟨[G,M]{⟩}_0$、$b=\frac{1}{2}(⟨M{⟩}_0-⟨GMG{⟩}_0)$、$C=\frac{1}{2}(⟨M{⟩}_0+⟨GMG{⟩}_0)$。

最后我们说明这三个系数都是实数，且与 $\theta$ 无关。先看实数性：$M$ 是厄米的，而 $GMG$ 的伴随为 $G^{†}{M}^{†}{G}^{†}=GMG$，故它也是厄米的，因此 $⟨M{⟩}_0$ 与 $⟨GMG{⟩}_0$ 都是实数，从而 $b,C\in \mathbb{R}$。再看 $a$：对易子满足

$[G,M{]}^{†}=(GM-MG{)}^{†}=M^{†}{G}^{†}-G^{†}{M}^{†}=MG-GM=-[G,M],$

即 $[G,M]$ 是反厄米的，因此 $i[G,M]$ 是厄米算符，其期望值 $⟨i[G,M]{⟩}_0$ 是实数，故 $a\in \mathbb{R}$。至于与 $\theta$ 无关这一点：$a,b,C$ 的构造只涉及固定初态 $|{\psi }_0⟩$ 上固定算符 $M$、$GMG$、$i[G,M]$ 的期望值，不含任何 $\theta$。证毕。

推论（振幅–相位形式） 实系数的正弦与余弦的线性组合总可以合并成一个带相位的正弦波。取

$A=\sqrt{a^2+b^2}\ge 0,\cos \phi =\frac{a}{A},\sin \phi =\frac{b}{A}(\text{即 }\phi =atan2(b,a)),$

则由加法公式 $\sin (\theta +\phi )=\sin \theta \cos \phi +\cos \theta \sin \phi$ 展开可得

$E(\theta )=A\sin (\theta +\phi )+C.$

这正是正文中所说”期望值必然是正弦函数”的准确含义：振幅 $A$、相位 $\phi$ 和垂直偏移 $C$ 完全由初态 $|{\psi }_0⟩$、生成元 $G$ 和观测量 $M$ 决定，与 $\theta$ 无关；随 $\theta$ 变化的只有 $\sin (\theta +\phi )$ 这一个因子。特别地，当 $a=b=0$（即 $A=0$）时 $E(\theta )$ 是常数，梯度恒为零，参数无法被训练——这与”平坦损失景观”的现象一致。

3. 参数平移法则的证明

定理（参数平移法则） 在引理的条件下，

$\frac{dE(\theta )}{d\theta }=\frac{1}{2}\left[E\left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)-E\left(\theta -\frac{\pi }{2}\right)\right].$

证明 对 $E(\theta )=a\sin \theta +b\cos \theta +C$ 逐项求导，得

$\frac{dE}{d\theta }=a\cos \theta -b\sin \theta .$

再计算平移后的两个函数值。由诱导公式 $\sin (\theta +\frac{\pi }{2})=\cos \theta$、$\sin (\theta -\frac{\pi }{2})=-\cos \theta$、$\cos (\theta +\frac{\pi }{2})=-\sin \theta$、$\cos (\theta -\frac{\pi }{2})=\sin \theta$，得

$E\left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)=a\cos \theta -b\sin \theta +C,E\left(\theta -\frac{\pi }{2}\right)=-a\cos \theta +b\sin \theta +C.$

两式相减时，常数项 $C$ 互相抵消：

$\frac{1}{2}\left[E\left(\theta +\frac{\pi }{2}\right)-E\left(\theta -\frac{\pi }{2}\right)\right]=\frac{1}{2}\cdot 2(a\cos \theta -b\sin \theta )=a\cos \theta -b\sin \theta =\frac{dE}{d\theta }.$

证毕。用振幅–相位形式来读，这个证明说的是：$E^{\prime }(\theta )=A\cos (\theta +\phi )$，而 $E(\theta \pm \frac{\pi }{2})=\pm A\cos (\theta +\phi )+C$，两者恰好吻合。PSR 之所以给出的是解析梯度而非数值近似，正是因为它利用了”期望值是频率为 $1$ 的正弦波”这一先验结构：对任意正弦型函数，其在某点的导数都等于它向前、向后各平移 $90^{\circ }$ 后的函数值之差的一半。

4. 数值验证：一个完整的算例

下面我们构造一个可以手工算透的例子，把引理中的常数逐一算出，并在具体的一点上验证 PSR 两边相等。取生成元 $G=X$、观测量 $M=Z$，初态为

$|{\psi }_0⟩=\frac{\sqrt{3}}{2}|0⟩+\frac{1}{2}{e}^{i\pi /4}|1⟩.$

该态满足归一化条件，因为 $|\frac{\sqrt{3}}{2}{|}^2+|\frac{1}{2}{|}^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$。

先计算引理所需的初态期望值。对形如 $\cos \alpha |0⟩+e^{i\beta }\sin \alpha |1⟩$ 的一般单比特态，直接把泡利矩阵与态向量相乘可以验证：

$⟨Z{⟩}_0=\cos 2\alpha ,⟨X{⟩}_0=\sin 2\alpha \cos \beta ,⟨Y{⟩}_0=\sin 2\alpha \sin \beta .$

本例中 $\alpha =\frac{\pi }{6}$、$\beta =\frac{\pi }{4}$，于是

$⟨Z{⟩}_0=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2},⟨Y{⟩}_0=\sin \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}\approx \mathrm{0.6124.}$

再利用两个泡利恒等式 $XZX=-Z$ 与 $[X,Z]=-2iY$（两者都可以用矩阵直接相乘验证），代入引理的系数公式：

$a=\frac{i}{2}⟨[X,Z]{⟩}_0=\frac{i}{2}(-2i)⟨Y{⟩}_0=⟨Y{⟩}_0=\frac{\sqrt{6}}{4},$

$b=\frac{⟨Z{⟩}_0-⟨XZX{⟩}_0}{2}=\frac{⟨Z{⟩}_0-(-⟨Z{⟩}_0)}{2}=⟨Z{⟩}_0=\frac{1}{2},C=\frac{⟨Z{⟩}_0+⟨XZX{⟩}_0}{2}=\frac{⟨Z{⟩}_0-⟨Z{⟩}_0}{2}=0.$

因此期望值函数为

$E(\theta )=\frac{\sqrt{6}}{4}\sin \theta +\frac{1}{2}\cos \theta =A\sin (\theta +\phi ),$

其中振幅与相位为

$A=\sqrt{\frac{6}{16}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{4}\approx 0.7906,\phi =atan2\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{6}}{4}\right)\approx 0.6847\text{rad}\approx 39.2^{\circ }.$

作为一条独立的交叉验证，我们绕开引理、直接化简海森堡绘景中的算符 $U^{†}ZU$：由第 2 节第二步的展开式，

$U^{†}ZU={\cos }^2\frac{\theta }{2}Z+ics[X,Z]+{\sin }^2\frac{\theta }{2}(XZX)=({\cos }^2\frac{\theta }{2}-{\sin }^2\frac{\theta }{2})Z+ics(-2iY)=\cos \theta Z+\sin \theta Y,$

（其中 $2cs=\sin \theta$），于是 $E(\theta )=\cos \theta ⟨Z{⟩}_0+\sin \theta ⟨Y{⟩}_0$，与引理给出的结果一致。

现在取 $\theta =1$ 验证 PSR。左边是解析导数：

$\frac{dE}{d\theta }{|}_{\theta =1}=\frac{\sqrt{6}}{4}\cos 1-\frac{1}{2}\sin 1\approx 0.6124\times 0.5403-0.5\times 0.8415\approx -\mathrm{0.0899.}$

右边是两次平移后的期望值之差的一半。利用 $\sin (1+\frac{\pi }{2})=\cos 1$、$\cos (1+\frac{\pi }{2})=-\sin 1$、$\sin (1-\frac{\pi }{2})=-\cos 1$、$\cos (1-\frac{\pi }{2})=\sin 1$，以及 $\cos 1\approx 0.5403$、$\sin 1\approx 0.8415$，得

$E\left(1+\frac{\pi }{2}\right)\approx 0.6124\times 0.5403+0.5\times (-0.8415)\approx -0.0899,$

$E\left(1-\frac{\pi }{2}\right)\approx 0.6124\times (-0.5403)+0.5\times 0.8415\approx +0.0899,$

$\frac{1}{2}\left[E\left(1+\frac{\pi }{2}\right)-E\left(1-\frac{\pi }{2}\right)\right]\approx \frac{1}{2}(-0.0899-0.0899)=-\mathrm{0.0899.}$

两边在保留的四位小数内完全相等，PSR 在该点得到验证。顺带一提，$E(1)\approx 0.7854$，也可以用振幅–相位形式 $A\sin (1+\phi )\approx 0.7906\times \sin (1.6847)\approx 0.7854$ 复核，说明推论的形式同样正确。

5. PSR 的适用范围：哪些门可以用？

适用的条件：生成元恰有两个不同本征值

回顾第 2、3 节的证明，我们只在两处用到了生成元的性质：其一，把 $U$ 展开为 $\cos \frac{\theta }{2}I-i\sin \frac{\theta }{2}G$ 需要 $G^2=I$，等价于 $G$ 的谱（本征值集合）为 $\{+1,-1\}$；其二，半角换元之后函数的频率恰好为 $1$。把这两点一并推广，就得到最一般的适用条件。

定理（两本征值生成元的广义参数平移） 设 $U(\theta )=e^{-i\theta G/2}$，其中 $G$ 是厄米算符且恰有两个不同本征值 ${\lambda }_1>{\lambda }_2$。记谱隙（spectral gap）$\Delta ={\lambda }_1-{\lambda }_2>0$，并设电路的其余部分与 $\theta$ 无关。则

$\frac{\partial E}{\partial \theta }=\frac{\Delta }{4}\left[E\left(\theta +\frac{\pi }{\Delta }\right)-E\left(\theta -\frac{\pi }{\Delta }\right)\right].$

证明 记 $\mu =\frac{{\lambda }_1+{\lambda }_2}{2}$、$\delta =\frac{\Delta }{2}$，并定义 $P=\frac{G-\mu I}{\delta }$。由于 $G$ 厄米，$P$ 也厄米；$P$ 的两个本征值为 $\frac{{\lambda }_{1,2}-\mu }{\delta }=\pm 1$，由谱分解可知 $P^2=I$。又因单位矩阵与一切算符对易，指数可以拆开：

$U(\theta )=e^{-i\theta (\mu I+\delta P)/2}=e^{-i\mu \theta /2}{e}^{-i(\delta \theta )P/2}.$

式中的标量相位 $e^{-i\mu \theta /2}$ 在 $E(\theta )=⟨{\psi }_0|U^{†}MU|{\psi }_0⟩$ 中与自身的复共轭相乘而抵消（$U^{†}MU=V^{†}MV$，其中 $V=e^{-i(\delta \theta )P/2}$），所以 $E$ 只通过组合 $t=\delta \theta$ 依赖于 $\theta$。把第 2 节的引理应用于生成元 $P$、参数 $t$，得

$E(\theta )=\tilde{a}\sin (\delta \theta )+\tilde{b}\cos (\delta \theta )+C,$

其中 $\tilde{a},\tilde{b},C$ 与 $\theta$ 无关。对上式求导，并对任意平移量 $s$ 用和差化积公式 $\sin (x+y)-\sin (x-y)=2\cos x\sin y$、$\cos (x+y)-\cos (x-y)=-2\sin x\sin y$，得

$\frac{dE}{d\theta }=\delta [\tilde{a}\cos (\delta \theta )-\tilde{b}\sin (\delta \theta )],E(\theta +s)-E(\theta -s)=2\sin (\delta s)[\tilde{a}\cos (\delta \theta )-\tilde{b}\sin (\delta \theta )].$

只要 $\sin (\delta s)\ne 0$，两式相除便得 $\frac{dE}{d\theta }=\frac{\delta }{2\sin (\delta s)}[E(\theta +s)-E(\theta -s)]$。取 $\delta s=\frac{\pi }{2}$，即 $s=\frac{\pi }{2\delta }=\frac{\pi }{\Delta }$，系数化为 $\frac{\delta }{2}=\frac{\Delta }{4}$。证毕。

推论（谱为 $\pm r$ 的情形） 若 $G$ 的本征值为 $\pm r$（$r>0$），则 $\Delta =2r$，平移量为 $\pm \frac{\pi }{2r}$、系数为 $\frac{r}{2}$：

$\frac{\partial E}{\partial \theta }=\frac{r}{2}\left[E\left(\theta +\frac{\pi }{2r}\right)-E\left(\theta -\frac{\pi }{2r}\right)\right].$

泡利生成元对应 $r=1$，此时平移量为 $\pm \frac{\pi }{2}$、系数为 $\frac{1}{2}$，即标准的 PSR。常见的适用例子包括：

• 单比特旋转门 $R_x(\theta )=e^{-i\theta X/2}$、$R_y(\theta )=e^{-i\theta Y/2}$、$R_z(\theta )=e^{-i\theta Z/2}$，生成元谱均为 $\{\pm 1\}$，直接用标准 PSR。
• 两比特相互作用门 $e^{-i\theta Z_1{Z}_2/2}$：生成元 $Z_1{Z}_2$ 的本征值为 $\pm 1$，标准 PSR 直接适用。
• 加权单比特生成元 $e^{-i\theta (aX+bY+cZ)/2}$（$a,b,c$ 为不全为零的实数）：生成元是厄米无迹的 $2\times 2$ 矩阵，其本征值为 $\pm \sqrt{a^2+b^2+c^2}$，仍属两本征值情形，取 $r=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ 即可用上式求梯度。

注意参数化约定。 平移量的具体数值依赖于我们把门写成 $e^{-i\theta G/2}$ 还是 $e^{-i\theta G}$。若采用后一种约定且谱为 $\{\pm r\}$，则有效参数为 $t=2r\theta$，同样的推导给出平移量 $\pm \frac{\pi }{4r}$、系数 $r$。两种写法在文献中都很常见，对照不同资料时务必先统一参数化约定；本词条统一采用 $e^{-i\theta G/2}$。

无法直接应用 PSR 的情况

以下类型的参数门不能直接套用标准（两项）PSR，需要额外处理。

1. 生成元有三个及以上不同本征值。 例如三比特门 $e^{-i\theta (Z_1{Z}_2+Z_2{Z}_3)/2}$：把 $z_1{z}_2+z_2{z}_3$ 对 $z_i=\pm 1$ 枚举取值，可得生成元的谱为 $\{-2,0,+2\}$，其两两之差有 $2$ 和 $4$ 两个值，因此 $E(\theta )$ 同时含有频率 $1$ 和频率 $2$ 的正弦成分，任何单一平移量的两项公式都无法同时匹配两个频率。再如受控旋转 $C{R}_z(\theta )=|0⟩⟨0|\otimes I+|1⟩⟨1|\otimes R_z(\theta )$，其生成元为 $\frac{I-Z_1}{2}\otimes \frac{Z_2}{2}$，谱为 $\{-\frac{1}{2},0,+\frac{1}{2}\}$，同样不满足两本征值条件。对这类门，标准做法是先做电路分解（例如 $C{R}_z$ 可以分解为两个 CNOT 与若干个 $R_z$，再对每个 $R_z$ 分别使用 PSR），或使用下面提到的推广形式。

2. 参数化操作不是幺正的。 本词条的推导前提是参数门为幺正演化。需要说明的是，若噪声信道以与 $\theta$ 无关的方式作用在参数门之外，则可以把它并入等效初态或等效观测量（利用信道的伴随 $\mathrm{Tr}[\mathcal{N}(U\rho U^{†})M]=\mathrm{Tr}[U\rho U^{†}{\mathcal{N}}^{†}(M)]$），PSR 依然成立；但若噪声进入了参数门内部（例如把参数门整体替换为含参数的噪声信道），幺正性被破坏，期望值一般不再是有限个正弦分量之和，需要另行分析。

3. 参数以非线性方式进入。 若门的形式为 $U(\theta )=e^{-if(\theta )G/2}$，其中 $f$ 是非线性函数（例如 $f(\theta )={\theta }^2$），则 $E(\theta )=\hat{E}(f(\theta ))$，其中 $\hat{E}$ 是引理给出的正弦型函数。此时不能对 $\theta$ 直接套用 PSR，但只要 $f$ 可微且 $f^{\prime }(\theta )$ 已知，链式法则给出

   $\frac{dE}{d\theta }=f^{\prime }(\theta )\cdot \frac{1}{2}[\hat{E}(f(\theta )+\frac{\pi }{2})-\hat{E}(f(\theta )-\frac{\pi }{2})],$

   即先对中间变量 $f(\theta )$ 使用 PSR，再乘上 $f^{\prime }(\theta )$。

4. 同一参数出现在多个门中（共享参数）。 设 $\theta$ 同时出现在两个门中。把 $E$ 看成二元函数 $F({\theta }_1,{\theta }_2)$，其中 ${\theta }_1$ 只进入第一个门、${\theta }_2$ 只进入第二个门，则链式法则给出 $\frac{dE}{d\theta }=\frac{\partial F}{\partial {\theta }_1}+\frac{\partial F}{\partial {\theta }_2}$（在 ${\theta }_1={\theta }_2=\theta$ 处取值）。固定另一个变元时，每个偏导数都对应单个被夹在中间的参数门，可分别用两项 PSR 计算。结论是：梯度等于”每次只平移一个出现位置、各做一次两项差分、再求和”。

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总结表

门类型	是否可直接用 PSR	原因
Rx(θ), Ry(θ), Rz(θ)	✅	生成元为泡利矩阵，谱为 $\{\pm 1\}$，平移 $\pm \pi /2$，系数 $1/2$
$e^{-i\theta (aX+bY+cZ)/2}$	✅	谱为 $\{\pm r\}$，$r=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$，平移 $\pm \pi /(2r)$，系数 $r/2$
$e^{-i\theta (Z_1{Z}_2)/2}$	✅	生成元谱为 $\{\pm 1\}$
CRz(θ)（受控旋转）	⚠️	生成元谱为 $\{-\frac{1}{2},0,+\frac{1}{2}\}$；需分解为 CNOT+Rz 或用推广公式
$e^{-i\theta (Z_1{Z}_2+Z_2{Z}_3)/2}$	❌	生成元谱 $\{-2,0,+2\}$，谱隙不唯一，期望值含多个频率
$U(\theta )=e^{-i{\theta }^{2}Z/2}$	❌	参数非线性进入；可用链式法则补救
含噪声通道的参数门	⚠️	视噪声位置而定：门外的 $\theta$ 无关噪声不影响 PSR，门内噪声破坏推导前提

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概括地说，无法直接应用参数平移法则的参数门，是那些生成元不恰有两个本征值（例如谱为 $\{-2,0,+2\}$ 或 $\{-\frac{1}{2},0,+\frac{1}{2}\}$）、参数以非线性方式进入门的定义、或者参数化操作本身非幺正的门；其余情形（包括一切谱为 $\{\pm r\}$ 的生成元）都有精确的两项平移公式可用。

好消息有两点。第一，绝大多数量子机器学习模型使用的参数化门（如 $R_x,R_y,R_z$）都属于可直接使用 PSR 的类型。第二，对于更复杂的情况，学术界已经发展出推广的参数平移法则（generalized parameter-shift rules），它们可能需要更多次平移或不同的平移量，但基本思想与本词条相同；像 PennyLane 这样的框架会自动识别生成元的谱结构，并调用合适的梯度计算方法。

总结：实践者的启示

• PSR 是解析梯度，不是数值近似：它的精确性源于量子门 $e^{-i\theta G/2}$ 的数学结构——期望值关于 $\theta$ 是频率为由生成元谱隙决定的正弦波，这保证了梯度计算的可靠性。
• 检查你的门：当你设计自己的含参数电路时，应确认所用参数门的生成元恰有两个本征值（绝大多数常见门都满足），否则需要分解电路或改用推广公式。
• 信任你的框架：在使用 PennyLane 等工具时，通常不需要手动实现 PSR。框架会自动处理梯度计算，你只需要专注于模型的设计与训练。

通过本词条的推导，我们不仅知道了如何使用 PSR，更理解了它为何精确、以及它的边界在哪里。

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参考资料

• 本词条整理自《量子计算算法教程》原文：ch02-quantum-nn/parameter-shift-appendix
• 内容遵循 CC BY-NC-SA 4.0 许可协议