幺正变换

幺正变换指满足 $U^{†}U=U{U}^{†}=I$ 的线性算子 $U$ 作用在量子态上。幺正性保证内积不变：$⟨U\varphi |U\psi ⟩=⟨\varphi |\psi ⟩$，从而所有测量概率在演化前后守恒，且演化可逆（逆为 $U^{†}$）。封闭系统的演化由薛定谔方程给出，其解 $|\psi (t)⟩=e^{-iHt}|\psi (0)⟩$ 恒为幺正。

要点

• 一切量子门都是幺正；量子电路就是幺正算子的乘积分解。“经典逻辑门可逆化”（Toffoli 等）是把经典计算嵌入量子计算的关键一步。
• 幺正 ≠ 一切操作：量子测量（坍缩）与噪声信道（量子噪声模型）是非幺正的；后者仍保持迹（CPTP）。
• 幺正的特征值必在单位圆上 $e^{i{\varphi }_j}$——把相位信息存进特征相位、再用相位估计读出，是量子算法的标准范式（相位反冲、量子信号处理）。
• 埃尔米特算符 $A$ 生成幺正 $e^{-iAt}$：$A$ 的实谱对应 $e^{-iAt}$ 的相位谱，哈密顿量模拟 的任务就是实现这类幺正。

关联词条

• 概念：量子门、薛定谔方程、埃尔米特算符、本征值与本征态
• 算法：Qubitization（把一般块编码升级为完美幺正行走）

取材：量子计算概述、量子力学的基本概念。

参考文献

• Nielsen & Chuang.《量子计算与量子信息》第 2 章（幺正演化公设）与第 4 章.
• J. J. Sakurai, J. Napolitano.《现代量子力学》第 2 章（幺正时间演化）.