本征值与本征态

若算子 $A$ 作用在非零态 $|u⟩$ 上仅产生标量倍化 $A|u⟩=\lambda |u⟩$，则称 $|u⟩$ 为本征态、$\lambda$ 为对应本征值。埃尔米特算符的本征值全实、本征态可取成正交基（谱定理）；幺正变换的本征值形如 $e^{i\varphi }$、模为 1。

要点

• 相位是幺正本征值的信息载体：$U|u_j⟩=e^{i{\varphi }_j}|u_j⟩$，把相位 ${\varphi }_j$ 估出来就等于”称量”了 $U$——相位估计 是 Shor、HHL、量子信号处理 共用的底层子程序。
• 谱分解 $A={\sum }_j{\lambda }_j|u_j⟩⟨u_j|$ 把矩阵函数化归为标量函数：$f(A)={\sum }_{j}f({\lambda }_j)|u_j⟩⟨u_j|$，这是 QSVT 矩阵变换框架的出发点。
• 测量与可观测量：测量本征基直接读出本征值；期望值是本征值的概率加权平均。
• 基态（如 HHL 解方程 $A|x⟩=|b⟩$）与谱隙（绝热演化 的能隙条件）都以本征语言陈述。

关联词条

• 概念：埃尔米特算符、幺正变换、相位估计、期望值
• 算法：相位估计、HHL 算法

取材：量子力学的基本概念、相位估计。

参考文献

• J. J. Sakurai, J. Napolitano.《现代量子力学》第 1 章.
• Nielsen & Chuang.《量子计算与量子信息》第 2 章（线性代数）.