量子奇异值变换（QSVT）

量子奇异值变换（Quantum Singular Value Transformation, QSVT）由 András Gilyén、Yuan Su、Guang Hao Low 和 Nathan Wiebe 于 2019 年提出，是量子计算领域近年来最重要的理论突破之一。它将 Grover 搜索、哈密顿量模拟、量子行走、矩阵求逆等看似独立的量子算法统一到同一个数学框架下——对矩阵奇异值的多项式变换。

本词条在 QSP 教程与 Qubitization 教程的基础上展开，并沿用全章统一的约定：信号矩阵取 $X$ 型旋转 $W(x)$、处理器取相位旋转 $S(\varphi )=e^{i\varphi Z}$、块编码辅助寄存器上的反射记作 $R_0=2|0⟩⟨0{|}^{\otimes m}-I$。QSVT 回答的问题是：能否把 QSP 的单量子比特多项式变换”并行地”施加到一个任意矩阵的所有奇异值上？答案是肯定的，而且构造可以逐步展开：我们把块编码的酉算符限制到一族二维不变子空间上，它在每个这样的子空间上的行为恰好是一个信号矩阵；于是整条 QSVT 电路逐块地化作一条 QSP 序列，QSP 的全部结论即可原封不动地搬运过来。

问题背景：量子算法的碎片化

在 QSVT 之前，量子算法的设计呈现高度碎片化：

算法	核心技术	目标
Grover	振幅放大	搜索标记元素
Shor	QFT + 周期查找	因数分解
HHL	QPE + 受控旋转	线性方程组
Trotter	乘积公式	哈密顿量模拟
LCHS	LCU + 后选择	哈密顿量模拟
Qubitization	量子行走	哈密顿量模拟

这些算法各自有不同的推导方法和分析工具，缺乏统一视角。QSVT 的核心贡献在于：将所有这些算法统一为”对矩阵奇异值施加多项式变换”这一单一操作。只要一个算法的目标可以被写成矩阵谱（奇异值）上的多项式，它就有深度最优的 QSVT 实现，而不同算法之间的差别只是多项式与相位参数的差别。

核心思想：从 QSP 到 QSVT

回顾：QSP 的一维版本

按 QSP 教程的约定，信号矩阵与处理器分别为

$W(x)=\left(\begin{array}{cc}x& i\sqrt{1-x^2}\\ i\sqrt{1-x^2}& x\end{array}\right),S(\varphi )=e^{i\varphi Z}=\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\varphi }& 0\\ 0& e^{-i\varphi }\end{array}\right),$

$d$ 阶 QSP 序列定义为

$U_{\text{QSP}}(\vec{\Psi };x)=S({\Psi }_0)\cdot {\prod }_{k=1}^d(W(x)S({\Psi }_k)),$

其 $(0,0)$ 元素是 $x$ 的次数至多 $d$ 的多项式 $P(x)$，且 $P$ 的奇偶性与 $d$ 一致。反过来，任何满足次数与奇偶性约束、$|P(x)|\le 1$（$x\in [-1,1]$）且 $|P(\pm 1)|=1$ 的多项式，都存在相位 $\vec{\Psi }$ 使其被精确实现（证明见 QSP 教程”理论推导”一节）。QSP 的全部能力就封装在这条交替序列里。

推广到矩阵：投影酉算符

QSVT 的关键洞见是：块编码天然给出一个”夹在两个投影之间的酉算符”。设 $\Pi$ 与 $\tilde{\Pi }$ 是同一个 Hilbert 空间上的两个正交投影（projector），$U$ 是酉算符，我们定义投影酉算符（projected unitary）

$A:=\tilde{\Pi }U\Pi ,$

即 $U$ 的”左上角块”：输入限制在 $\mathrm{im}\Pi$ 中、输出只保留 $\mathrm{im}\tilde{\Pi }$ 中的分量。对归一化常数为 $\alpha$ 的块编码 $U_A$，取 $\Pi =\tilde{\Pi }=|0⟩⟨0{|}^{\otimes m}\otimes I_s$（辅助寄存器处于 $|0⟩$、系统寄存器任意），就得到 $\tilde{\Pi }{U}_A\Pi =A/\alpha$。允许 $\Pi \ne \tilde{\Pi }$ 的一般形式（例如把非方阵矩阵嵌入”输入""输出”两个不同的子空间）会带来额外的自由度，我们将在理论推导中看到它并不增加任何困难。

QSVT 使用的相位门是围绕这两个投影的反射旋转。定义

$Z_{\Pi }:=2\Pi -I,Z_{\tilde{\Pi }}:=2\tilde{\Pi }-I,$

则 $e^{i\varphi Z_{\Pi }}$ 在 $\mathrm{im}\Pi$ 上乘 $e^{i\varphi }$、在 $\ker \Pi$ 上乘 $e^{-i\varphi }$，是一个”多控相位旋转”。在块编码情形 $Z_{\Pi }=R_0\otimes I_s$ 恰是 Qubitization 教程中的反射算子，按该教程的分解由 $O(m)$ 个门实现。

QSVT 电路

给定相位向量 $\vec{\Phi }=({\Phi }_0,{\Phi }_1,\dots ,{\Phi }_d)$，QSVT 电路是”$U$ 与 $U^{†}$ 交替、间隙插入相位门”的序列。电路按时间从右向左读（最右边的门最先作用在输入态上），输入子空间为 $\mathrm{im}\Pi$：

$d$ 为奇数时（输出子空间为 $\mathrm{im}\tilde{\Pi }$，使用 $(d+1)/2$ 次 $U$ 与 $(d-1)/2$ 次 $U^{†}$）：

$U_{\vec{\Phi }}=e^{i{\Phi }_0{Z}_{\tilde{\Pi }}}U{e}^{i{\Phi }_1{Z}_{\Pi }}{U}^{†}{e}^{i{\Phi }_2{Z}_{\tilde{\Pi }}}U{e}^{i{\Phi }_3{Z}_{\Pi }}{U}^{†}\cdots U{e}^{i{\Phi }_d{Z}_{\Pi }};$

$d$ 为偶数时（输入输出都在 $\mathrm{im}\Pi$ 一侧，使用 $d/2$ 次 $U$ 与 $d/2$ 次 $U^{†}$）：

$U_{\vec{\Phi }}=e^{i{\Phi }_0{Z}_{\Pi }}{U}^{†}{e}^{i{\Phi }_1{Z}_{\tilde{\Pi }}}U{e}^{i{\Phi }_2{Z}_{\Pi }}\cdots U^{†}{e}^{i{\Phi }_{d-1}{Z}_{\tilde{\Pi }}}U{e}^{i{\Phi }_d{Z}_{\Pi }}.$

例如 $d=3$ 时电路为 $e^{i{\Phi }_0{Z}_{\tilde{\Pi }}}U{e}^{i{\Phi }_1{Z}_{\Pi }}{U}^{†}{e}^{i{\Phi }_2{Z}_{\tilde{\Pi }}}U{e}^{i{\Phi }_3{Z}_{\Pi }}$，$d=2$ 时为 $e^{i{\Phi }_0{Z}_{\Pi }}{U}^{†}{e}^{i{\Phi }_1{Z}_{\tilde{\Pi }}}U{e}^{i{\Phi }_2{Z}_{\Pi }}$。相位门类型的选择规则很简单：电路每作用一次 $U$ 或 $U^{†}$，态就在下文定义的两类二维子空间之间跳换一次；处于 $\{|v_j⟩,|{\bar{v}}_j⟩\}$ 一侧时用 $Z_{\Pi }$ 型门，处于 $\{|u_j⟩,|{\bar{u}}_j⟩\}$ 一侧时用 $Z_{\tilde{\Pi }}$ 型门。信号算符（$U$ 或 $U^{†}$）的总使用次数为 $d$，故门复杂度为 $O(d\cdot C_U)$，其中 $C_U$ 是单次实现 $U$（或 $U^{†}$）的代价。

主定理

记 $A={\sum }_j{\sigma }_j|u_j⟩⟨v_j|$ 为 $A=\tilde{\Pi }U\Pi$ 的奇异值分解，并设 ${\sigma }_j\in (0,1)$、且该分解覆盖了全部输入与输出方向（即 $\ker A\cap \mathrm{im}\Pi =\{0\}$ 且 $\mathrm{im}\tilde{\Pi }=\mathrm{span}\{|u_j⟩\}$；对块编码这相当于 $A$ 满秩，退化情形见下文注记）。对给定的 $\vec{\Phi }$，定义平移后的相位向量

${\Psi }_0={\Phi }_0+\frac{\pi }{4},{\Psi }_k={\Phi }_k+\frac{\pi }{2}(1\le k\le d-1),{\Psi }_d={\Phi }_d+\frac{\pi }{4},$

并令 $P(x):=[S({\Psi }_0){\prod }_{k=1}^d(W(x)S({\Psi }_k)){]}_{00}$ 为它对应的 QSP 多项式。

定理（量子奇异值变换）：在上述记号下，有

$d\text{奇}:\tilde{\Pi }{U}_{\vec{\Phi }}\Pi =(-i{)}^d{\sum }_{j}P({\sigma }_j)|u_j⟩⟨v_j|;$

$d\text{偶}:\Pi U_{\vec{\Phi }}\Pi =(-i{)}^d{\sum }_{j}P({\sigma }_j)|v_j⟩⟨v_j|.$

右端的整体相位 $(-i{)}^d$ 与 ${\sigma }_j$ 无关，可以通过把 ${\Phi }_0$ 平移 $\pi d/4$ 消去，物理上无关紧要。特别地，当 $A$ 是 Hermitian 矩阵且 $P$ 的奇偶性与 $d$ 一致时，两种情形都给出矩阵函数

$(⟨0{|}^{\otimes m}\otimes I)U_{\vec{\Phi }}(|0{⟩}^{\otimes m}\otimes I)=(-i{)}^{d}P(A)$

（注意对块编码应代入归一化后的矩阵 $A/\alpha$，即多项式作用在 ${\sigma }_j/\alpha$ 上）。逆命题同样成立：任何满足 QSP 可达条件（次数 $\le d$、奇偶性与 $d$ 一致、$|P|\le 1$、$|P(\pm 1)|=1$）的多项式都能被 QSVT 实现，相位由 QSP 的相位求解算法给出后再按上式平移即可。证明见”理论推导”一节，那里我们把整个论证逐步展开。

数学框架

块编码回顾

矩阵 $A\in {\mathbb{C}}^{N\times N}$（$N=2^n$）的 $(\alpha ,m,\epsilon )$-块编码（block encoding）是 $(m+n)$ 量子比特酉算符 $U_A$，满足

$\Vert A-\alpha (⟨0{|}^{\otimes m}\otimes I)U_A(|0{⟩}^{\otimes m}\otimes I)\Vert \le \epsilon .$

用本词条的语言重述：取 $\Pi =\tilde{\Pi }=|0⟩⟨0{|}^{\otimes m}\otimes I$，则 $\tilde{\Pi }{U}_A\Pi$ 近似等于 $A/\alpha$。构造方法（LCU、泡利分解、直接构造）见块编码教程。

投影反射与相位门

QSVT 使用两个反射型相位门 $e^{i\varphi Z_{\Pi }}$ 与 $e^{i\varphi Z_{\tilde{\Pi }}}$。它们交替与 $U$、$U^{†}$ 复合，实现对奇异值的”相位处理”。在块编码情形 $\Pi =\tilde{\Pi }$，两种门是同一个物理操作 $e^{i\varphi R_0}$（辅助寄存器上的多控相位旋转，代价 $O(m)$ 个门），区别只在于它在电路中的位置；而在一般的双投影形式中，二者作用在不同的辅助结构上。这正是 QSVT 相比 Qubitization 行走算符（只用一个反射 $R_0$ 与 $U_A$ 的乘积 $W^{\prime }=U_A{R}_0$）更一般的地方。

奇异值变换多项式与符号函数

对多项式 $P$，定义 $A={\sum }_j{\sigma }_j|u_j⟩⟨v_j|$ 的奇异值变换（singular value transformation）

$P^{SV}(A):={\sum }_{j}P({\sigma }_j)|u_j⟩⟨v_j|.$

当 $A$ 是 Hermitian 矩阵时，奇异值分解可以直接由特征值分解读出，此时会出现符号函数（sign function）。设 $A={\sum }_j{\lambda }_j|E_j⟩⟨E_j|$（${\lambda }_j$ 可正可负），则

${\sigma }_j=|{\lambda }_j|,|u_j⟩=|E_j⟩,|v_j⟩=\mathrm{sign}({\lambda }_j)|E_j⟩,$

其中极分解 $A=\mathrm{sign}(A)\cdot |A|$ 的偏等距算符正是 $\mathrm{sign}(A)={\sum }_j\mathrm{sign}({\lambda }_j)|E_j⟩⟨E_j|$。由此可以直接核对两类多项式的行为：

• $P$ 为偶多项式时，$P({\sigma }_j)=P(|{\lambda }_j|)=P({\lambda }_j)$，故 ${\sum }_{j}P({\sigma }_j)|v_j⟩⟨v_j|=P(A)$；
• $P$ 为奇多项式时，$P({\sigma }_j)|u_j⟩⟨v_j|=P(|{\lambda }_j|)\mathrm{sign}({\lambda }_j)|E_j⟩⟨E_j|=P({\lambda }_j)|E_j⟩⟨E_j|$，故 $P^{SV}(A)=P(A)$。

也就是说，对 Hermitian 输入，只要多项式的奇偶性与电路层数一致，QSVT 实现的就是货真价实的矩阵函数 $P(A)$；符号函数正是左、右奇异向量之间的那一步符号配平。这个观察也是矩阵求逆应用的基础：$A^{-1}=\mathrm{sign}(A)\cdot |A{|}^{-1}$，因此用奇多项式 $P(x)\approx 1/(\kappa x)$ 就能实现 $A^{-1}$（见”应用一”）。

算法步骤详解

以”用 QSVT 实现 $f(A)$“为例，完整流程如下。

第一步：多项式逼近

将目标函数 $f:[-1,1]\to \mathbb{C}$（必要时先做归一化缩放使 $|f|\le 1$）用 $d$ 次多项式 $P_d$ 逼近：

${\max }_{x\in [-1,1]}|f(x)-P_d(x)|\le {\epsilon }_{\mathrm{poly}}.$

逼近的次数学与工具见 QSP 教程”逼近精度”一节，此处摘要如下：

• 切比雪夫（Chebyshev）截断：对解析函数给出指数收敛，例如 $f(x)=e^{-i\tau x}$ 需要 $d=O(\tau +\log (1/\epsilon ))$；
• Remez 算法：求最优一致逼近，用于压低常数因子；
• 带平滑过渡的构造（如误差函数核）：用于符号函数、截断求逆等有不连续性的目标，额外贡献 $\log$ 因子。

若目标不具备确定奇偶性（如 $e^{-i\tau x}$），我们把它拆成偶部与奇部（$\cos \tau x$ 与 $-i\sin \tau x$），分别用两条 QSVT 序列实现，再用一个附加辅助比特做线性组合，代价只增加常数因子。

第二步：计算相位参数

先用 QSP 的算法（Haah 的 $O(d^2)$ 解析算法，或 Levenberg–Marquardt 迭代）求出 QSP 相位 $\vec{\Psi }$，再按主定理中的公式平移为 QSVT 相位：

${\Phi }_0={\Psi }_0-\frac{\pi }{4},{\Phi }_k={\Psi }_k-\frac{\pi }{2}(1\le k\le d-1),{\Phi }_d={\Psi }_d-\frac{\pi }{4},$

最后可把 ${\Phi }_0$ 再平移 $\pi d/4$ 以消去整体相位 $(-i{)}^d$。

第三步：构造块编码

构造 $A$ 的块编码 $U_A$（归一化常数 $\alpha$，使 ${\sigma }_j/\alpha \le 1$；若某些 ${\sigma }_j/\alpha$ 恰好等于 $1$，把 $\alpha$ 稍微放大即可，见理论推导末尾的注记）。方法包括 LCU（对 $A={\sum }_k{\alpha }_k{U}_k$）、泡利分解加 PREP/SELECT、专用电路，详见块编码教程。

第四步：执行 QSVT 电路

按 $d$ 的奇偶选择上文两种电路之一，调用 $U_A$（及其逆）共 $d$ 次，插入 $d+1$ 个相位门。门复杂度为 $O(d\cdot C_{U_A})$，其中 $C_{U_A}$ 为单次块编码调用的门代价。

第五步：提取结果

QSVT 的输出本身仍然是一个块编码：辅助寄存器投影到 $|0{⟩}^{\otimes m}$ 的分量恰好是 $(-i{)}^d{P}^{SV}(A/\alpha )$。我们强调，这一步没有任何本质的概率损耗——投影恒等式是算符层面的精确陈述。当把 $P^{SV}(A)$ 作用到某个输入态 $|b⟩$ 上时，成功幅度由 $\Vert P^{SV}(A)|b⟩\Vert$ 决定（例如求逆问题的幅度约为 $1/\kappa$ 量级），不足时可用振幅放大以 $O(1/\text{幅度})$ 次调用补足。

具体应用

应用一：矩阵求逆 $A^{-1}$

设 $\Vert A\Vert \le \alpha$、条件数为 $\kappa =\alpha {\sigma }_{\min }$。由”奇异值变换多项式与符号函数”一节的分析，我们取奇多项式

$P(x)\approx \frac{1}{\kappa x},x\in [1/\kappa ,1]$

（先做 $1/\kappa$ 归一化以保证 $|P|\le 1$；在 $|x|<1/\kappa$ 处用符号函数型截断并做平滑过渡）。带过渡带的光滑逼近给出

$d=O(\kappa \log (\kappa /\epsilon ))$

次多项式。QSVT 实现的总调用次数为 $O(\kappa \log (\kappa /\epsilon ))$ 次 $U_A$，总门数为 $O(\kappa \log (\kappa /\epsilon )\cdot C_{U_A})$。作为对照，原始 HHL 算法对条件数的依赖是 $O({\kappa }^2)$ 量级（源于相位估计与受控旋转的精度需求），QSVT 版本把 $\kappa$ 依赖从二次降到线性，这是理论上的重大改进。

应用二：哈密顿量模拟 $e^{-iHt}$

对 Hermitian 的 $H$ 构造块编码 $U_H$（归一化常数 $\alpha \ge \Vert H\Vert$，例如 LCU 情形取 $\lambda =\Vert \vec{\alpha }{\Vert }_1$），奇异值为 $|E_j|/\alpha \in [0,1]$，其中 $E_j$ 是 $H$ 的特征值。目标是

$P(x)\approx e^{-i\tau x},\tau =\alpha t,$

这是一个整函数，由 QSP 教程”逼近精度”一节的 Bernstein 椭圆分析，切比雪夫截断需要

$d=O(\alpha t+\log (1/\epsilon ))$

次；$e^{-i\tau x}$ 无确定奇偶性，按第一步末尾拆成 $\cos \tau x$（偶）与 $-i\sin \tau x$（奇）两支分别实现。总门数为 $O((\alpha t+\log (1/\epsilon ))\cdot C_{U_H})$，与 QSP、Qubitization 教程给出的结果一致；对 $L$ 项泡利分解的 $H$，$C_{U_H}=O(Ln+C_{\mathrm{PREP}})$。

应用三：振幅放大（Grover 搜索）

把搜索问题写成投影酉算符的语言。设 $\tilde{\Pi }=|w⟩⟨w|$ 是标记态上的投影，$\Pi =|s⟩⟨s|$ 是初始均匀叠加态上的投影，$U$ 是提供搜索动力学的酉（例如由制备与反射组合而成的算子）。关键的一阶块是

$A=\tilde{\Pi }U\Pi =⟨w|U|s⟩|w⟩⟨s|,$

它只有一个奇异值

${\sigma }_1=|⟨w|U|s⟩|$

（一阶算符 $c|w⟩⟨s|$ 的奇异值就是系数的模长；初始制备 $U=I$ 时 ${\sigma }_1=⟨w|s⟩=1/\sqrt{N}$）：把 $|s⟩$ 分量搬运到 $|w⟩$ 的振幅正是被变换的”信号”。目标多项式取为在 $x=1/\sqrt{N}$ 处接近 $1$、其余处接近 $0$ 的峰形多项式，所需次数为 $d=O(\sqrt{N})$，于是 QSVT 以 $O(\sqrt{N})$ 次调用复现 Grover 界。在不变平面上，信号与相位门的交替复合成熟悉的反射乘积型 Grover 迭代（每迭代一次转过 $2\arcsin (1/\sqrt{N})$），与 QSP 教程例子一的振幅放大图像一致；QSVT 的版本还自动给出固定点搜索（fixed-point search）——峰形多项式不会过冲。

应用四：量子 Gibbs 态制备

目标是制备 ${\rho }_{\beta }=e^{-\beta H}/Z$。我们用 QSVT 实现 $e^{-\beta H/2}$ 的块编码：目标多项式为 $P(x)\approx e^{-\beta \alpha x/2}$（作用在 $x=E_j/\alpha$ 上），所需次数

$d=O(\beta \alpha +\log (1/\epsilon )).$

注意配分函数 $Z=\mathrm{tr}(e^{-\beta H})$ 是全局常数，不能也不需要放进多项式里；正确流程是把 $e^{-\beta H/2}$ 的块编码作用到最大混合态或均匀叠加态的纯化上，后选择辅助寄存器即得温度 $\beta$ 的 Gibbs 态。该方法用于量子机器学习和统计物理。

理论推导

本节完整展开从块编码到奇异值变换的全部推导。论证分六步：先建立 $A=\tilde{\Pi }U\Pi$ 的奇异值分解（含符号函数），再由酉性构造”缺陷向量”，证明 $({\mathcal{K}}_j,{\mathcal{K}}_j^{\prime })$ 二维子空间对的结构（酉分解 $U=\tilde{S}\Lambda S^{†}$ 与信号矩阵 $M(\sigma )$），然后把 QSVT 电路约化为每个子空间上的 QSP 序列，导出精确的相位对应并完成定理证明。

记号与前提

以下设 $U$ 为酉算符，$\Pi ,\tilde{\Pi }$ 为投影，$A=\tilde{\Pi }U\Pi$，其奇异值满足 $0<{\sigma }_j<1$，且奇异值分解覆盖全部输入输出方向（$\ker A\cap \mathrm{im}\Pi =\{0\}$、$\mathrm{im}\tilde{\Pi }=\mathrm{span}\{|u_j⟩\}$；边缘与退化情形见本节末尾注记）。记 ${\rho }_j:=\sqrt{1-{\sigma }_j^2}$。我们还需要一个初等事实：作为酉算符的块，$A$ 必是压缩算符，即 ${\sigma }_j\le 1$。证明：对 $|\phi ⟩\in \mathrm{im}\Pi$，

$\Vert A|\phi ⟩\Vert =\Vert \tilde{\Pi }U|\phi ⟩\Vert \le \Vert U|\phi ⟩\Vert =\Vert \phi ⟩\Vert ,$

故 $\Vert A\Vert \le 1$。

第一步：投影算符的奇异值分解（含符号函数）

$A$ 把 $\mathrm{im}\Pi$ 映到 $\mathrm{im}\tilde{\Pi }$，其奇异值分解有标准形式

$A={\sum }_j{\sigma }_j|u_j⟩⟨v_j|,\{|v_j⟩{\}}_j\subset \mathrm{im}\Pi \text{正交归一},\{|u_j⟩{\}}_j\subset \mathrm{im}\tilde{\Pi }\text{正交归一},$

其中求和遍历所有正奇异值。构造方法与普通矩阵相同：$\{|v_j⟩\}$ 是 $A^{†}A$ 在 $\mathrm{im}\Pi$ 上的非零特征向量，${\sigma }_j^2$ 为对应特征值，$|u_j⟩:=A|v_j⟩/{\sigma }_j$ 自动落入 $\mathrm{im}\tilde{\Pi }$ 并构成正交组。当 $A$ 是 Hermitian 矩阵时，如”数学框架”一节所述，$|v_j⟩=\mathrm{sign}({\lambda }_j)|u_j⟩$，符号函数恰好记录了左、右奇异向量的相对符号。

第二步：酉性强制出的缺陷向量

现在利用 $U$ 的酉性，把每个奇异向量”补全”成一个二维子空间。对每个 $j$，考虑 $U|v_j⟩$ 并按 $\tilde{\Pi }$ 分块：

$U|v_j⟩=\tilde{\Pi }U|v_j⟩+(I-\tilde{\Pi })U|v_j⟩={\sigma }_j|u_j⟩+|{\bar{u}}_j^{\prime }⟩,$

其中 $|{\bar{u}}_j^{\prime }⟩:=(I-\tilde{\Pi })U|v_j⟩\in \ker \tilde{\Pi }$。由于 $⟨u_j|{\bar{u}}_j^{\prime }⟩=0$（两块正交）且 $\Vert U|v_j⟩\Vert =1$，勾股定理给出

$\Vert |{\bar{u}}_j^{\prime }⟩{\Vert }^2=1-{\sigma }_j^2={\rho }_j^2.$

于是当 $0<{\sigma }_j<1$ 时可以定义单位向量

$|{\bar{u}}_j⟩:=\frac{(I-\tilde{\Pi })U|v_j⟩}{{\rho }_j}\in \ker \tilde{\Pi }.$

完全对称地（把 $U$ 换成 $U^{†}$、$\Pi$ 与 $\tilde{\Pi }$ 互换、$A$ 换成 $A^{†}$），利用 $\Pi U^{†}|u_j⟩=A^{†}|u_j⟩={\sigma }_j|v_j⟩$ 定义

$|{\bar{v}}_j⟩:=\frac{(I-\Pi )U^{†}|u_j⟩}{{\rho }_j}\in \ker \Pi ,$

并记

${\mathcal{K}}_j:=\mathrm{span}\{|v_j⟩,|{\bar{v}}_j⟩\},{\mathcal{K}}_j^{\prime }:=\mathrm{span}\{|u_j⟩,|{\bar{u}}_j⟩\}.$

我们需要两组正交性。第一组是平凡的：$⟨v_j|{\bar{v}}_{j^{\prime }}⟩=0$、$⟨u_j|{\bar{u}}_{j^{\prime }}⟩=0$（像空间与核空间正交）。第二组需要计算：对 $j\ne j^{\prime }$，

${\rho }_j{\rho }_{j^{\prime }}⟨{\bar{u}}_j|{\bar{u}}_{j^{\prime }}⟩=⟨v_j|U^{†}(I-\tilde{\Pi })U|v_{j^{\prime }}⟩=⟨v_j|v_{j^{\prime }}⟩-⟨v_j|U^{†}\tilde{\Pi }U|v_{j^{\prime }}⟩.$

我们计算第二项。先把 $\tilde{\Pi }$ 作用到本步的分解式 $U|v_{j^{\prime }}⟩={\sigma }_{j^{\prime }}|u_{j^{\prime }}⟩+|{\bar{u}}_{j^{\prime }}^{\prime }⟩$ 上，$\ker \tilde{\Pi }$ 中的分量被消去，得 $\tilde{\Pi }U|v_{j^{\prime }}⟩={\sigma }_{j^{\prime }}|u_{j^{\prime }}⟩$；再用 ${\bar{v}}_{j^{\prime }}$ 的定义式 $U^{†}|u_{j^{\prime }}⟩={\sigma }_{j^{\prime }}|v_{j^{\prime }}⟩+{\rho }_{j^{\prime }}|{\bar{v}}_{j^{\prime }}⟩$，得

$U^{†}\tilde{\Pi }U|v_{j^{\prime }}⟩={\sigma }_{j^{\prime }}^2|v_{j^{\prime }}⟩+{\sigma }_{j^{\prime }}{\rho }_{j^{\prime }}|{\bar{v}}_{j^{\prime }}⟩,$

于是与 $⟨v_j|v_{j^{\prime }}⟩={\delta }_{j{j}^{\prime }}$、$⟨v_j|{\bar{v}}_{j^{\prime }}⟩=0$ 合并，得

${\rho }_j{\rho }_{j^{\prime }}⟨{\bar{u}}_j|{\bar{u}}_{j^{\prime }}⟩={\delta }_{j{j}^{\prime }}-{\sigma }_j^2{\delta }_{j{j}^{\prime }}={\rho }_j^2{\delta }_{j{j}^{\prime }},$

即 $⟨{\bar{u}}_j|{\bar{u}}_{j^{\prime }}⟩={\delta }_{j{j}^{\prime }}$。同理 $⟨{\bar{v}}_j|{\bar{v}}_{j^{\prime }}⟩={\delta }_{j{j}^{\prime }}$。因此 $\{|u_j⟩,|{\bar{u}}_j⟩{\}}_j$ 与 $\{|v_j⟩,|{\bar{v}}_j⟩{\}}_j$ 各自构成正交归一系。

值得强调的是，${\mathcal{K}}_j$ 与 ${\mathcal{K}}_j^{\prime }$ 一般既不相等也不正交（例如 $⟨v_j|u_{j^{\prime }}⟩$ 可以是任意数）——这不影响任何推导，因为我们只需要每个族内部的正交性，以及下述”成对映射”的结构。

第三步：二维不变子空间与信号矩阵 $M(\sigma )$

现在计算 $U$ 在这些子空间之间的作用。由第二步的定义直接展开：

$$U|v_j⟩={\sigma }_j|u_j⟩+{\rho }_j|{\bar{u}}_j⟩.\text{\hspace{1em}(1)}$$

对 $U^{†}|u_j⟩$ 用对称的定义式得

$$U^{†}|u_j⟩={\sigma }_j|v_j⟩+{\rho }_j|{\bar{v}}_j⟩,\text{\hspace{1em}(2)}$$

对 (2) 两边作用 $U$ 并解出 $U|{\bar{v}}_j⟩$：

$$U|{\bar{v}}_j⟩=\frac{|u_j⟩-{\sigma }_{j}U|v_j⟩}{{\rho }_j}=\frac{(1-{\sigma }_j^2)|u_j⟩-{\sigma }_j{\rho }_j|{\bar{u}}_j⟩}{{\rho }_j}={\rho }_j|u_j⟩-{\sigma }_j|{\bar{u}}_j⟩.\text{\hspace{1em}(3)}$$

最后，利用 $|{\bar{u}}_j⟩=(I-\tilde{\Pi })U|v_j⟩/{\rho }_j$ 与第二步已算出的 $U^{†}\tilde{\Pi }U|v_j⟩={\sigma }_j^2|v_j⟩+{\sigma }_j{\rho }_j|{\bar{v}}_j⟩$：

$$U^{†}|{\bar{u}}_j⟩=\frac{U^{†}(I-\tilde{\Pi })U|v_j⟩}{{\rho }_j}=\frac{(1-{\sigma }_j^2)|v_j⟩-{\sigma }_j{\rho }_j|{\bar{v}}_j⟩}{{\rho }_j}={\rho }_j|v_j⟩-{\sigma }_j|{\bar{v}}_j⟩.\text{\hspace{1em}(4)}$$

把 (1)、(3)（以及 (2)、(4)）排成矩阵：在基 $(|v_j⟩,|{\bar{v}}_j⟩)$ 与 $(|u_j⟩,|{\bar{u}}_j⟩)$ 之间，$U$ 与 $U^{†}$ 的表示矩阵都是同一个二阶矩阵

$$M({\sigma }_j):=\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_j& {\rho }_j\\ {\rho }_j& -{\sigma }_j\end{array}\right),{\rho }_j=\sqrt{1-{\sigma }_j^2}.\text{\hspace{1em}(5)}$$

直接验证 $M({\sigma }_j{)}^2=I$（两列正交且范数为 $1$），故 $M^{-1}=M$——这解释了为什么 $U$ 与 $U^{†}$ 的表示矩阵相同。

此外，(1)–(4) 还表明不同指标 $j$ 之间没有串扰：例如 $⟨u_{j^{\prime }}|U|v_j⟩={\sigma }_j⟨u_{j^{\prime }}|u_j⟩+{\rho }_j⟨u_{j^{\prime }}|{\bar{u}}_j⟩=({\sigma }_j\delta +{\rho }_j\cdot 0)$ 只在 $j^{\prime }=j$ 时非零，其余三个矩阵元同理。因此

$U{\mathcal{K}}_j={\mathcal{K}}_j^{\prime },U^{†}{\mathcal{K}}_j^{\prime }={\mathcal{K}}_j,U\text{不把}{\mathcal{K}}_j\text{映到别的}{\mathcal{K}}_{j^{\prime }}^{\prime }(j^{\prime }\ne j).$

酉分解（信号矩阵的集中陈述）：把 $\{|v_j⟩,|{\bar{v}}_j⟩{\}}_j$ 与 $\{|u_j⟩,|{\bar{u}}_j⟩{\}}_j$ 分别扩充成全空间的正交基，定义以它们为列的酉算符 $S$ 与 $\tilde{S}$，并令

$\Lambda :=({⨁}_{j}M({\sigma }_j))\oplus {\Lambda }_{\mathrm{comp}},$

其中 ${\Lambda }_{\mathrm{comp}}$ 是正交补上的任意酉算符（例如 $I$），则

$U=\tilde{S}\Lambda S^{†}.$

这就是本词条意义下的”酉分解 $U=S^{\prime }\Sigma S^{†}$“：矩阵 $A$ 的全部信息（奇异值）都集中在块对角酉算符 $\Lambda$ 的 $2\times 2$ 块 $M({\sigma }_j)$ 里，而 $S,\tilde{S}$ 只是基变换。QSVT 的电路分析因此可以逐块进行。

第四步：QSVT 序列在不变子空间上的约化

现在考察两种相位门在这些子空间上的行为。由 $|v_j⟩\in \mathrm{im}\Pi$、$|{\bar{v}}_j⟩\in \ker \Pi$：

$e^{i\varphi Z_{\Pi }}{|}_{\{(|v_j⟩,|{\bar{v}}_j⟩)\}}=\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\varphi }& 0\\ 0& e^{-i\varphi }\end{array}\right)=S(\varphi ),$

同理 $e^{i\varphi Z_{\tilde{\Pi }}}$ 在基 $(|u_j⟩,|{\bar{u}}_j⟩)$ 下也是 $S(\varphi )$。于是整个 QSVT 电路的轨迹是：输入 $|v_j⟩\in {\mathcal{K}}_j$，每作用一次信号（$U$ 或 $U^{†}$，矩阵都是 $M({\sigma }_j)$）就跳到另一个子空间，同时每个相位门在当前基下都是对角的处理器 $S({\Phi }_k)$。把整条电路写在 ${\mathcal{K}}_j$ 的坐标里（以 $(|v_j⟩,|{\bar{v}}_j⟩)$ 为第 0、1 行），对任意的 $d$ 都得到统一的表达式

$$V_j=e^{i{\Phi }_{0}Z}M({\sigma }_j)e^{i{\Phi }_{1}Z}M({\sigma }_j)e^{i{\Phi }_{2}Z}M({\sigma }_j)\cdots M({\sigma }_j)e^{i{\Phi }_{d}Z},\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中含 $d$ 个 $M$ 与 $d+1$ 个处理器。输出的提取规则是：$d$ 偶时输出落在 ${\mathcal{K}}_j$，投影 $\Pi$ 取 $|v_j⟩$ 分量；$d$ 奇时输出落在 ${\mathcal{K}}_j^{\prime }$，投影 $\tilde{\Pi }$ 取 $|u_j⟩$ 分量。两种情形取到的都是乘积 (6) 的 $(0,0)$ 元。

我们用最小例子逐步验证。(d=1，奇)：

$V_j=e^{i{\Phi }_{0}Z}M{e}^{i{\Phi }_{1}Z}\text{作用于}(1,0{)}^{\mathsf{T}}:e^{i{\Phi }_1}\text{（处理器）}\to e^{i{\Phi }_1}\left(\begin{array}{c}\sigma \\ \rho \end{array}\right)\text{（信号）}\to \left(\begin{array}{c}{e}^{i({\Phi }_0+{\Phi }_1)}\sigma \\ e^{i({\Phi }_1-{\Phi }_0)}\rho \end{array}\right)\text{（处理器）},$

$(0,0)$ 元为 $\sigma e^{i({\Phi }_0+{\Phi }_1)}$，是一个一次奇多项式。

(d=2，偶) 按时间从右向左逐步追踪 $|v_j⟩$ 的坐标：

1. 处理器 $e^{i{\Phi }_{2}Z}$：得 $e^{i{\Phi }_2}|v⟩$；
2. 信号 $U$（由式 (1)）：得 $e^{i{\Phi }_2}(\sigma |u⟩+\rho |\bar{u}⟩)$；
3. 处理器 $e^{i{\Phi }_{1}Z}$（在 ${\mathcal{K}}_j^{\prime }$ 基下对角）：得 $e^{i{\Phi }_2}(e^{i{\Phi }_1}\sigma |u⟩+e^{-i{\Phi }_1}\rho |\bar{u}⟩)$；
4. 信号 $U^{†}$（由式 (4)）：利用 $U^{†}|u⟩=\sigma |v⟩+\rho |\bar{v}⟩$ 与 $U^{†}|\bar{u}⟩=\rho |v⟩-\sigma |\bar{v}⟩$，得 $e^{i{\Phi }_2}\left[\right(e^{i{\Phi }_1}{\sigma }^2+e^{-i{\Phi }_1}{\rho }^2)|v⟩+(e^{i{\Phi }_1}-e^{-i{\Phi }_1})\sigma \rho |\bar{v}⟩];$
5. 处理器 $e^{i{\Phi }_{0}Z}$：给 $|v⟩$ 分量乘 $e^{i{\Phi }_0}$。

输出投影 $\Pi$ 取 $|v⟩$ 分量，得二次偶多项式

$$[V_j{]}_{00}=e^{i({\Phi }_0+{\Phi }_2)}(e^{i{\Phi }_1}{\sigma }^2+e^{-i{\Phi }_1}{\rho }^2).\text{\hspace{1em}(7)}$$

第五步：与 QSP 的精确对应

第四步把 QSVT 化成了”信号 $M(\sigma )$ + 处理器 $e^{i\Phi Z}$“的单量子比特序列，而 QSP 教程的定理是关于”信号 $W(x)$ + 处理器 $S(\varphi )$“的。二者由一个恒等式联系起来：

$$M(\sigma )=-iS\left(\frac{\pi }{4}\right)W(\sigma )S\left(\frac{\pi }{4}\right).\text{\hspace{1em}(8)}$$

验证：$S(\pi /4)=\mathrm{diag}(e^{i\pi /4},e^{-i\pi /4})$，逐块相乘得 $S(\pi /4)WS(\pi /4)=\left(\begin{array}{cc}i\sigma & i\rho \\ i\rho & -i\sigma \end{array}\right)=iM(\sigma )$。

把 (8) 代入 (6)，并利用相邻处理器可以合并相位（$S(a)S(b)=S(a+b)$）：

$M{e}^{i{\Phi }_{k}Z}=-iS(\frac{\pi }{4})WS\left({\Phi }_k+\frac{\pi }{4}\right),$

相邻两个 $M$ 之间多余的 $S(\pi /4)$ 被前一个处理器吸收，使中间相位移到 ${\Phi }_k+\frac{\pi }{2}$；最左端 $e^{i{\Phi }_{0}Z}$ 与 $S(\frac{\pi }{4})$ 合并为 $S({\Phi }_0+\frac{\pi }{4})$。整理得矩阵恒等式

$$V_j=(-i{)}^{d}S({\Psi }_0)\prod _{k=1}^d(W({\sigma }_j)S({\Psi }_k))=(-i{)}^d{U}_{\mathrm{QSP}}(\vec{\Psi };{\sigma }_j),\text{\hspace{1em}(9)}$$

其中 ${\Psi }_0={\Phi }_0+\frac{\pi }{4}$、${\Psi }_k={\Phi }_k+\frac{\pi }{2}$（$1\le k\le d-1$）、${\Psi }_d={\Phi }_d+\frac{\pi }{4}$ 正是主定理中的相位平移。这就是”QSVT 的每个不变子空间上运行着一条 QSP 序列”的精确表述；换言之，QSVT 是 $N$ 条并行的 QSP 序列，每条对应一个奇异值。

我们再用两个低阶例子核对 (9)。$d=1$：右端 $(-i)[S({\Phi }_0+\frac{\pi }{4})WS({\Phi }_1+\frac{\pi }{4}){]}_{00}=(-i)\sigma e^{i({\Phi }_0+{\Phi }_1+\frac{\pi }{2})}=\sigma e^{i({\Phi }_0+{\Phi }_1)}$，与第四步的直接计算一致。$d=2$：由 $[S(a)WS(b)WS(c){]}_{00}=e^{i(a+c)}({\sigma }^2{e}^{ib}-{\rho }^2{e}^{-ib})$（两次矩阵相乘即可验证），取 $(a,b,c)=({\Phi }_0+\frac{\pi }{4},{\Phi }_1+\frac{\pi }{2},{\Phi }_2+\frac{\pi }{4})$：

$[U_{\mathrm{QSP}}{]}_{00}=e^{i({\Phi }_0+{\Phi }_2+\frac{\pi }{2})}({\sigma }^2{e}^{i({\Phi }_1+\frac{\pi }{2})}-{\rho }^2{e}^{-i({\Phi }_1+\frac{\pi }{2})})=-e^{i({\Phi }_0+{\Phi }_2)}(e^{i{\Phi }_1}{\sigma }^2+e^{-i{\Phi }_1}{\rho }^2),$

乘以 $(-i{)}^2=-1$ 后恰为 (7)。两种算法一致。

由 (9) 与 QSP 的矩阵形式定理（QSP 教程”引理 1”），我们还得到完整的矩阵形式：存在由 $\vec{\Psi }$ 决定的互补多项式 $Q$（$\mathrm{deg}Q\le d-1$，与 $d-1$ 同奇偶），使

$V_j=(-i{)}^d\left(\begin{array}{cc}P({\sigma }_j)& i{\rho }_{j}Q({\sigma }_j)\\ i{\rho }_j{Q}^{\ast }({\sigma }_j)& P^{\ast }({\sigma }_j)\end{array}\right),|P(x){|}^2+(1-x^2)|Q(x){|}^2=1.$

特别地，泄漏出投影子空间的分量由 $i{\rho }_{j}Q({\sigma }_j)$ 精确给出，且在 ${\sigma }_j\to 1$ 时自动消失。

第六步：定理的证明

正命题的证明。由第三步，电路的每个因子（$U$、$U^{†}$、两种相位门）都保持子空间族 $\{{\mathcal{K}}_j,{\mathcal{K}}_j^{\prime }\}$ 不变且不产生 $j$ 之间的串扰；由第四步，$U_{\vec{\Phi }}$ 限制到第 $j$ 对子空间上的矩阵是 (6)，输入 $|v_j⟩$ 对应坐标 $(1,0{)}^{\mathsf{T}}$。于是：

• $d$ 奇：输出态的 ${\mathcal{K}}_j^{\prime }$ 坐标是 (6) 的第一列，$\tilde{\Pi }$ 投影取其第 $0$ 分量 $[V_j{]}_{00}$，而 $\ker \tilde{\Pi }$ 中的 $|{\bar{u}}_j⟩$ 分量被投影消去；
• $d$ 偶：输出态的 ${\mathcal{K}}_j$ 坐标是 (6) 的第一列，$\Pi$ 投影取第 $0$ 分量。

结合 (9) 与 $[U_{\mathrm{QSP}}{]}_{00}=P$，即得定理的两个等式。交叉项 $⟨v_{j^{\prime }}|U_{\vec{\Phi }}|v_j⟩$（$j^{\prime }\ne j$）由无串扰性质为零；又由定理前提，$\mathrm{im}\Pi$ 恰由 $\{|v_j⟩\}$ 张成、$\mathrm{im}\tilde{\Pi }$ 恰由 $\{|u_j⟩\}$ 张成，不存在其他输入或输出方向，故两个算符等式在全体方向上成立。

Hermitian 情形。当 $A$ Hermitian、$\Pi =\tilde{\Pi }$ 时，$|u_j⟩=\mathrm{sign}({\lambda }_j)|E_j⟩$、$|v_j⟩=|E_j⟩$（符号可任放一侧）。代入两个等式：$d$ 奇时 ${\sum }_{j}P({\sigma }_j)|u_j⟩⟨v_j|={\sum }_{j}P(|{\lambda }_j|)\mathrm{sign}({\lambda }_j)|E_j⟩⟨E_j|$，对奇多项式等于 ${\sum }_{j}P({\lambda }_j)|E_j⟩⟨E_j|=P(A)$；$d$ 偶时 ${\sum }_{j}P({\sigma }_j)|v_j⟩⟨v_j|={\sum }_{j}P(|{\lambda }_j|)|E_j⟩⟨E_j|$，对偶多项式同样等于 $P(A)$。证毕。

逆命题的证明。设 $P$ 满足 QSP 可达条件。由 QSP 表示定理（QSP 教程”定理：QSP 表示定理”），存在相位 $\vec{\Psi }$ 使 $[U_{\mathrm{QSP}}(\vec{\Psi }){]}_{00}=P$。按第二步的公式把 $\vec{\Psi }$ 平移为 QSVT 相位 $\vec{\Phi }$，由已证的正命题，所得电路实现 $(-i{)}^d{P}^{SV}$，整体相位用 ${\Phi }_0\to {\Phi }_0+\frac{\pi d}{4}$ 消去。证毕。

注记（边缘奇异值与核方向）。上述构造在 ${\sigma }_j=1$ 处退化（${\rho }_j=0$，二维子空间塌缩成一维，此时 $U|v_j⟩=|u_j⟩$，电路退化为纯相位累积）。由于 (9) 的两端都是 $\sigma \in [0,1]$ 上的连续矩阵值函数，且在 $(0,1)$ 内恒等，故在端点处也成立；这同时说明 ${\sigma }_j=1$ 的行为与 QSP 的端点条件 $|P(\pm 1)|=1$ 相容。实践中我们还可以直接把块编码的归一化常数 $\alpha$ 取为严格大于 $\Vert A\Vert$，使所有 ${\sigma }_j/\alpha <1$，彻底避开退化。至于 $\ker A$ 方向：若 $A$ 在两个投影像之间存在核方向（例如 $A$ 不满秩），上述算符恒等式应理解为先把输出投影回 $\mathrm{span}\{|u_j⟩\}$——用无串扰性质的同样归纳可以证明，从核方向出发的轨迹始终与所有 ${\mathcal{K}}_j^{\prime }$ 正交，故其贡献到 $\mathrm{span}\{|u_j⟩\}$ 的分量为零，与 $P^{SV}$ 在核方向上取零的定义一致；而电路把核方向输入泄漏到 $\mathrm{im}\tilde{\Pi }\ominus \mathrm{span}\{|u_j⟩\}$ 的分量不受 $P^{SV}$ 约束。这不影响应用：应用中的输入态（如 $|b⟩$ 经阈值多项式处理后）都落在 $A$ 支集的相关方向上。

注记（可达集的放宽）。在本词条的电路形式下，可实现的多项式集与 QSP 完全一致（含端点条件 $|P(\pm 1)|=1$）。Gilyén 等人（2019）与 Martyn 等人（2021）利用双投影子形式与对称相位约定进一步证明：目标多项式可以作为某个复值 QSP 多项式的实部被实现，从而可达集放宽为”次数 $\le d$、奇偶性与 $d$ 一致、$|P|\le 1$“，不再要求端点条件。矩阵求逆等不满足端点条件的目标在实践中使用这一放宽形式；其完整证明涉及相位约定之间的细致换算，超出本词条范围，我们只引用结论。

数值抽查：一个 $2\times 2$ 例子

取 Qubitization 教程例子一中的矩阵与块编码：$A=\mathrm{diag}(0.6,0.8)$（Hermitian，$\alpha =1$，一个辅助比特），

$U_A=\left(\begin{array}{cc}0.6& 0.8\\ 0.8& -0.6\end{array}\right)\oplus \left(\begin{array}{cc}0.8& 0.6\\ 0.6& -0.8\end{array}\right)$

（直和按系统态分块，$⟨0{|}_a{U}_A|0{⟩}_a=A$）。取 $\Pi =\tilde{\Pi }=|0⟩⟨0{|}_a\otimes I_s$。$A$ 的奇异值为 ${\sigma }_1=0.6$、${\sigma }_2=0.8$，且 $v_j=u_j=|j{⟩}_s$。

对 $j=1$：$U_A|0a⟩|0s⟩=0.6|0a0s⟩+0.8|1a0s⟩$，故 ${\bar{u}}_1=|1a0s⟩$、${\rho }_1=0.8$，${\mathcal{K}}_1={\mathcal{K}}_1^{\prime }=\mathrm{span}\{|0a0s⟩,|1a0s⟩\}$，$U_A$ 在此基下的矩阵恰为

$M(0.6)=\left(\begin{array}{cc}0.6& 0.8\\ 0.8& -0.6\end{array}\right)$

——与公式 (5) 完全一致（$\sigma =0.6$、$\rho =0.8$）。$j=2$ 同理给出 $M(0.8)$，即第二个直和块。

现在运行 $d=2$、$\vec{\Phi }=(0,\pi /2,0)$ 的 QSVT 电路。由恒等式 (8) 反解，这对应 QSP 相位 $\vec{\Psi }=(\pi /4,\pi ,\pi /4)$，其多项式为 $P(x)=e^{i({\Psi }_0+{\Psi }_2)}({\sigma }^2{e}^{i{\Psi }_1}-{\rho }^2{e}^{-i{\Psi }_1})$。代入 $e^{i({\Psi }_0+{\Psi }_2)}=e^{i\pi /2}=i$ 与 $e^{i{\Psi }_1}=e^{-i{\Psi }_1}=-1$：

$P(x)=i({\rho }^2-{\sigma }^2)=i(1-2{\sigma }^2)=-i{T}_2(\sigma ),$

即（差一个相位因子的）二阶切比雪夫多项式。直接计算 $j=1$ 块上 (6) 的 $(0,0)$ 元验证：此时 (6) 为 $M\mathrm{diag}(i,-i)M$，先算右端两个因子的乘积

$\mathrm{diag}(i,-i)M=\left(\begin{array}{cc}i& 0\\ 0& -i\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0.6& 0.8\\ 0.8& -0.6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0.6i& 0.8i\\ -0.8i& 0.6i\end{array}\right),$

再左乘 $M=\left(\begin{array}{cc}0.6& 0.8\\ 0.8& -0.6\end{array}\right)$，其 $(0,0)$ 元为 $0.6\times 0.6i+0.8\times (-0.8i)=0.36i-0.64i=-0.28i$；而定理的预言是 $(-i{)}^{2}P(0.6)=-P(0.6)=i{T}_2(0.6)=i\times (2\times 0.36-1)=-0.28i$，两者一致。这与 Qubitization 教程中行走算符幂的转移矩阵恒等式 $(⟨0|\otimes I)W^{\prime n}(|0⟩\otimes I)=T_n(A/\lambda )$ 相呼应：切比雪夫多项式 $T_d$ 既可以由行走算符的 $d$ 次幂实现，也可以由 $d$ 层 QSVT 相位电路实现，二者是同一多项式的两条电路路径。

误差传播与调用次数的最优性

QSVT 的误差来源有三类，我们逐项给出机制。

多项式逼近误差。由 $\Vert {\sum }_j{c}_j|u_j⟩⟨v_j|\Vert ={\max }_j|c_j|$（SVD 基下的”对角”算符，范数等于最大系数），

$\Vert f^{SV}-P^{SV}\Vert \le \Vert f-P{\Vert }_{\infty }\le {\epsilon }_{\mathrm{poly}}.$

相位数值误差。设计算出的相位满足 $|{\tilde{\Phi }}_k-{\Phi }_k|\le \delta$。每个处理器满足 $\Vert \frac{\partial }{\partial \varphi }S(\varphi )\Vert =\Vert iZS(\varphi )\Vert =1$，信号 $M(\sigma )$ 与相位无关，故乘积 (6) 的每个元素作为 $\vec{\Phi }$ 的函数是 Lipschitz 常数 $\le d+1$ 的映射（链式法则加三角不等式），输出偏差 $O(d\delta )$。

块编码误差。设以 $\epsilon$-精度的块编码 $\tilde{U}$（即 $\Vert \tilde{A}-A\Vert \le \epsilon$，$\tilde{A}=\tilde{\Pi }\tilde{U}\Pi$）代替 $U$ 运行同样的电路。Gilyén 等人（2019）证明输出与目标的偏差为 $O(d\epsilon )$。证明思路：块误差相当于每个不变平面上的有效信号值偏离 ${\sigma }_j$ 达 $O(\epsilon )$（Weyl 扰动定理），而电路输出 (6) 的 $(0,0)$ 元作为这些信号值的多项式函数，$d$ 步累积的灵敏度为 $O(d)$；严格证明还需处理不变子空间自身的扰动与块间的串扰，见原文。

三项合并：

$\Vert f^{SV}-\text{QSVT 输出}\Vert =O(d\cdot (\epsilon +\delta )+{\epsilon }_{\mathrm{poly}}).$

调用次数的下界。对 $U_A$（及其逆）的每一次查询，输出矩阵元作为 $U_A$ 各矩阵元的函数，其多项式次数至多增加 $1$（乘一个矩阵元是一次乘法）。因此实现次数为 $d$ 的多项式变换至少需要 $\Omega (d)$ 次查询——这是经典多项式方法（polynomial method）的标准论证。QSVT 的 $d$ 次调用恰好达到此下界，因此在查询复杂度意义下是最优的。

复杂度总结

应用	多项式次数 $d$	总门数
$A^{-1}$	$O(\kappa \log (\kappa /\epsilon ))$	$O(\kappa \log (\kappa /\epsilon )\cdot C_{U_A})$
$e^{-iHt}$	$O(\alpha t+\log (1/\epsilon ))$	$O((\alpha t+\log (1/\epsilon ))\cdot C_{U_H})$
$\mathrm{sign}(A)$	$O(\kappa \log (1/\epsilon ))$	$O(\kappa \log (1/\epsilon )\cdot C_{U_A})$
$e^{-\beta H/2}$（Gibbs 态）	$O(\beta \alpha +\log (1/\epsilon ))$	$O(d\cdot C_{U_H})$
Grover 搜索	$O(\sqrt{N})$	$O(\sqrt{N})$

表中 $\alpha$ 为块编码归一化常数（LCU 情形为 $\lambda =\Vert \vec{\alpha }{\Vert }_1$），$C_{U_A}$ 为单次块编码调用的门数。所有情形均达到 $\Omega (d)$ 的查询下界。

与其他框架的统一关系

QSVT 可以重新导出本词条前面各教程中的算法作为特例：

• QSP（一维信号处理）：取 $A=x$ 为 $1\times 1$ 矩阵、$U$ 为单量子比特信号旋转，QSVT 逐字退化为 QSP；
• Qubitization：对 LCU 块编码，行走算符 $W^{\prime }=U_A{R}_0$ 的二维不变平面正是本词条的 $({\mathcal{K}}_j,{\mathcal{K}}_j^{\prime })$ 结构在 Hermitian 情形下的实现；行走幂给出切比雪夫多项式（见数值抽查），相位交错给出一般多项式；
• HHL（矩阵求逆）：$d=O(\kappa \log (\kappa /\epsilon ))$ 的奇多项式加振幅放大；
• Grover（振幅放大）：一阶块编码 $A=|w⟩⟨s|$，$d=O(\sqrt{N})$；
• 哈密顿量模拟：$d=O(\alpha t+\log (1/\epsilon ))$，与 Trotter 的 $O(L{\lambda }^2{t}^2/\epsilon )$-型门数（见 Trotterization 教程）相比，对精度的依赖从 $1/\epsilon$ 改进到 $\log (1/\epsilon )$。

这一统一不仅在理论上有审美价值，更有实际意义：所有算法共享相同的电路结构（交替的块编码与相位旋转），区别仅在于相位参数——这意味着通用的 QSVT 编译器可以一键生成各种量子算法。

实现挑战

1. 块编码的构造成本

QSVT 假定 $U_A$ 已知，但构造 $U_A$ 本身可能代价高昂：

• 泡利分解的 $L$ 项哈密顿量：$C_{U_A}=O(L\cdot n+C_{\mathrm{PREP}})$；
• 稠密矩阵：$C_{U_A}=O(N)$ 量级的 QRAM 型访问，失去量子优势；
• 结构化矩阵（稀疏、低秩）：$C_{U_A}=O(\mathrm{poly}(n))$。

2. 相位参数的数值精度

Haah 的 $O(d^2)$ 算法对大 $d$ 可能面临数值稳定性问题。当前最佳实践：

• 使用高精度浮点计算；
• 迭代求精（先用低精度求粗解，再用牛顿法细化）；
• 对称化约束（${\Psi }_k={\Psi }_{d-k}$ 型约束）降低参数空间。

3. 近期设备的限制

QSVT 电路需要 $d$ 次块编码调用，对近期量子设备（NISQ）来说 $d$ 可能过大。缓解策略：

• 低阶 QSVT（$d=O(10)$）结合经典后处理；
• 变分 QSVT：用参数化电路近似 QSVT 序列；
• 块编码的深度优化（使用专用量子门）。

近期进展

年份	贡献	内容
2019	Gilyén et al.	QSVT 原始论文：统一框架与完整理论
2021	Martyn et al.	QSP 与 QSVT 的等价性（Grand Unification），相位约定的系统梳理
2022 年起	多项工作	QSVT 在量子化学、Gibbs 态制备、偏微分方程与量子机器学习中的应用

总结

QSVT 是量子计算理论的一座里程碑。它把看似独立的量子算法统一为”对奇异值的多项式变换”这一优雅框架：奇异值分解（Hermitian 情形下由符号函数配平左、右奇异向量）与酉性共同产生一族二维不变子空间，酉分解 $U=\tilde{S}\Lambda S^{†}$ 把块编码的全部谱信息压缩进 $2\times 2$ 信号矩阵 $M(\sigma )$；QSVT 电路在每个不变子空间上逐块化为一条 QSP 序列，相位对应为两端平移 $\pi /4$、中间平移 $\pi /2$。由此，QSP 的表示定理、逼近理论与最优性逐字提升为矩阵情形，实现了深度最优、误差精确可控的矩阵函数计算。理解 QSVT 是理解现代量子算法设计的钥匙。

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参考文献：

1. Gilyén, A., Su, Y., Low, G. H., & Wiebe, N. (2019). Quantum singular value transformation and beyond. STOC 2019.
2. Martyn, J. M., Rossi, Z. M., Tan, A. K., & Chuang, I. L. (2021). Grand unification of quantum algorithms. PRX Quantum, 2(4), 040203.
3. Low, G. H., & Chuang, I. L. (2017). Optimal Hamiltonian simulation by quantum signal processing. Physical Review Letters, 118(1), 010501.
4. Haah, J. (2019). Product decomposition of periodic functions in quantum signal processing. Quantum, 3, 190.

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参考资料

• 本词条整理自《量子计算算法教程》原文：ch05-hamiltonian-qsp/qsvt-tutorial
• 内容遵循 CC BY-NC-SA 4.0 许可协议