量子 PDE 求解

量子偏微分方程（partial differential equation, PDE）求解是量子计算最具变革性潜力的应用之一。PDE 描述了物理世界的基本规律——流体力学、电磁学、量子场论、金融定价——而经典求解的计算代价随空间维度指数增长。本词条系统梳理量子 PDE 求解的复杂度演进史，从 2014 年前后的初步方案到 2024 年的最优结果。记号与本百科 HHL 教程保持一致：条件数（condition number）记 $\kappa$，酉演化采用 $e^{iHt}$ 约定，$n=\lceil {\log }_{2}N\rceil$ 为编码 $N$ 维离散系统所需的量子比特数；为避免与条件数混淆，热方程的扩散系数记 $\alpha$（而非部分文献的 $\kappa$）。

问题定义

PDE 的一般形式

我们考虑发展型方程

$\frac{\partial u}{\partial t}=\mathcal{L}[u]+f(\mathbf{x},t),u(\mathbf{x},0)=u_0(\mathbf{x}),$

其中 $\mathcal{L}$ 是空间微分算符（如 Laplace 算符 $\Delta$、散度 $\nabla \cdot$、旋度 $\nabla \times$），$f$ 为源项；椭圆型方程（如 Poisson 方程）没有时间变量，直接化为边值问题。主要类型如下表所示。

类型	代表方程	物理意义
抛物型	热方程 $u_t=\alpha \Delta u$	扩散、热传导
双曲型	波方程 $u_{tt}=c^2\Delta u$	声波、电磁波
椭圆型	Poisson 方程 $\Delta u=f$	静电场、引力
混合型	Navier-Stokes 方程	流体力学

经典复杂度

对 $d$ 维空间、每维 $N$ 个格点（共 $N^d$ 个自由度）、时间精度 $\epsilon$ 的问题，经典方法的代价为：$p$ 阶时间格式需要 $O(T{\epsilon }^{-1/p})$ 步（局部误差 $O(h^{p+1})$ 累积为全局误差 $O(h^p)$），每步代价由空间离散算子的应用或求解决定，如下表。

方法	每步复杂度	步数	总复杂度
有限差分（显式）	$O(N^d)$	$O(T{\epsilon }^{-1/p})$	$O(N^{d}T{\epsilon }^{-1/p})$
有限元（隐式稀疏求解）	$O(N^d)$	$O(T{\epsilon }^{-1/p})$	$O(N^{d}T{\epsilon }^{-1/p})$
谱方法（FFT）	$O(N^d\log N)$	$O(T{\epsilon }^{-1/p})$	$O(N^d\log NT{\epsilon }^{-1/p})$

维度灾难（curse of dimensionality）体现在自由度数 $N^d$ 上：$d=3$ 时 $N^3$ 已十分巨大，$d>10$ 时经典方法完全不可行。量子编码把空间自由度压缩到 $n=d{\log }_{2}N$ 个量子比特，这是量子 PDE 求解的根本动机；但门数是否也随之改善，取决于下文讨论的条件数与输出方式。

量子 PDE 求解的复杂度演进

第一代：量子模拟直接方法（2014-2019）

Berry 的高阶 ODE 算法 [1] 与 Lloyd 等人的早期方案确立了基本范式：对线性 PDE，先做空间离散化得到线性 ODE 系统 $\dot{\mathbf{u}}=A\mathbf{u}$，其中 $A$ 由空间差分矩阵构成，再用 Trotter 分解逐步推进 $e^{A\Delta t}$ 类的演化。

对 Hermitian 部分（可写成 $i\dot{\mathbf{u}}=H\mathbf{u}$ 的系统，如波方程的适当变形，见下文），问题直接归结为稀疏哈密顿量模拟。$A$ 的稀疏度为 $L=O(d)$（每个格点只与 $2d$ 个邻居耦合），编码需要 $n=\lceil d{\log }_{2}N\rceil$ 个量子比特。用一阶 Trotter 分解实现时间 $T$ 的演化，门数为

$O\left(L\cdot n\cdot \frac{T}{\Delta t}\cdot {\epsilon }^{-1/(2p)}\right),$

其中 $p$ 阶 Suzuki 公式把每步误差压到 $O(\Delta t^{p+1})$。这一代方法的关键限制是：空间复杂度对 $d$ 指数改善，但时间复杂度中 $\Delta t$ 受稳定性与精度双重约束，整体对 $1/\epsilon$ 只有多项式依赖（早期约为 $O(T^2/\epsilon )$ 量级），且只适用于能直接写成酉演化的系统。

第二代：高阶方法（2020-2022）

Costa–An–Jordan–Liu 的波方程量子算法与同期工作把时间积分系统地高阶化：用高阶 Magnus 展开处理时变部分、用高阶 Suzuki 公式或截断 Taylor 级数降低分解误差，将复杂度改进为

$O\left(L\cdot n\cdot (T^{1+o(1)}+\log (1/\epsilon ))\right),$

即对模拟时间近线性、对精度对数。这一步把”对 $1/\epsilon$ 多项式依赖”的瓶颈彻底移除，代价是对 $T$ 的 $T^{1+o(1)}$ 超线性因子。

第三代：Schrödingerization（2022-2024）

Jin–Liu–Yu 提出的 Schrödingerization 框架 [2] 是突破性的：它不要求算符 Hermitian、不依赖 Trotter 分解，适用于任意线性 PDE。我们给出其构造的完整推导，这与本百科 ODE 教程中的推导一致。

空间离散化后，线性 PDE 化为 $\dot{\mathbf{w}}=A\mathbf{w}$（$A$ 为 $N^d\times N^d$ 矩阵，可以是非 Hermitian 的）。把 $A$ 分解为 Hermitian 与反 Hermitian 部分：

$H_R:=\frac{A+A^{†}}{2},H_I:=\frac{A-A^{†}}{2i},A=H_R+i{H}_I,$

引入辅助变量 $\eta \in \mathbb{R}$（动量算符 $P=-i{\partial }_{\eta }$，自伴）与初值 $\Phi (0,\eta )={\mathbf{w}}_0{e}^{-\eta }\Theta (\eta )$，则增广哈密顿量取为

$\mathcal{K}=\frac{A+A^{†}}{2}\otimes P+\frac{i}{2}(A-A^{†})\otimes I.$

$\mathcal{K}$ 是 Hermitian 的（两个直积项的每个因子都 Hermitian），因此 $e^{-i\mathcal{K}t}$ 是酉演化，可用任意标准模拟方法实现。在 $\eta$ 表示下薛定谔方程化为输运方程 ${\partial }_t\Phi =-H_R{\partial }_{\eta }\Phi +i{H}_I\Phi$（速度 $-H_R$ 叠加相位旋转）；当 $[H_R,H_I]=0$ 时沿特征线求解给出 $\Phi (t,\eta )=e^{i{H}_{I}t}{\Phi }_0(\eta -H_{R}t)$，于是恢复量 $e^{\eta }\Phi (t,\eta )=e^{i{H}_{I}t}{e}^{H_{R}t}{\mathbf{w}}_0=e^{At}{\mathbf{w}}_0$ 精确成立；非交换情形由生成元幂级数的逐项归纳同样给出精确恢复（严格表述见 [2]）。

我们用热方程逐模式验证构造。$A=\alpha \Delta$ 是 Hermitian 的（$H_R=\alpha \Delta$、$H_I=0$），故 $\mathcal{K}=\alpha \Delta \otimes P$，$\eta$ 表示下方程为 ${\partial }_t\Phi =-\alpha \Delta {\partial }_{\eta }\Phi$。对特征模式 $e^{ikx}$（$\Delta e^{ikx}=-k^2{e}^{ikx}$，见下文谱方法一节的推导），输运速度为 $\alpha k^2$，解为

${\Phi }_k(t,\eta )={\Phi }_k(0,\eta +\alpha k^{2}t)⟹e^{\eta }{\Phi }_k(t,\eta )=e^{-\alpha k^{2}t}{\hat{u}}_k(0),$

恰好给出热方程的衰减因子 $e^{-\alpha k^{2}t}$。整体复杂度为

$O\left(\mathrm{poly}(n)\cdot (\Vert A\Vert t+\log (1/\epsilon ))\right),$

突破点在于：对局域差分算符 $\Vert A\Vert =O(d/h^2)$ 与格点总数 $N^d$ 无关（只与尺度相关），因此总代价是 $\mathrm{poly}(n)\cdot T$ 而非 $\mathrm{poly}(N^d)\cdot T$。后选择概率正比于解的范数平方与初值范数平方之比；解指数衰减（长期热演化）时需要振幅放大，这一代价与问题的物理收缩率相关，无法由算法侧消除。

第四代：黑盒 PDE 求解（2023-2024）

An–Liu–Lin 的 LCHS（linear combination of Hamiltonian simulation）框架 [3] 针对非齐次线性系统 ${\partial }_{t}u=\mathcal{L}u+f$ 给出了近最优的态制备方案。出发点仍是 Duhamel 公式（推导见本百科 ODE 教程情况三，由常数变易法得到）：

$u(T)=e^{\mathcal{L}T}{u}_0+{\int }_0^T{e}^{\mathcal{L}(T-s)}f(s)ds.$

量子实现分为三步：第一步，把积分离散化为 $M$ 个时间片上的求积 ${\sum }_m{w}_m{e}^{\mathcal{L}(T-s_m)}f(s_m)$；第二步，对每个 $m$，用 LCHS 把非酉块 $e^{\mathcal{L}(T-s_m)}$ 分解为一族可模拟酉演化 $e^{-i\tilde{H}(\alpha )t}$ 的加权积分（$\tilde{H}(\alpha )$ 由 $\mathcal{L}$ 的 Hermitian 与反 Hermitian 部分组装，积分权重可解析给出）；第三步，用受控操作把所有时间片叠加成历史态，末时刻分量即解。相比早期方法，总代价从 $O(T^2/\epsilon )$ 降至

$O\left(T\cdot \mathrm{polylog}(T/\epsilon )\right),$

这是已知的近最优时间依赖。

主要 PDE 类型的具体处理

热方程（抛物型）

热方程为 ${\partial }_{t}u=\alpha \Delta u$。我们先在傅里叶基下对角化（完整推导见下文谱方法一节）：周期域上 $u(x,t)={\sum }_k{\hat{u}}_k(t)e^{ikx}$，逐项代入得 ${\dot{\hat{u}}}_k=-\alpha k^2{\hat{u}}_k$，解为

${\hat{u}}_k(t)=e^{-\alpha k^{2}t}{\hat{u}}_k(0),$

即每个模式的模长严格衰减——传播子 $e^{\alpha \Delta t}$ 是收缩半群而非酉算符。这正是量子模拟的挑战所在：$e^{i(-i\alpha \Delta )t}=e^{\alpha \Delta t}$ 需要”虚时间演化”，不是酉操作。可行的量子路线有三条。其一，Schrödingerization：按第三节的构造 $\mathcal{K}=\alpha {\Delta }_h\otimes P$（${\Delta }_h$ 为离散 Laplacian），通过辅助维度与后选择实现收缩；解衰减越多，后选择概率越低，需配合重缩放（见 ODE 教程情况四）。其二，QSVT：对块编码的 $\alpha {\Delta }_h$ 施加多项式变换 $P(x)\approx e^{\alpha xt}$，直接以多项式代价（随 $\alpha \Vert {\Delta }_h\Vert t$ 与 $\log (1/\epsilon )$ 多项式增长）实现收缩半群。其三，隐式时间步进（如 Crank–Nicolson）把每步化为线性方程组 $(I-\frac{\alpha \Delta t}{2}{\Delta }_h)u^{(m+1)}=(I+\frac{\alpha \Delta t}{2}{\Delta }_h)u^{(m)}$，再调用线性求解器，代价由该系统的条件数（$O(N^2)$，见 Poisson 一节）决定。整体复杂度 $O(\mathrm{poly}(n)\cdot T)$。

波方程（双曲型）

波方程为 ${\partial }_{tt}u=c^2\Delta u$。降为一阶系统的朴素做法是令 $v={\partial }_{t}u$，得到

${\partial }_t\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& I\\ c^2\Delta & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right).$

需要指出：这个生成矩阵并不是 Hermitian 的——按分块伴随的计算，${\left(\begin{array}{cc}0& I\\ c^2\Delta & 0\end{array}\right)}^{†}=\left(\begin{array}{cc}0& c^2{\Delta }^{†}\\ I& 0\end{array}\right)$，它与原矩阵相等当且仅当 $c^2\Delta =I$，一般并不成立。波方程守恒的是能量范数而非标准范数，正确的 Hermitian 化必须引入平方根算符。记 $B:=c(-\Delta {)}^{1/2}$（$\Delta$ 的谱非正，故 $B$ 是 Hermitian 正算符），做变量替换 $\psi :=(Bu,v{)}^{\mathsf{T}}$，我们逐行求导：

${\partial }_t(Bu)=Bv,{\partial }_{t}v=c^2\Delta u=-c^2(-\Delta )u=-B^{2}u=-B(Bu),$

即 ${\partial }_t\psi =M\psi$，$M=\left(\begin{array}{cc}0& B\\ -B& 0\end{array}\right)$。由 $B=B^{†}$ 直接验算

$M^{†}=\left(\begin{array}{cc}0& (-B{)}^{†}\\ B^{†}& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -B\\ B& 0\end{array}\right)=-M,$

即 $M$ 反 Hermitian，因此 $e^{Mt}$ 是酉演化，$\Vert \psi (t){\Vert }^2=\Vert Bu(t){\Vert }^2+\Vert v(t){\Vert }^2$ 守恒（这正是能量）。写成薛定谔形式 $i{\partial }_t\psi =H\psi$，哈密顿量为 $H=iM=\left(\begin{array}{cc}0& iB\\ -iB& 0\end{array}\right)$，它是 Hermitian 的（验证：$H^{†}=-i{M}^{†}=-i(-M)=iM=H$）。在傅里叶基下 $B$ 对角（$B{e}^{ikx}=c|k|e^{ikx}$），每个模式以频率 $ck$ 谐振；单模式核对：$u=\cos (ckt)\cos (kx)$ 给出 $Bu=ck\cos (ckt)\cos (kx)$、$v=-ck\sin (ckt)\cos (kx)$，故 $\Vert \psi {\Vert }^2=c^2{k}^2({\cos }^2+{\sin }^2)=c^2{k}^2$ 为常数。离散化后 $B=c(-{\Delta }_h{)}^{1/2}$ 一般是稠密的，但恰好可用谱方法（下节）经 QFT 对角化实现，或者保留非 Hermitian 的一阶形式改用 Schrödingerization/LCHS。复杂度 $O(\mathrm{poly}(n)\cdot T)$。

Poisson 方程（椭圆型）

Poisson 方程 $\Delta u=f$（等价地 $-\Delta u=-f$，我们解正定的 $-\Delta u=g$ 形式）没有时间变量，有限差分离散化直接得到线性方程组。我们把整条推导链逐步展开。

第一步（中心差分格式及其误差）。在 $[0,1]$ 上取网格 $x_i=ih$（$i=0,\dots ,N+1$，$h=1/(N+1)$），内部节点为未知量。由 Taylor 展开

$u(x\pm h)=u(x)\pm h{u}^{\prime }(x)+\frac{h^2}{2}{u}^{\prime \prime }(x)\pm \frac{h^3}{6}{u}^{\prime \prime \prime }(x)+\frac{h^4}{24}{u}^{(4)}(x)\pm O(h^5),$

两式相加时奇次项相消，得 $u(x+h)+u(x-h)=2u+h^2{u}^{\prime \prime }+\frac{h^4}{12}{u}^{(4)}+O(h^6)$，移项即

$u^{\prime \prime }(x_i)=\frac{u_{i+1}-2u_i+u_{i-1}}{h^2}-\frac{h^2}{12}{u}^{(4)}(x_i)+O(h^4),$

因此离散算符 $L_h{u}_i:=\frac{2u_i-u_{i-1}-u_{i+1}}{h^2}$ 以 $O(h^2)$ 精度逼近 $-u^{\prime \prime }$。

第二步（边界条件进入矩阵）。齐次 Dirichlet 条件 $u(0)=u(1)=0$ 意味着 $u_0=u_{N+1}=0$，未知量是 $u_1,\dots ,u_N$，系统为 $\mathbf{Au}=\mathbf{g}$，其中

$\mathbf{A}=\frac{1}{h^2}\left(\begin{array}{cccc}2& -1& & \\ -1& 2& -1& \\ & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & -1& 2\end{array}\right).$

非齐次 Dirichlet 条件 $u(0)=g_0$、$u(1)=g_1$ 时，边界值是已知量，从矩阵行移到右端：第 $1$ 行的方程 $\frac{2u_1-u_0-u_2}{h^2}=g(x_1)$ 化为 $\frac{2u_1-u_2}{h^2}=g(x_1)+\frac{g_0}{h^2}$（第 $N$ 行同理加 $g_1/h^2$）。也就是说，Dirichlet 条件不改变矩阵、只改变右端。Neumann 条件 $u^{\prime }(0)=0$ 则改变矩阵：引入镜像点 $u_{-1}$ 并用中心差分 $\frac{u_1-u_{-1}}{2h}=0$ 得 $u_{-1}=u_1$，把它代入第 $0$ 行的离散方程 $\frac{2u_0-u_{-1}-u_1}{h^2}=g(x_0)$，得 $\frac{2u_0-2u_1}{h^2}=g(x_0)$——首行变为 $(2,-2)/h^2$（此朴素形式不对称，对称化需改用半格点格式 $(1,-1)/h^2$）。原则上：边界条件通过修改边界行（Neumann）或右端（Dirichlet）进入离散系统。

第三步（谱与条件数）。我们推导 $\mathbf{A}$ 的全部特征值。对候选特征向量 $v_i=\sin (i\theta )$（$i=1,\dots ,N$），用和差恒等式 $\sin ((i\pm 1)\theta )=\sin (i\theta )\cos \theta \pm \cos (i\theta )\sin \theta$ 计算

$\frac{-v_{i-1}+2v_i-v_{i+1}}{h^2}=\frac{2-2\cos \theta }{h^2}\sin (i\theta ),$

故 $v$ 是特征向量、特征值为 $\lambda (\theta )=\frac{2-2\cos \theta }{h^2}=\frac{4{\sin }^2(\theta /2)}{h^2}$。边界条件要求 $v_0=\sin 0=0$（自动满足）且 $v_{N+1}=\sin ((N+1)\theta )=0$，后者给出 $\theta =\frac{k\pi }{N+1}$，$k=1,\dots ,N$。于是

${\lambda }_k=\frac{4}{h^2}{\sin }^2\frac{k\pi }{2(N+1)},k=1,\dots ,N.$

两端估计：最小特征值用 $\sin x\approx x$（$x\to 0$），并注意 $h=1/(N+1)$：

${\lambda }_{\min }={\lambda }_1\approx \frac{4}{h^2}\cdot \frac{{\pi }^2}{4(N+1{)}^2}=\frac{{\pi }^2}{(h(N+1){)}^2}={\pi }^2,$

与连续算符 $-\frac{d^2}{d{x}^2}$ 在 $(0,1)$ 上的第一特征值 ${\pi }^2$ 一致，这是对推导的自洽核对。最大特征值用恒等式 $\frac{N\pi }{2(N+1)}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2(N+1)}$ 与 $\sin (\frac{\pi }{2}-x)=\cos x$：

${\lambda }_{\max }={\lambda }_N=\frac{4}{h^2}{\cos }^2\frac{\pi }{2(N+1)}\approx \frac{4}{h^2}=4(N+1{)}^2.$

因此条件数

$\kappa (\mathbf{A})=\frac{{\lambda }_{\max }}{{\lambda }_{\min }}\approx \frac{4(N+1{)}^2}{{\pi }^2}=O(N^2).$

第四步（高维与量子求解）。$d$ 维情形的离散算符是 Kronecker 和 ${\mathbf{A}}_d={\sum }_{j=1}^d{I}^{\otimes (j-1)}\otimes \mathbf{A}\otimes I^{\otimes (d-j)}$，其特征向量为一维正弦函数的张量积、特征值为 $d$ 个一维特征值之和，故 $\kappa$ 仍为 $O(N^2)$；矩阵稀疏度为 $2d+1$（中心加每维两个邻居），未知量 $N^d$ 个，编码需 $n=\lceil d{\log }_{2}N\rceil$ 个量子比特。用量子线性求解器（HHL/QSVT）求 $\mathbf{Au}=\mathbf{g}$ 的门数为

$O(\kappa \cdot \mathrm{poly}(n)\cdot \log (1/\epsilon ))=O(N^2\mathrm{polylog}(N^d)\log (1/\epsilon )).$

与经典比较：稀疏 Cholesky/共轭梯度为 $O(N^d\sqrt{\kappa }\log (1/\epsilon ))$ 量级，因此量子优势要求 $N^d\gg N^2\mathrm{polylog}$，即 $d\ge 3$ 才有明确的渐近优势（$d=1,2$ 时条件数抵消对数编码收益）；此外输出必须是泛函而非全场。缓解 $\kappa$ 的途径包括预条件化（preconditioning，Clader–Jacobs–Sprouse 的早期分析）与下节的谱方法。

谱方法：傅里叶基下的对角化

对周期边界问题，谱方法（spectral method）用傅里叶基代替差分，二阶导数算符在该基下严格对角。我们逐项推导。取规范正交基 ${\varphi }_k(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{ikx}$（$k\in \mathbb{Z}$，域 $[0,2\pi )$）。正交性由直接积分验证：

$⟨{\varphi }_j,{\varphi }_k⟩=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{e}^{i(k-j)x}dx=\{\begin{array}{ll}1,& k=j,\\ \frac{e^{2\pi i(k-j)}-1}{2\pi i(k-j)}=0,& k\ne j,\end{array}$

其中用了 $e^{2\pi im}=1$（$m$ 为整数）。对 ${\varphi }_k$ 求两次导数，每次求导产生因子 $ik$：

${\varphi }_k^{\prime \prime }=\frac{(ik{)}^2}{\sqrt{2\pi }}{e}^{ikx}=-k^2{\varphi }_k.$

因此微分算符 $\frac{d^2}{d{x}^2}$ 在傅里叶基下是对角的，本征值为 $-k^2$（同样地 $\Delta$ 在多维情形的本征值为 $-|\mathbf{k}{|}^2$）。把 $u(x)={\sum }_k{\hat{u}}_k{\varphi }_k$ 代入线性 PDE，由正交性可逐项比对系数：对热方程得 ${\dot{\hat{u}}}_k=-\alpha k^2{\hat{u}}_k$（上节已用）；对 Poisson 方程 $-\Delta u=g$ 得

$k^2{\hat{u}}_k={\hat{g}}_k⟹{\hat{u}}_k=\frac{{\hat{g}}_k}{k^2}(k\ne 0).$

$k=0$ 模式必须单独讨论：它对应右端的积分 ${\hat{g}}_0=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_0^{2\pi }gdx$，方程 $0\cdot {\hat{u}}_0={\hat{g}}_0$ 有解当且仅当 $\int g=0$（相容性条件，物理上即总电荷为零），此时 ${\hat{u}}_0$ 任意（解可差常数）。离散版本：格点 $x_j=2\pi j/N$ 上的差分算符是循环矩阵，被离散傅里叶变换 $F$ 对角化为 $D^2=F^{†}\mathrm{diag}(-{\tilde{k}}^2)F$（$\tilde{k}\in \{-N/2,\dots ,N/2-1\}$ 为折叠频率）。量子实现恰好匹配：QFT 以 $O(n^2)$ 门实现 $F$，对角因子 $\mathrm{diag}(1/k^2)$ 或 $\mathrm{diag}(e^{-\alpha k^{2}t})$ 是对角预言机（每行一个非零元），逆 QFT 返回物理空间。整条链路不含条件数因子 $\kappa$，代价由态制备与 QFT 决定；其代价是仅适用于周期边界，且谱精度要求解光滑。这与有限差分形成互补：差分方法通用但受 $\kappa =O(N^2)$ 制约，谱方法对角化彻底但受周期性与光滑性制约。

对流方程（一阶双曲型）

对流方程为 ${\partial }_{t}u+c{\partial }_{x}u=0$。周期边界下用中心差分离散一阶导数：$D_x:=\frac{1}{2h}(S_{+}-S_{-})$，其中 $S_{\pm }$ 为平移算符。由 $S_{+}^{†}=S_{-}$ 直接验证

$D_x^{†}=\frac{1}{2h}(S_{+}^{†}-S_{-}^{†})=\frac{1}{2h}(S_{-}-S_{+})=-D_x,$

即 $D_x$ 反 Hermitian，其特征值为纯虚数 $\pm \frac{i}{h}\sin (kh)$（对波数 $k$，由 $S_{\pm }{e}^{ikx}=e^{\pm ikh}{e}^{ikx}$ 直接算出）。因此半离散系统 $\dot{\mathbf{u}}=A\mathbf{u}$（$A=-c{D}_x$）的生成元是反 Hermitian 的，传播子 $e^{At}=e^{-iHt}$（$H:=iA=-ic{D}_x$ Hermitian）是酉演化，可用标准哈密顿量模拟直接实现，复杂度 $O(\mathrm{poly}(n)\cdot T)$，且中心差分的纯虚谱意味着无数值耗散（中性稳定）。需要说明的是，稳定化的迎风格式（upwind）会破坏反对称性，届时应改用 Schrödingerization 或 LCHS 处理非酉传播子。

Navier-Stokes 方程

Navier-Stokes 方程为

${\partial }_t\mathbf{u}+(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}=-\nabla p+\nu \Delta \mathbf{u}+\mathbf{f},\nabla \cdot \mathbf{u}=0.$

困难集中在两点：非线性对流项 $(\mathbf{u}\cdot \nabla )\mathbf{u}$，以及压力–速度耦合（压力由不可压缩约束隐式决定）。现有量子路线有三类。其一，Carleman 线性化加 Schrödingerization：把二次非线性展开为无穷维线性系统后截断，再用第三节的框架模拟（复杂度 $O(\mathrm{poly}(n,K)\cdot T)$，$K$ 为截断阶数，其可控制性取决于耗散 $\nu$ 是否压制对流）。其二，迭代线性化：每个时间片内冻结非线性项求解线性 PDE，经典外环更新，类似 ODE 教程的方法二。其三，格子 Boltzmann 方法（lattice Boltzmann）的量子化：把流体动力学改写为格点上的松弛–迁移线性动力学加非线性碰撞项，后者在低马赫数下可截断为低次多项式，再行线性化。

复杂度演进总结

下表汇总各代方法的标度（$n=d{\log }_{2}N$，$T$ 为模拟时间，$K$ 为 Carleman 截断阶数）。

年份	方法	PDE 类型	总复杂度	关键突破
2014	Berry（高阶方法）[1]	线性	$O(\mathrm{poly}(n)T^2/\epsilon )$	对数空间编码
2019	Lloyd et al.	线性（Hermitian）	$O(\mathrm{poly}(n)T)$	直接量子模拟
2020	Berry et al.（高阶积分）	线性	$O(\mathrm{poly}(n)T^{1+o(1)})$	高阶时间积分
2022	Schrödingerization [2]	任意线性	$O(\mathrm{poly}(n)T)$	打破 Hermitian 限制
2023	An–Liu–Lin（LCHS）[3]	非齐次线性	$O(\mathrm{poly}(n)T\mathrm{polylog}(T/\epsilon ))$	近最优态制备
2023	Costa et al.（Carleman）[4]	非线性（二次）	$O(\mathrm{poly}(n,K)T)$	非线性系统
2024	Jin et al.（改进 Schrödingerization）[2]	一般线性 PDE	$O(\mathrm{poly}(n)T)$	统一框架

与经典方法的对比

量子优势明确的场景有三类。其一，高维 PDE（$d\ge 3$）：量子编码需 $n=d{\log }_{2}N$ 个量子比特对比经典的 $N^d$ 存储，且门数为 $\mathrm{poly}(n)\cdot T$ 对比经典的 $N^{d}T{\epsilon }^{-1/p}$（对适定的演化问题）；对椭圆型问题还需 $\kappa =O(N^2)$ 与 $N^d$ 的权衡（见 Poisson 一节）。其二，长时间模拟：量子方法对 $T$ 近线性且对精度对数。其三，多查询场景：同一 PDE 在多个初值或多个右端下的批量求解，可共享离散化与模拟电路。

量子优势不明确的场景同样有三类。其一，低维 PDE（$d=1,2$）：经典方法已经高效，条件数与读出开销抵消量子收益。其二，强非线性 PDE：Carleman 截断阶数 $K$ 与条件数可能爆炸。其三，输出问题：完整读出 $u(\mathbf{x},T)$ 需要 $O(N^d)$ 次测量，量子优势只保留在泛函估计（如 $⟨u|M|u⟩$）与采样场景。

开放问题

1. 非线性 PDE 的最优量子算法：Carleman 截断阶数与条件数的普适控制仍是核心难题，耗散占优之外的 regime 缺乏多项式保证。

2. 守恒律 PDE：激波与间断解缺乏光滑性，谱方法失效、差分方法的稳定格式（迎风、通量限制）又是非酉的，量子处理方式尚不明确。

3. 多尺度 PDE：含快慢尺度的问题（如大气模型）需要自适应网格，量子编码的灵活性不足。

4. 输出效率：如何以少于 $O(N^d)$ 的代价提取宏观物理量（平均速度、最大涡量、能谱）仍是瓶颈，现有方案限于特定泛函形式。

5. 实际验证：目前量子 PDE 求解的实验验证限于 $O(10)$ 量子比特的小规模演示，与实用规模之间仍有数量级差距。

总结

量子 PDE 求解的复杂度从 2014 年的 $O(\mathrm{poly}(n)T^2/\epsilon )$ 演进到 2024 年的 $O(\mathrm{poly}(n)T)$。Schrödingerization 框架的引入是最重要的突破——它以增广哈密顿量 $\mathcal{K}=\frac{A+A^{†}}{2}\otimes P+\frac{i}{2}(A-A^{†})\otimes I$ 把任意线性演化嵌入酉动力学，打破了”只能模拟 Hermitian 系统”的限制；LCHS 进一步把非齐次项的代价做到近最优。离散化层面，有限差分给出稀疏但条件数 $O(N^2)$ 的系统，谱方法给出严格对角化但限于周期光滑问题，二者构成量子 PDE 工具箱的两端。非线性问题的 Carleman 线性化在 2023 年取得实质改进，但其普适性与输出效率仍是开放难题；量子 PDE 求解的最终实用化取决于这两点的进展。

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参考文献：

1. Berry, D. W. (2014). High-order quantum algorithm for solving linear differential equations. Journal of Physics A, 47, 105301.
2. Jin, S., Liu, N., & Yu, Y. (2022). Quantum simulation of partial differential equations via Schrödingerization. arXiv:2212.13969.
3. An, D., Liu, J., & Lin, L. (2023). Linear combination of Hamiltonian simulation for nonunitary dynamics with optimal state preparation cost. Physical Review Letters, 131, 150601.
4. Costa, P. C. S., Jordan, S. P., & Ostrander, A. (2023). Improved quantum algorithms for linear and nonlinear differential equations. Quantum, 7, 913.

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参考资料

• 本词条整理自《量子计算算法教程》原文：ch06-scientific-computing/quantum-pde-solver-tutorial
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