张量积

张量积把两个量子系统合并为一个复合系统：态空间取 ${\mathcal{H}}_A\otimes {\mathcal{H}}_B$，维数相乘（$d_A\times d_B$）。基矢按 $|i⟩\otimes |j⟩=|i⟩|j⟩$ 组合，算子 $M_A$、$N_B$ 的联合作用是 $(M_A\otimes N_B)(|\psi {⟩}_A\otimes |\varphi {⟩}_B)=(M_A|\psi {⟩}_A)\otimes (N_B|\varphi {⟩}_B)$。矩阵表示即克罗内克积。

要点

• 维数相乘是”指数态空间”的来源：$n$ 个量子比特 $\Rightarrow \dim =2^n$（见希尔伯特空间）。
• 只作用在一个子系统上的算子写成 $M\otimes I$；“局部操作不能创造纠缠”的代数根源即 $(M\otimes I)$ 保持直积形式。
• 多比特量子门的矩阵都由单、双比特门经张量积与乘积组合而成——这也是量子电路模拟器（如 PennyLane）枚举酉矩阵的方式。
• 一般复合态 ${\sum }_{ij}{c}_{ij}|i⟩|j⟩$ 不能拆成单个张量积，恰是纠缠的定义。

关联词条

• 概念：希尔伯特空间、纠缠、量子电路
• 算法：量子神经网络的 PennyLane 实现 中矩阵的显式构造

取材：量子计算概述、含参量子门。

参考文献

• Nielsen & Chuang.《量子计算与量子信息》第 2 章（张量积，§2.1.7）.
• J. Watrous. The Theory of Quantum Information. Cambridge University Press (2018).