量子态制备

[量子态制备](quantum-state-preparation-tutorial)（Quantum State Preparation, QSP）是量子计算中最基础的原语之一：我们要把经典描述的数据 $\mathbf{p}=(p_0,p_1,\dots ,p_{N-1})$（$N=2^n$）编码为量子态 $|\psi ⟩={\sum }_{j=0}^{N-1}\sqrt{p_j}|j⟩$，即所谓振幅编码（amplitude encoding）。它是 HHL 线性方程组求解器、量子机器学习、量子化学模拟等几乎所有量子算法的”输入端”。本词条系统介绍通用态制备、稀疏态制备、特定分布态制备、基于 QRAM 的方案，以及 PRL 2022 的最优深度方案；对每个核心构造，我们都给出完整的推导与计数论证。

问题定义

量子态制备问题：给定经典描述的向量 $\mathbf{v}=(v_0,v_1,\dots ,v_{N-1})\in {\mathbb{C}}^N$（$N=2^n$），构造量子电路 $U$，使得

$U|0{⟩}^{\otimes n}=|\psi ⟩=\frac{1}{\Vert \mathbf{v}\Vert }{\sum }_{j=0}^{N-1}{v}_j|j⟩.$

我们强调这一问题的三重挑战：

• 经典数据有 $N$ 个分量，而任何”高效”电路只允许 $O(\mathrm{poly}(n))$ 个门；信息量的不对称必须在门的结构中被吸收（例如利用稀疏性、低纠缠等先验结构）。
• 任意 $n$ 比特纯态的制备需要 $\Omega (2^n)$ 个基本门，我们在 1.4 节用参数计数严格证明这一信息论下界。
• 对具有特定结构的态（稀疏、可分解、低秩、低纠缠），我们可以显著降低代价，见方法二至方法四。

方法一：通用量子态制备（基于门电路）

1.1 递归二分构造（Möttönen / Shende–Bullock–Markov 树形结构）

思想：我们把目标态的振幅组织成一棵完全二叉树，从根到叶逐层”按比例分配”概率质量；每一层的分配由一组受控 $R_y$ 旋转完成。这一构造由 Möttönen 等人与 Shende、Bullock、Markov 分别给出并优化。

记号。设目标态为

$|\psi ⟩={\sum }_{j=0}^{N-1}{\alpha }_j|j⟩,{\alpha }_j=\sqrt{p_j}{e}^{i{\phi }_j},{\sum }_j{p}_j=1,$

其中 $p_j=|{\alpha }_j{|}^2$。对长度为 $\ell$ 的比特串 $w\in \{0,1{\}}^{\ell }$，我们用 $j\prec w$ 表示基矢指标 $j$ 的二进制展开以 $w$ 为前缀，并定义子树概率

$p_w={\sum }_{j\prec w}{p}_j,p_{\varnothing }=1.$

由定义，前缀为 $w$ 的指标集合恰好被 $w0$、$w1$ 二等分，因此 $p_{w0}+p_{w1}=p_w$。

第一步：单比特旋转的作用。我们采用约定

$R_y(\theta )=\exp \left(-i\frac{\theta }{2}Y\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta /2)& -\sin (\theta /2)\\ \sin (\theta /2)& \cos (\theta /2)\end{array}\right),$

直接读出矩阵的第一列便得基本恒等式

$R_y(\theta )|0⟩=\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+\sin \frac{\theta }{2}|1⟩.$

第二步：旋转角度的推导。我们对层号 $\ell =0,1,\dots ,n$ 归纳证明：在处理完前 $\ell$ 层之后，电路将初态变为

$|{\Phi }_{\ell }⟩={\sum }_{w\in \{0,1{\}}^{\ell }}\sqrt{p_w}|w⟩\otimes |0{⟩}^{\otimes (n-\ell )}.$

归纳基础 $\ell =0$ 时 $|{\Phi }_0⟩=|0{⟩}^{\otimes n}$，即 $p_{\varnothing }=1$ 的情形，命题成立。归纳步骤：对第 $\ell +1$ 层的每个前缀 $w$，我们在以 $w$ 为控制值（即 $\ell$ 个控制比特取值 $w$）的条件下，对第 $\ell +1$ 个量子比特施加旋转 $R_y({\theta }_w)$，并选取

$$\cos \frac{{\theta }_w}{2}=\sqrt{\frac{p_{w0}}{p_w}},\sin \frac{{\theta }_w}{2}=\sqrt{\frac{p_{w1}}{p_w}}⟺{\theta }_w=2\arcsin \sqrt{\frac{p_{w1}}{p_w}}=2\arccos \sqrt{\frac{p_{w0}}{p_w}}.$$

由 $p_{w0}+p_{w1}=p_w$ 知两个平方根的平方和为 $1$，故该角度良定义。该旋转只作用于振幅为 $\sqrt{p_w}$ 的分支，得到

$\sqrt{p_w}|w⟩|0⟩⟼\sqrt{p_w}\left(\sqrt{\frac{p_{w0}}{p_w}}|w0⟩+\sqrt{\frac{p_{w1}}{p_w}}|w1⟩\right)=\sqrt{p_{w0}}|w0⟩+\sqrt{p_{w1}}|w1⟩.$

不同前缀 $w$ 对应的旋转作用在相互正交的子空间上，因此彼此对易、可任意排序。对所有 $w\in \{0,1{\}}^{\ell }$ 完成上述操作后即得 $|{\Phi }_{\ell +1}⟩$，归纳完成。取 $\ell =n$，我们得到所有振幅均为非负实数的态 ${\sum }_j\sqrt{p_j}|j⟩$。

第三步：相位修正。若目标振幅是复数，我们在振幅树之后追加一个相位树：对每个 $j$ 施加多控相位门，把 $|j⟩$ 的相位从 $0$ 旋到 ${\phi }_j$；等价地，Möttönen 等人在每一层交错使用均匀受控的 $R_z$ 旋转。由于全局相位无物理意义，我们可固定 ${\phi }_0=0$，因此相位树至多包含 $2^n-1$ 个受控相位门。

数值例子。我们取 $N=4$、$p=(0.4,0.1,0.25,0.25)$（复算每个角度）：

• 第 1 层：左子树概率 $p_0=0.4+0.1=0.5$，故 ${\theta }_{\varnothing }=2\arcsin \sqrt{0.5}=2\times \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}\approx 1.5708$；
• 第 2 层左分支：$p_{00}=0.4$，$p_{01}=0.1$，条件概率 $p_{01}/p_0=0.2$，故 ${\theta }_0=2\arcsin \sqrt{0.2}\approx 2\times 0.4636=0.9273$，且 $\cos ({\theta }_0/2)=\sqrt{0.8}\approx 0.8944$、$\sin ({\theta }_0/2)=\sqrt{0.2}\approx 0.4472$；
• 第 2 层右分支：$p_{10}=p_{11}=0.25$，条件概率各为 $0.5$，故 ${\theta }_1=\frac{\pi }{2}$。

最终态为 $\sqrt{0.5}(\sqrt{0.8}|00⟩+\sqrt{0.2}|01⟩)+\sqrt{0.5}(\sqrt{0.5}|10⟩+\sqrt{0.5}|11⟩)$，即四个振幅分别为 $\sqrt{0.5\times 0.8}=\sqrt{0.4}$、$\sqrt{0.5\times 0.2}=\sqrt{0.1}$、$\sqrt{0.5\times 0.5}=\sqrt{0.25}$、$\sqrt{0.25}$，其平方恰为 $(0.4,0.1,0.25,0.25)$，验证无误。

门数计数（朴素版）。完全二叉树的内部节点数为 ${\sum }_{\ell =1}^n{2}^{\ell -1}=2^n-1$，每个节点对应一个多控 $R_y$；第 $\ell$ 层的旋转带 $\ell -1$ 个控制比特，用 Barenco 等人的无辅助比特构造展开需要 $O(\ell )$ 个两比特门，故朴素实现的门数为

${\sum }_{\ell =1}^n{2}^{\ell -1}O(\ell )=O(n{2}^n)=O(N\log N).$

门数计数（合并版，达到 $2^n-2$ 个 CNOT）。关键观察是：同一层的所有旋转作用在同一个目标比特上、只以控制取值区分。这种”以 $\ell -1$ 个比特为控制、对每个控制取值施加一个独立角度”的算子称为均匀受控旋转（uniformly controlled rotation）。我们先对 $\ell =2$（单控制、双角度 ${\theta }_0,{\theta }_1$）给出显式分解并验证：断言

$\left(\begin{array}{cc}{R}_y({\theta }_0)& 0\\ 0& R_y({\theta }_1)\end{array}\right)=(R_y(a)\otimes I)\cdot \mathrm{CNOT}\cdot (R_y(b)\otimes I)\cdot \mathrm{CNOT},$

其中 $a=\frac{{\theta }_0+{\theta }_1}{2}$，$b=\frac{{\theta }_0-{\theta }_1}{2}$。验证如下：控制比特为 $|0⟩$ 时两个 CNOT 均不作用，目标比特上剩 $R_y(a)R_y(b)=R_y(a+b)=R_y({\theta }_0)$；控制比特为 $|1⟩$ 时，中间的旋转被两侧的 CNOT 共轭为 $X{R}_y(b)X=R_y(-b)$（因为 $XYX=-Y$，故 $X{e}^{-ibY/2}X=e^{+ibY/2}$），目标比特上剩 $R_y(a)R_y(-b)=R_y({\theta }_1)$。两个方程解出 $a,b$ 即得断言。这一分解用了 $2$ 个 CNOT 和 $2$ 个单比特旋转。Möttönen 等人将该分解沿 Gray 码推广到 $\ell$ 个比特：双角度情形换成 $2^{\ell -1}$ 个角度后，恰好需要 $2^{\ell -1}$ 个 CNOT 与 $2^{\ell -1}$ 个 $R_y$。

于是对每一层使用均匀受控分解（第 1 层无控制比特，不需要 CNOT），CNOT 总数为

${\sum }_{\ell =2}^n{2}^{\ell -1}=(2^n-1)-1=2^n-2.$

振幅树的 $R_y$ 总数为 ${\sum }_{\ell =1}^n{2}^{\ell -1}=2^n-1$；相位树（均匀受控 $R_z$）复用同一套 CNOT 骨架，再增加至多 $2^n-1$ 个旋转。因此该构造共需 $2^n-2$ 个 CNOT 与至多 $2^{n+1}-2$ 个单比特旋转；利用相邻同比特旋转可合并的性质，文献中的精确计数为 $2^{n+1}-2n$ 个单比特旋转。

深度。串行执行时，第 $\ell$ 层的均匀受控旋转深度为 $O(2^{\ell -1})$，总深度为 $O(2^n)$。若把多控旋转视为基本门，则树只有 $n$ 层、深度为 $O(n)$；但一旦把这些多控门展开为基本门，深度回到 $O(N)$ 量级。要真正实现 $O(n)$ 深度，需要 Zhang、Li、Yuan 的辅助比特并行技术（见方法五）。

优点与缺点。该构造完全显式、无需辅助比特、达到最优门数 $O(N)$；其缺点是门数对大 $N$ 仍是指数级，深度也为 $O(N)$。

1.2 基于 Gray 码的方案（Shende–Bullock–Markov, 2006）

Shende、Bullock 与 Markov 给出了更系统的电路综合视角，并得到相同的紧门数。

定理：任意 $n$ 量子比特纯态可以用 $2^n-2$ 个 CNOT 与 $2^{n+1}-2n$ 个单比特旋转精确制备，且通用构造需要 $\Omega (2^n)$ 个门（见 1.4 节）。

构造：电路从 $|0\cdots 0⟩$ 出发，按 Gray 码顺序遍历非零基矢——相邻两个基矢恰好相差一个比特翻转，因此每步只需一个作用于该比特的多控门。在第 $k$ 步，我们施加一个多控 $R_y$，把”当前驻留分支”的振幅的一部分搬运到下一个基矢，使已遍历基矢的振幅达到终值；随后施加多控相位门设置该基矢的相对相位。把振幅从第一个基矢搬运到最后一个基矢共需 $2^n-2$ 次转移，这正是 CNOT 数的来源。Gray 码调度的好处是：相邻步共享大部分控制比特，多控门展开时的 CNOT 序列可以大量复用。

1.3 基于 QR 分解的方案（Plesch–Brukner, 2011）

Plesch 与 Brukner 把制备问题视为酉矩阵综合的特例，只综合 $U$ 的第一列。

推导：我们要找一列两维平面旋转（Givens 旋转）把 $|\psi ⟩$ 化为 $|0\cdots 0⟩$。对坐标 $(N-2,N-1)$ 施加 Givens 旋转 $G(N-2,N-1)$，把坐标 $N-1$ 的振幅旋转归零，其质量并入坐标 $N-2$；再对 $(N-3,N-2)$ 施加 Givens 旋转归零坐标 $N-2$；依此类推，最后一步 $(0,1)$ 把全部振幅集中到坐标 $0$（每次旋转附带一个相位自由度，用来把留存振幅转成实正数）。总共需要 $N-1$ 个 Givens 旋转，且

$|\psi ⟩=G(0,1{)}^{†}G(1,2{)}^{†}\cdots G(N-2,N-1{)}^{†}|0\cdots 0⟩.$

每个 Givens 旋转只混合两个计算基矢 $|i⟩,|j⟩$，是一个两阶酉（two-level unitary），可用 $O(n)$ 个两比特门实现；用 Gray 码把整列旋转一起调度后，总门数为 $O(N)$ 个两比特门，与 1.1、1.2 的构造同阶（理论最优）。

1.4 门数下界：参数计数

我们证明任何通用构造都需要 $\Omega (2^n)$ 个单比特门，从而 $O(N)$ 门数不可改进。

$n$ 比特纯态全体（模去全局相位）是复射影空间 ${\mathbb{CP}}^{2^n-1}$，其实维数为 $2\cdot 2^n-2=2^{n+1}-2$。考虑由 $G_1$ 个任意单比特门（每个 $3$ 个实参数）和任意数量的固定两比特门（如 CNOT，$0$ 个实参数）组成的电路族：该族可实现的态集合由至多 $3G_1$ 个实参数描述。若该族能制备所有 $n$ 比特纯态，则参数化映射必须是到 $2^{n+1}-2$ 维流形的满射，因此

$3G_1\ge 2^{n+1}-2⟹G_1\ge \frac{2^{n+1}-2}{3}=\Omega (2^n).$

结合 $2^n-2$ 个 CNOT 的可达构造（1.1–1.3 节），我们得出结论：通用态制备的门数为 $\Theta (2^n)$，无法避免。

复杂度总结

方法	CNOT 门数	深度	辅助比特
递归二分（朴素展开）	$O(nN)$	$O(N)$	0
递归二分（均匀受控合并）	$2^n-2$	$O(N)$	0
Shende–Bullock–Markov	$2^n-2$	$O(N)$	0
QR 分解（Givens）	$O(N)$	$O(N)$	0
理论下界	$\Omega (N)$	$\Omega (n)$	0

关键结论：通用态制备的门数下界是 $\Omega (N)$（1.4 节），深度的平凡下界是 $\Omega (n)$（每个数据比特至少要被一个门作用）。以下方法针对特定结构的态降低代价。

方法二：稀疏量子态制备

2.1 定义

$s$-稀疏量子态指只有 $s$ 个非零振幅的态：$|\psi ⟩={\sum }_{j\in S}{\alpha }_j|j⟩$，$|S|=s\ll N=2^n$。

我们的目标是以 $O(s\cdot \mathrm{poly}(n))$ 个门制备 $|\psi ⟩$，即把门数从关于 $N$ 指数级降为关于稀疏度多项式级。

2.2 Grover–Rudolph 方法（2002）

Grover 与 Rudolph 在 2002 年提出了用于概率分布制备的递归方法，是稀疏态制备的经典方案；其思想与 1.1 节的二叉树完全一致。

算法（对 $s$-稀疏态）：

1. 我们在经典侧计算支撑集 $S$ 中各元素二进制表示的前缀结构，即二叉树上从根到每个 $j\in S$ 的路径；
2. 对每个”分支点”（路径上度数不为 $1$ 的内部节点），按 1.1 节公式计算条件概率 $p_{w0}/p_w$ 与旋转角 ${\theta }_w=2\arcsin \sqrt{p_{w1}/p_w}$；
3. 用受控 $R_y$ 旋转实现按比例分配，递归处理各子空间。

门数论证：$s$ 条根到叶路径每条长度为 $n$，其并集（即所有需要放置旋转的节点）的大小至多为 $sn$；路径共享前缀时节点数更少。每个节点恰好对应一个受控旋转，故多控旋转数为 $O(sn)$。朴素地把第 $\ell$ 层的多控旋转展开需要 $O(\ell )$ 个基本门，总计 $O(s{n}^2)$；Ramacciotti 与 Turco（2024）证明对 Grover–Rudolph 做一个简单修改后可把依赖降到线性，总门数为 $O(sn)$（见 2.5 节）。

辅助比特：$0$。

优点：不需要辅助比特，构造简单，且与通用方案共享同一棵树。

缺点：需要经典预处理（计算 $O(sn)$ 个条件概率），对动态更新的数据不友好。

2.3 基于 Oracle 的稀疏态制备

思想：我们假设存在量子预言机 $O_S$ 能高效识别稀疏支撑 $S$（即 $O_S|j⟩=(-1{)}^{[j\in S]}|j⟩$），然后用量子搜索找到 $S$ 中的元素。

算法：

1. 我们以 $O_S$ 为标记预言机，在均匀叠加态中做 Grover 搜索，逐一提取 $S$ 中的元素；找到全部 $s$ 个标记项的总代价为 $O(\sqrt{Ns})$ 次 Grover 迭代；
2. 对每个找到的 $|j⟩\in S$，我们用受控旋转把振幅设定为 ${\alpha }_j$；
3. 最后合并所有分支。

门数：$O(\sqrt{Ns}\cdot n)$（Grover 搜索）加上 $O(sn)$（振幅设定）。该方案适合 $S$ 未知但可被高效判定的情形；代价是深度中有 $\sqrt{N}$ 因子，劣于 2.2 节的树形方案。

2.4 最新进展：PRL 上的最优稀疏态制备

Zhang, Li, Yuan（PRL 129, 230504, 2022） 对任意 $n$ 量子比特态给出了最优深度的制备方案。

核心思想：他们将态制备转化为”并行多控门”的调度问题，通过 Gray 码遍历和门合并技术，把深度从 $O(N)$ 压缩到 $\Theta (n)$。

精确陈述（按原文摘要）：任意 $n$ 比特态可以用只含单、两比特门的 $\Theta (n)$ 深度电路制备，代价是指数多个辅助比特（$O(2^n)$ 个）；对具有 $d$ 个非零分量的稀疏态，深度可降为 $\Theta (\log (nd))$，辅助比特数为 $O(nd\log d)$。这一辅助比特数随系统规模仅多项式增长，接近最优。

门数：$O(N)$（受 1.4 节下界约束）；深度：$\Theta (n)$（匹配平凡下界——每个比特至少要被一个门作用）。

应用：

• HHL 算法中 $|b⟩$ 的制备：$\Theta (n)$ 深度；
• 量子化学初态制备：对 $s$-稀疏初态，$O(sn)$ 门。

2.5 PRA 2024：简化稀疏态制备

Ramacciotti 与 Turco（PRA 110, 032609, 2024） 分析了 Grover–Rudolph 算法在稀疏目标态上的表现：

• 原始 Grover–Rudolph 用于稀疏态时门数关于非零振幅数 $s$ 线性、关于比特数 $n$ 二次，即 $O(s{n}^2)$；
• 他们提出一个简单修改（合并相邻层中控制比特相同的旋转），把对比特数的依赖也降为线性，总门数为 $O(sn)$；
• 该方案不需要辅助比特，并利用稀疏支撑的树形结构在经典侧高效计算条件概率。

方法三：特定分布的量子态制备

3.1 均匀分布态

$|U_N⟩=\frac{1}{\sqrt{N}}{\sum }_{j=0}^{N-1}|j⟩=|+{⟩}^{\otimes n}$

我们只需 $n$ 个 Hadamard 门。验证：$H|0⟩=(|0⟩+|1⟩)/\sqrt{2}=|+⟩$，张量积展开即得 $N=2^n$ 项等幅叠加。

3.2 正态分布态

目标态为

$|\mathcal{N}⟩\propto {\sum }_j{e}^{-(j-\mu {)}^2/2{\sigma }^2}|j⟩.$

方法一（余弦幂近似）。我们先证明恒等式 $e^{-x^2/2}={\lim }_{M\to \infty }\cos (x/\sqrt{M}{)}^M$。利用泰勒展开 $\log \cos y=-\frac{y^2}{2}+O(y^4)$（$y\to 0$），取 $y=x/\sqrt{M}$ 得

$M\log \cos \frac{x}{\sqrt{M}}=M\left(-\frac{x^2}{2M}+O\left(\frac{x^4}{M^2}\right)\right)=-\frac{x^2}{2}+O\left(\frac{x^4}{M}\right)\stackrel{M\to \infty }{\to }-\frac{x^2}{2},$

故 $\cos (x/\sqrt{M}{)}^M\to e^{-x^2/2}$，误差为 $O(x^4/M)$ 量级。于是我们把高斯核写成 $M$ 个余弦因子的乘积，每个因子对应一层”把分支 $|j⟩$ 的振幅乘以 $\cos {\theta }_j$“的受控旋转（${\theta }_j=(j-\mu )/(\sigma \sqrt{M})$），共 $M$ 层，每层是一个有 $2^n$ 个角度的均匀受控旋转、$O(2^n)$ 个门。该方案的总门数为 $O(M\cdot 2^n)$，精度由 $M$ 控制；它适合 $x_j=(j-\mu )/\sigma$ 取值范围不太大的场景。

方法二（截断 + 稀疏态制备）。高斯核衰减极快，超出若干个标准差的部分可以直接截断。我们验证截断误差：对 $t>0$，

${\sum }_{k>t}{e}^{-k^2/2{\sigma }^2}\le {\int }_t^{\infty }{e}^{-x^2/2{\sigma }^2}dx\le \frac{{\sigma }^2}{t}{e}^{-t^2/2{\sigma }^2},$

其中第一格用了单调递减函数的求和不超过积分，第二格是标准的高斯尾界（分部积分可得）。取 $t=\sigma \sqrt{2\ln (2/\epsilon )}$ 即可把尾部总质量压到 $\epsilon$ 以下。因此对 $\sigma =O(n)$ 的离散高斯，有效支撑只有 $s=O(\sigma \sqrt{\log (1/\epsilon )})=O(n\mathrm{polylog})$ 个点；再用 2.2 节的稀疏态制备，门数为 $O(sn)=O(n^2\mathrm{polylog})$，避免了指数代价。

3.3 幂律分布态

目标态为

$|\mathrm{pow}⟩\propto {\sum }_j{j}^{-\alpha }|j⟩.$

方法：我们用 Grover–Rudolph 递归，在每一层计算条件概率 $p_{w0}/p_w$。前缀和 $j^{-\alpha }$ 没有初等闭式，但可以在经典侧以 $O(N)$ 时间预算预处理并存储，从而满足 Grover–Rudolph 对”条件概率可高效计算”的要求；此时通用门数为 $O(2^n)$。

稀疏化论证：对 $\alpha >1$，幂律尾部可以截断。与 3.2 节同理，

${\sum }_{j>t}{j}^{-\alpha }\le {\int }_t^{\infty }{x}^{-\alpha }dx=\frac{t^{1-\alpha }}{\alpha -1},$

要使尾部不超过 $\epsilon$，只需 $t\ge ((\alpha -1)\epsilon {)}^{-1/(\alpha -1)}$。这个截断点与 $N$ 无关，因此有效支撑 $s=O\left({\epsilon }^{-1/(\alpha -1)}\right)$ 对固定的 $\epsilon$、$\alpha$ 是常数，稀疏态制备给出门数 $O(sn)=O(n)$。

3.4 Qiskit/MPS 方法

对低纠缠态，我们利用矩阵乘积态（Matrix Product State, MPS）分解

$|\psi ⟩={\sum }_{i_1,\dots ,i_n}\mathrm{tr}\left[A_1^{i_1}{A}_2^{i_2}\cdots A_n^{i_n}\right]|i_1{i}_2\cdots i_n⟩,$

其中 $\chi$ 为键维度（bond dimension）。Schön 等人的顺序生成结果表明：MPS 与”阶梯形”两比特门电路等价，把 MPS 转换为电路需要 $n-1$ 个阶梯排列的多比特门，每个可分解为 $O({\chi }^2)$ 个两比特门。

门数：$O(n{\chi }^2)$；对低纠缠态 $\chi =O(1)$，门数为 $O(n)$——相对通用方案是指数级改进。

方法四：基于 QRAM 的量子态制备

4.1 标准 QRAM 方案

若经典数据 $\mathbf{v}$ 存储在量子随机存取存储器（QRAM）中，则查询操作实现 $|j⟩|0⟩\mapsto |j⟩|v_j⟩$；QRAM 的结构与代价详见本词条的 QRAM 一文。我们给出完整的振幅编码流程（这是 Sanders 等人 2019 年”无算术黑盒态制备”的框架）。

步骤一（叠加 + 查询）：我们先制备均匀叠加并查询 QRAM，使值寄存器写入与 $j$ 配对的数据：

$\frac{1}{\sqrt{N}}{\sum }_j|j⟩|0⟩⟼\frac{1}{\sqrt{N}}{\sum }_j|j⟩|c_j⟩|s_j⟩,$

其中我们让 QRAM 在地址 $j$ 处存储数对 $(c_j,s_j)$，满足 $c_j^2+s_j^2=1$ 且 $s_j=\gamma v_j$，$\gamma \le 1/{\max }_j|v_j|$ 为缩放因子。直接存储 $(c_j,s_j)$ 而非 $v_j$ 本身，是为了避免在量子侧计算 $\arcsin$。

步骤二（受控旋转）：我们以值寄存器为控制，对辅助比特施加旋转 $|0⟩\mapsto c_j|0⟩+s_j|1⟩$，得到

$\frac{1}{\sqrt{N}}{\sum }_j|j⟩|c_j⟩|s_j⟩(c_j|0⟩+s_j|1⟩).$

步骤三（后选择与幅度放大）：测得辅助比特为 $|1⟩$ 的概率为

$q=\frac{1}{N}{\sum }_j{s}_j^2=\frac{{\gamma }^2\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2}{N},$

成功时地址寄存器坍缩为 ${\sum }_j{v}_j|j⟩/\Vert \mathbf{v}\Vert$，即目标态（值寄存器随后用一次反向 QRAM 查询擦除）。用 $O(1/\sqrt{q})$ 轮幅度放大可以把成功概率提升到 $\Theta (1)$，因此总查询次数为 $O(\sqrt{N}/(\gamma \Vert \mathbf{v}\Vert ))$。

代价：每轮查询的深度为 $O(\log N)$，但 QRAM 硬件需要 $O(N)$ 个存储单元。QRAM 方案把门数换成硬件开销，这正是其争议所在。

4.2 CVO-QRAM（Conditional Value Oracle）

思想：我们不存储完整数据，只存储”值是否非零”的稀疏标志位，结合受控旋转实现振幅设定。

算法：

1. 我们用条件值预言机（CVO）标识非零振幅的位置 $j\in S$；
2. 对每个 $j\in S$，用受控旋转把振幅设为 ${\alpha }_j=v_j/\Vert \mathbf{v}\Vert$；
3. 用幅度放大（Grover 型）放大所有非零分量。

门数：$O(sn)$，$s$ 为非零分量数。

优点：避免了 QRAM 的 $O(N)$ 存储要求，只需要 $O(sn)$ 量级的量子比特和门。

4.3 QRAM 在量子化学中的应用

Sparse Quantum State Preparation for Strongly Correlated Systems（J. Phys. Chem. Lett., 2024） 将 CVO-QRAM 方法应用于强关联化学体系的基态制备，并实验验证到 28 量子比特：

• 该工作使用高效保对称变分拟设（Efficient Symmetry-Preserving, ESP Ansatz）；
• 通过 CVO-QRAM 加速初态制备；
• 在 GPU 上模拟了含 $O(10^6)$ 参数的量子电路。

方法五：PRL 2022 的最优深度方案（Zhang, Li, Yuan）

核心结果

定理（Zhang, Li, Yuan, PRL 129, 230504, 2022）：任意 $n$ 量子比特纯态 $|\psi ⟩={\sum }_{j=0}^{2^n-1}{\alpha }_j|j⟩$ 可以用深度 $\Theta (n)$、仅含单比特与两比特门的电路制备，代价是 $O(2^n)$ 个辅助比特。

门数：$O(2^n)$（受 1.4 节参数计数下界约束）。深度：$\Theta (n)$（理论最优；下界是平凡的——每个数据比特至少要被一个门触碰）。

需要澄清一点：$\Theta (n)$ 深度与”零辅助比特”不可兼得。无辅助比特时，已知构造（1.1–1.3 节）的深度为 $\Theta (N)$；Zhang 等人用指数级辅助比特换取并行化，这也是原文摘要中”用辅助比特换深度”的主旨。

技术要点

1. Gray 码并行化。传统方法按 Gray 码序逐个处理基矢，深度 $O(N)$。Zhang 等人观察到：多个”独立的”多控门（控制与目标比特集合不相交）可以并行执行。

2. 门合并。相邻的两个多控门若控制条件只差一个比特，可以合并为一个更深的门，而不增加总深度。

3. 分层调度。我们把所有门按”作用的量子比特层”分组，每组内的门并行执行；辅助比特用来承载扇出（fan-out）与中间结果，使得每个目标比特的依赖链长度为 $O(1)$，总深度等于层数 $\Theta (n)$。

对稀疏态的改进

对 $s$-稀疏态（$s$ 个非零振幅），Zhang 等人的方案给出：深度 $\Theta (\log (ns))$、辅助比特 $O(ns\log s)$、门数 $O(sn)$（串行调度）至 $O(ns\log s)$（完全并行调度）。在 $s\ll N$ 时，这是相对通用方案的指数级改进。

方法六：变分量子态制备（VQSP）

思想

我们把态制备转化为变分优化问题：

${\min }_{\vec{\theta }}{\Vert |\psi (\vec{\theta })⟩-|{\psi }_{\text{target}}⟩\Vert }^2.$

我们先把这个目标与保真度等价起来。利用 $\Vert |a⟩-|b⟩{\Vert }^2=⟨a|a⟩+⟨b|b⟩-2\mathrm{Re}⟨a|b⟩=2-2\mathrm{Re}⟨a|b⟩$，记保真度 $F=|⟨\psi (\vec{\theta })|{\psi }_{\text{target}}⟩{|}^2$，则

${\Vert |\psi (\vec{\theta })⟩-|{\psi }_{\text{target}}⟩\Vert }^2=2-2\sqrt{F}=2(1-\sqrt{F}),$

即最小化距离等价于最大化保真度；实践中常用代价函数 $C(\vec{\theta })=1-F$。我们用参数化量子电路 $U(\vec{\theta })$ 作用于 $|0{⟩}^{\otimes n}$ 得到 $|\psi (\vec{\theta })⟩$，并用交换测试或”逆向电路 + 测量”估计 $F$。

优势

• 门数由参数化电路结构决定，不依赖于 $N$；
• 适用于 NISQ 设备。

局限

• 优化可能陷入局部极小；
• 参数化电路存在贫瘠高原（Barren Plateaus）问题，梯度随规模指数衰减；
• 不保证精确制备。

方法七：基于 QSVT 的态制备

思想

若目标态可以写成 $|\psi ⟩\propto f(A)|0⟩$（$A$ 为某厄米算符或酉算符，$f$ 为某函数），我们用量子奇异值变换（Quantum Singular Value Transformation, QSVT）实现 $f(A)$ 的块编码，然后作用于 $|0⟩$。

应用

• Gibbs 态制备：$|{\psi }_{\beta }⟩\propto e^{-\beta H/2}|0⟩$，取 $f(x)=e^{-\beta x/2}$；
• 基态制备：取滤子函数 $f(x)=(x-\tilde{E}{)}^{-1}$，其中 $\tilde{E}=E_0-\Delta$ 是低于基态能量的偏移量。由于 $f$ 在谱上单调递减，$f(H)|0⟩$ 中基态分量的相对权重最大；$\Delta$ 越大滤子越平缓、多项式近似越容易。

门数

$O(\mathrm{deg}(f_{\text{approx}})\cdot C_{U_A})$，其中 $C_{U_A}$ 为块编码代价、$\mathrm{deg}(f_{\text{approx}})$ 为 $f$ 的多项式近似次数。

复杂度总结

方法	门数	深度	辅助比特	适用场景
递归二分（合并）	$O(N)$	$O(N)$	0	通用
Shende–Bullock–Markov	$O(N)$	$O(N)$	0	通用
Zhang（PRL 2022）	$O(N)$	$\Theta (n)$	$O(2^n)$	通用（最优深度）
Grover–Rudolph（稀疏）	$O(sn)$	$O(sn)$	0	稀疏态
Ramacciotti–Turco（PRA 2024）	$O(sn)$	$O(sn)$	0	稀疏态（简化）
Zhang（稀疏版）	$O(ns\log s)$	$\Theta (\log (ns))$	$O(ns\log s)$	稀疏态（最优深度）
CVO-QRAM	$O(sn)$	$O(sn)$	$O(\log s)$	稀疏态 + QRAM
MPS 分解	$O(n{\chi }^2)$	$O(n)$	0	低纠缠态
变分方法	$O(pn)$	$O(Dn)$	0	近似制备

实验实现

年份	平台	规模	方法
2020	IBM	5 量子比特	递归二分
2022	超导	12 量子比特	Zhang 最优深度方案
2023	光量子	100+ 模式	压缩态制备
2024	GPU 模拟	28 量子比特	CVO-QRAM + ESP Ansatz

局限性

1. 通用态制备不可避免 $O(N)$ 门：这是 1.4 节参数计数给出的信息论下界，任何方案都无法突破。
2. 稀疏态需要已知支撑：若不知道哪些振幅非零，需要额外的搜索代价（2.3 节）。
3. QRAM 的物理可行性存疑：$O(N)$ 硬件与精度要求是主要障碍，参见本词条的 QRAM 一文。
4. 变分方法无法保证精度：对需要高保真的下游算法（如量子相位估计）不适用。
5. 噪声累积：$O(N)$ 个门的噪声累积可能使结果不可用；最优深度方案以 $O(2^n)$ 辅助比特缓解深度问题，但硬件代价同样巨大。

总结

量子态制备的代价高度依赖目标态的结构：通用态需要 $\Theta (2^n)$ 个门（我们用参数计数证明了下界，用均匀受控旋转构造达到了 $2^n-2$ 个 CNOT），稀疏态只需 $O(sn)$ 个门，低纠缠态可用 $O(n{\chi }^2)$ 个门。Zhang 等人（PRL 2022）用指数级辅助比特把任意态制备的深度压缩到 $\Theta (n)$，是近年理论上的重要突破。在实际应用中，我们应根据目标态的结构（稀疏性、纠缠、分布形状）选择合适的制备方案。

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参考文献：

1. Grover, L., & Rudolph, T. (2002). Creating superpositions that correspond to efficiently integrable probability distributions. arXiv:quant-ph/0208112.
2. Sanders, Y. R., et al. (2019). Black-box quantum state preparation without arithmetic. Physical Review Letters, 122(2), 020502.
3. Zhang, X.-M., Li, T., & Yuan, X. (2022). Quantum state preparation with optimal circuit depth: Implementations and applications. Physical Review Letters, 129(23), 230504.
4. Ramacciotti, D., & Turco, A. (2024). A simple quantum algorithm to efficiently prepare sparse states. Physical Review A, 110, 032609.
5. Shende, V. V., Bullock, S. S., & Markov, I. L. (2006). Synthesis of quantum-logic circuits. IEEE TCAD, 25(6), 1000-1010.

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参考资料

• 本词条整理自《量子计算算法教程》原文：ch07-quantum-info/quantum-state-preparation-tutorial
• 内容遵循 CC BY-NC-SA 4.0 许可协议