Hadamard 门

Hadamard 门

$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),H|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩),H|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩)$

把计算基矢变为等权叠加态，且 $H^2=I$（自逆）。作用于 $|0{⟩}^{\otimes n}$ 得均匀叠加

$H^{\otimes n}|0{⟩}^{\otimes n}=\frac{1}{\sqrt{2^n}}{\sum }_{x\in \{0,1{\}}^n}|x⟩,$

这是绝大多数量子算法的第一步。

要点

• $H$ 在 Bloch 球上是绕 $(x+z)/\sqrt{2}$ 轴的 $\pi$ 旋转：把 $Z$ 基与 $X$ 基互换，因此”Hadamard 后测 $Z$“等价于测 $X$（Bernstein-Vazirani 读出隐藏串的关键）。
• $H^{\otimes n}$ 恰是量子傅里叶变换在”无符号”输入上的行为；QFT 推广了它对带相位/周期结构的态的作用。
• 在 $H$ 制备的均匀叠加上作用预言机，一次性把函数值写入振幅（量子并行性），再靠干涉提取全局性质（Deutsch-Jozsa）。

关联词条

• 概念：叠加态、计算基、量子门
• 算法：Deutsch-Jozsa 算法、Grover 算法

取材：量子计算概述。

参考文献

• Nielsen & Chuang.《量子计算与量子信息》第 1 章（单比特量子门）与第 4 章.