受控门与 CNOT

受控门以一个（或多个）控制比特为条件：控制为 $|1⟩$ 时对目标比特作用门 $U$，否则不动，记 $|c⟩|t⟩\mapsto |c⟩U^c|t⟩$。最重要的例子是受控非门 CNOT（$U=X$）：

$|00⟩,|01⟩\mapsto \text{不变},|10⟩\mapsto |11⟩,|11⟩\mapsto |10⟩.$

受控门是双比特门：它能创造纠缠，例如 CNOT 作用于 $(H\otimes I)|00⟩$ 得 Bell 态。

要点

• 受控门给出算子指数 $U^{2^k}$ 的电路实现：以 $k$ 个比特为控制即得 $U^{2^k}$——相位估计 与 Shor 算法 中模幂 $a^{2^k}\mathrm{mod}N$ 的构造正是它。
• 通用性：任意单比特门 + CNOT 即为通用量子门集。
• 受控-$U$ 与相位反冲互为表里：目标处于 $U$ 的本征态 $|u⟩$ 时，受控门整体等价于对控制比特作用相位 $e^{i\varphi }$（$U|u⟩=e^{i\varphi }|u⟩$）。

关联词条

• 概念：量子门、纠缠、通用量子门集、相位反冲
• 算法：量子计算概述

取材：量子计算概述。

参考文献

• Nielsen & Chuang.《量子计算与量子信息》第 4 章（受控运算与 CNOT）.
• A. Barenco, C. H. Bennett, R. Cleve, D. P. DiVincenzo, N. Margolus, P. Shor, T. Sleator, J. Smolin, H. Weinfurter. Elementary Gates for Quantum Computation. Phys. Rev. A 52, 3457 (1995). arXiv:quant-ph/9503016