Trotterization

哈密顿量模拟是量子计算最原始、最核心的应用之一：给定物理系统的哈密顿量 $H$，在量子计算机上实现时间演化算符 $U(t)=e^{-iHt}$。Trotterization（Trotter 分解，又称乘积公式，product formula）是实现这一目标最直观、最广泛使用的方法。它将 $e^{-iHt}$ 分解为一系列更简单的酉操作的乘积，并具有可证明的误差界。本词条给出其一阶与二阶误差界的完整推导：从 Baker–Campbell–Hausdorff 展开逐项配平系数开始，到多因子归纳、误差累积的望远镜估计，最后逐个重算数值例子。

问题背景

量子力学的核心方程是薛定谔方程：

$i\frac{d}{dt}|\psi (t)⟩=H|\psi (t)⟩$

其形式解 $|\psi (t)⟩=e^{-iHt}|\psi (0)⟩$ 将系统在时间 $t$ 的状态表达为对初始态施加酉算符 $e^{-iHt}$。

为什么需要量子模拟？

对 $n$ 量子比特系统，$H$ 是 $2^n\times 2^n$ 矩阵。经典计算 $e^{-iHt}|\psi ⟩$ 需要 $O(2^n)$ 存储和 $O(2^{3n})$ 运算（矩阵指数），对 $n=50$ 已不可行。量子计算机以 $n$ 个量子比特直接编码 $|\psi ⟩$，避免了指数存储。

为什么不能直接实现 $e^{-iHt}$？

量子计算机只能执行量子门——小维度的酉操作。$H$ 通常不是单个门可直接实现的，而是多个局部项之和 $H={\sum }_{k=1}^L{\alpha }_k{H}_k$，各项 $H_k$（例如泡利字符串）往往不对易，因此 $e^{-iHt}\ne {\prod }_k{e}^{-i{\alpha }_k{H}_{k}t}$。Trotterization 的全部内容就是量化这个不等式两边的差距，并用”切成小步、反复迭代”把差距压到任意精度以内。

核心思想：Trotter 公式

Lie–Trotter 乘积公式（一阶）

定理（Lie–Trotter 乘积公式）：对有界算符 $A,B$，

$e^{(A+B)t}={\lim }_{r\to \infty }{\left(e^{At/r}{e}^{Bt/r}\right)}^r.$

该极限公式在算子半群理论中由 Trotter（1959）证明（Kato 随后推广），量子情形的应用由 Lloyd（1996）给出。值得注意的是，我们将在”理论推导”一节中得到的误差界 $\Vert e^{-iHt}-S_1(t)\Vert =O(t^2/r)$ 本身就是该极限定理对有界算符的一个构造性证明：误差随 $r\to \infty$ 趋于零。

将总时间 $t$ 切成 $r$ 个时间步 $\delta =t/r$，每步内依次施加各项的演化，得到一阶 Trotter 电路

$S_1(t)={\left({\prod }_{k=1}^L{e}^{-i{\alpha }_k{H}_k\delta }\right)}^r,\delta =\frac{t}{r}.$

误差：记

${\Lambda }_2:={\sum }_{1\le i<j\le L}\Vert [H_i^{\prime },H_j^{\prime }]\Vert ,H_k^{\prime }:={\alpha }_k{H}_k,$

则

$\Vert e^{-iHt}-S_1(t)\Vert =O\left(\frac{{\Lambda }_2{t}^2}{r}\right)+O\left(\frac{{\lambda }^3{t}^3}{r^2}\right),\lambda :={\sum }_{k=1}^L\Vert H_k^{\prime }\Vert ={\sum }_{k=1}^L|{\alpha }_k|.$

若用最大值形式 $C_2:={\max }_{i,j}\Vert [H_i^{\prime },H_j^{\prime }]\Vert$ 表述，则 ${\Lambda }_2\le \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{L}{2}\right)C_2=O(L^2{C}_2)$，误差即为 $O(L^2{C}_2{t}^2/r)$——文献中常见的 $O(s^2{t}^2/r)$ 型估计里的 $s^2$（$s$ 为项数）正是来自 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{2}\right)$ 个指标对：每个指标对贡献一个交换子。用 ${\Lambda }_2$ 本身（只对非零交换子求和）表述更为贴切，因为实际哈密顿量中绝大多数交换子为零。对泡利字符串分解还有实用的上界：$\Vert [H_i^{\prime },H_j^{\prime }]\Vert \le 2|{\alpha }_i{\alpha }_j|$（每项范数为 $|{\alpha }_k|$、乘积是范数为 $1$ 的泡利字符串），故

${\Lambda }_2\le 2{\sum }_{i<j}|{\alpha }_i{\alpha }_j|={\lambda }^2-{\sum }_k{\alpha }_k^2\le {\lambda }^2,$

其中 $\lambda =\Vert \vec{\alpha }{\Vert }_1$ 正是 LCU 块编码的归一化常数（见块编码教程）。

二阶对称公式（Strang 分解）

二阶公式（对称 Trotter，又称 Strang 分解）为

$S_2(t)={\prod }_{k=1}^L{e}^{-i{\alpha }_k{H}_k\delta /2}\cdot {\prod }_{k=L}^1{e}^{-i{\alpha }_k{H}_k\delta /2},\delta =\frac{t}{r},$

其中第二半是第一半的逆序。注意相邻的两个 $e^{-i{\alpha }_L{H}_L\delta /2}$ 可以合并为 $e^{-i{\alpha }_L{H}_L\delta }$。误差：记

${\Lambda }_3:={\sum }_{1\le i<j\le L}{\sum }_{k=1}^L\Vert [[H_i^{\prime },H_j^{\prime }],H_k^{\prime }]\Vert ,$

则 $\Vert e^{-iHt}-S_2(t)\Vert =O({\Lambda }_3{t}^3/r^2)$。推导见”理论推导”一节，其中我们会对二因子的情形给出显式的领先误差项。

高阶 Suzuki 公式

高阶公式按 Suzuki（1990）的分形递推构造。以 $S_2$ 为基础，对 $k\ge 2$ 定义

$S_{2k}(t)=[S_{2k-2}(p_{k}t){]}^2{S}_{2k-2}((1-4p_k)t\left)\right[S_{2k-2}(p_{k}t){]}^2,p_k=\frac{1}{4-4^{1/(2k-1)}}.$

五个块的时间参数之和为 $2p_k+2p_k+(1-4p_k)=1$，即一整步；参数 $p_k$ 由”配平误差展开中 $t^{2k}$ 项系数为零”的待定系数法解出（Suzuki, 1990）。误差：以 $r$ 步 $(S_{2p}(t/r){)}^r$ 模拟 $2p$ 阶公式时，

$\Vert e^{-iHt}-S_{2p}(t)\Vert =O\left(\frac{{\Lambda }_{2p+1}{t}^{2p+1}}{r^{2p}}\right),$

其中 ${\Lambda }_{2p+1}$ 是对 $2p+1$ 重嵌套交换子范数（只计非零者）的求和；最坏情形下指标元组多达 $L^{2p+1}$ 个。代价：每个 $S_{2p}$ 块包含 $5^{p-1}$ 个 $S_2$ 块，即 $2L\cdot 5^{p-1}$ 个单指数因子，门数随阶数指数增长，因此实际中很少用到 $p>2$。

算法步骤详解

以二阶 Trotter 公式为例，完整流程如下。

第一步：哈密顿量分解

将 $H$ 写成局部项之和：

$H={\sum }_{k=1}^L{\alpha }_k{H}_k.$

每个 $H_k$ 是一个可直接实现为量子门的局部算符：

• 泡利字符串：$H_k={\sigma }_{i_1}^{(a_1)}\otimes {\sigma }_{i_2}^{(a_2)}\otimes \cdots$（$\sigma \in \{X,Y,Z\}$）；
• 每个泡利字符串的 $e^{-i{\alpha }_k{H}_k\delta }$ 可由 $O(n_k)$ 个 CNOT 门和单比特旋转实现（$n_k$ 为 $H_k$ 涉及的量子比特数）：权重为 $n_k$ 的泡利字符串需要 $2(n_k-1)$ 个 CNOT 加 1 个 $R_z$ 旋转（外加泡利基变换）。

第二步：选择时间步数 $r$

根据目标精度 $\epsilon$ 与误差公式：

• 一阶：$r=O({\Lambda }_2{t}^2/\epsilon )$；
• 二阶：$r=O(({\Lambda }_3{t}^3/\epsilon {)}^{1/2})$；
• $2p$ 阶：$r=O(({\Lambda }_{2p+1}{t}^{2p+1}/\epsilon {)}^{1/(2p)})$。

第三步：构建量子电路

对每个时间步 $\delta =t/r$：

一阶电路：

e^{-iα₁H₁δ} ─ e^{-iα₂H₂δ} ─ ... ─ e^{-iα_LH_Lδ}

二阶电路（对称）：

e^{-iα₁H₁δ/2} ─ ... ─ e^{-iα_LH_Lδ/2} ─ e^{-iα_LH_Lδ/2} ─ ... ─ e^{-iα₁H₁δ/2}

注意第二半是逆序施加，这是”对称”（回文结构）的来源。回文结构不是装饰：下文的推导将说明它恰好使误差展开中的偶数阶项全部相消，是二阶公式精度的来源。

第四步：执行与测量

将电路施加到初始态 $|\psi (0)⟩$，测量目标可观测量 $⟨O(t)⟩=⟨\psi (t)|O|\psi (t)⟩$。由谱范数误差 $\Vert e^{-iHt}-S(t)\Vert \le \epsilon$ 可推出观测量的偏差不超过 $2\epsilon \Vert O\Vert$。

理论推导

本节完整给出一阶与二阶误差界的推导。我们先建立三条引理（BCH 展开、多因子归纳、幂的望远镜估计），再逐步组装成定理；二阶的推导额外用到回文对称性。

引理一：BCH 展开到二阶

引理 1：对范数有限的算符 $X,Y$ 与小参数 $\delta$，

$e^{X\delta }{e}^{Y\delta }=e^{(X+Y)\delta +\frac{1}{2}[X,Y]{\delta }^2+R_3},\Vert R_3\Vert \le c(\Vert X\Vert +\Vert Y\Vert {)}^3{\delta }^3,$

其中 $c$ 为绝对常数；$R_3$ 只含 $X,Y$ 的三重及更高重乘积（嵌套交换子）。

证明：将两端都展开到 ${\delta }^2$。左端：

$e^{X\delta }=I+X\delta +\frac{1}{2}{X}^2{\delta }^2+O(\Vert X{\Vert }^3{\delta }^3),e^{Y\delta }=I+Y\delta +\frac{1}{2}{Y}^2{\delta }^2+O(\Vert Y{\Vert }^3{\delta }^3),$

相乘并按 $\delta$ 的幂次收集（$O(\cdot )$ 项由矩阵范数的次乘性合并）：

$$e^{X\delta }{e}^{Y\delta }=I+(X+Y)\delta +(\frac{1}{2}{X}^2+XY+\frac{1}{2}{Y}^2){\delta }^2+O((\Vert X\Vert +\Vert Y\Vert {)}^3{\delta }^3).\text{\hspace{1em}(1)}$$

右端设为 $e^{\Omega }$，写 $\Omega ={\Omega }_1\delta +{\Omega }_2{\delta }^2+O({\delta }^3)$，则

$$e^{\Omega }=I+\Omega +\frac{1}{2}{\Omega }^2+O({\delta }^3)=I+{\Omega }_1\delta +({\Omega }_2+\frac{1}{2}{\Omega }_1^2){\delta }^2+O({\delta }^3).\text{\hspace{1em}(2)}$$

比对 (1)(2) 的 $\delta$ 项：${\Omega }_1=X+Y$。比对 ${\delta }^2$ 项并展开 $(X+Y{)}^2=X^2+XY+YX+Y^2$：

${\Omega }_2=\frac{1}{2}{X}^2+XY+\frac{1}{2}{Y}^2-\frac{1}{2}(X^2+XY+YX+Y^2)=\frac{1}{2}(XY-YX)=\frac{1}{2}[X,Y].$

被舍弃的 $O({\delta }^3)$ 项有显式形式：完整的 BCH 级数给出

$\log (e^{X\delta }{e}^{Y\delta })=(X+Y)\delta +\frac{1}{2}[X,Y]{\delta }^2+\frac{{\delta }^3}{12}([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]])+\cdots ,$

三阶项是两个三重嵌套交换子（利用 $[Y,[Y,X]]=-[Y,[X,Y]]$，也可写成 $\frac{{\delta }^3}{12}([X,[X,Y]]-[Y,[X,Y]])$），四阶及更高项类推。$■$

引理二：多因子的一阶展开

引理 2：设 $H={\sum }_{k=1}^L{H}_k^{\prime }$（$H_k^{\prime }={\alpha }_k{H}_k$），$\delta >0$，则

${\prod }_{k=1}^L{e}^{-i{H}_k^{\prime }\delta }=e^{-iH\delta +E_2},\Vert E_2\Vert \le \frac{{\delta }^2}{2}{\Lambda }_2+c^{\prime }{\delta }^3({\sum }_k\Vert H_k^{\prime }\Vert {)}^3,$

其中 $c^{\prime }$ 为绝对常数，${\Lambda }_2={\sum }_{i<j}\Vert [H_i^{\prime },H_j^{\prime }]\Vert$。

证明：对 $L$ 归纳。$L=2$ 由引理 1 取 $X=-i{H}_1^{\prime }$、$Y=-i{H}_2^{\prime }$：此时 $[X,Y]=(-i{)}^2{\delta }^2[H_1^{\prime },H_2^{\prime }]=-{\delta }^2[H_1^{\prime },H_2^{\prime }]$，故

$\log \left(e^{-i{H}_1^{\prime }\delta }{e}^{-i{H}_2^{\prime }\delta }\right)=-i(H_1^{\prime }+H_2^{\prime })\delta -\frac{{\delta }^2}{2}[H_1^{\prime },H_2^{\prime }]+O({\delta }^3),$

即 $E_2=-\frac{{\delta }^2}{2}[H_1^{\prime },H_2^{\prime }]+O({\delta }^3)$，范数不超过 $\frac{{\delta }^2}{2}\Vert [H_1^{\prime },H_2^{\prime }]\Vert +O({\delta }^3)$。

归纳步：设 ${\prod }_{k<L}{e}^{-i{H}_k^{\prime }\delta }=e^{-i{H}_{<L}\delta +E^{(L-1)}}$，$H_{<L}={\sum }_{k<L}{H}_k^{\prime }$，$\Vert E^{(L-1)}\Vert \le \frac{{\delta }^2}{2}{\sum }_{i<j<L}\Vert [H_i^{\prime },H_j^{\prime }]\Vert +O({\delta }^3)$。对

$\left({\prod }_{k<L}{e}^{-i{H}_k^{\prime }\delta }\right)e^{-i{H}_L^{\prime }\delta }=e^A{e}^B,A=-i{H}_{<L}\delta +E^{(L-1)},B=-i{H}_L^{\prime }\delta$

再次使用引理 1：$A+B=-iH\delta +E^{(L-1)}$，而

$\frac{1}{2}[A,B]=\frac{1}{2}[-i{H}_{<L}\delta ,-i{H}_L^{\prime }\delta ]+\frac{1}{2}[E^{(L-1)},-i{H}_L^{\prime }\delta ]=-\frac{{\delta }^2}{2}[H_{<L},H_L^{\prime }]+O({\delta }^3),$

其中第二项的范数不超过 $\Vert E^{(L-1)}\Vert \cdot \Vert H_L^{\prime }\Vert \delta =O({\delta }^3)$（因 $E^{(L-1)}=O({\delta }^2)$）。由于 $[H_{<L},H_L^{\prime }]={\sum }_{i<L}[H_i^{\prime },H_L^{\prime }]$ 恰好补上所有含指标 $L$ 的新配对，归纳完成。$■$

引理三：幂的望远镜估计

引理 3：(a) 设 $A,B$ 为压缩算符（$\Vert A\Vert ,\Vert B\Vert \le 1$），则 $\Vert A^r-B^r\Vert \le r\Vert A-B\Vert$。

(b)（指数的 Lipschitz 性）$e^A-e^B={\int }_0^1{e}^{(1-s)A}(A-B)e^{sB}\mathrm{d}s$，故 $\Vert e^A-e^B\Vert \le \Vert A-B\Vert e^{\max (\Vert A\Vert ,\Vert B\Vert )}$。

证明：(a) 用恒等式 $A^r-B^r={\sum }_{j=0}^{r-1}{A}^{r-1-j}(A-B)B^j$ 与 $\Vert A^{r-1-j}\Vert ,\Vert B^j\Vert \le 1$ 加三角不等式。(b) 对 $s\in [0,1]$ 求导可验证 $\frac{d}{ds}\left(e^{(1-s)A}{e}^{sB}\right)=e^{(1-s)A}(B-A)e^{sB}$，从 $0$ 到 $1$ 积分即得。$■$

定理：一阶 Trotter 误差

定理 1：在引理 2 的记号下，设 $\delta =t/r$ 且 $\delta \Vert H\Vert \le 1$、$\Vert E_2\Vert \le 1$，则

$\Vert e^{-iHt}-S_1(t)\Vert \le \frac{e^2}{2}\frac{{\Lambda }_2{t}^2}{r}+O\left(\frac{{\lambda }^3{t}^3}{r^2}\right).$

证明：记 $A:=e^{-iH\delta }$（酉）、$B:={\prod }_k{e}^{-i{H}_k^{\prime }\delta }$（酉）。由引理 2 与引理 3(b)（取指数前算子 $-iH\delta$ 与 $-iH\delta +E_2$），在 $\delta \Vert H\Vert \le 1$、$\Vert E_2\Vert \le 1$ 时

$\Vert A-B\Vert =\Vert e^{-iH\delta }-e^{-iH\delta +E_2}\Vert \le e^2\Vert E_2\Vert \le \frac{e^2{\delta }^2}{2}{\Lambda }_2+O({\delta }^3{\lambda }^3).$

再由引理 3(a)（$A^r=e^{-iHt}$、$B^r=S_1(t)$）：

$\Vert e^{-iHt}-S_1(t)\Vert \le r\Vert A-B\Vert \le \frac{e^2}{2}{\Lambda }_{2}r{\delta }^2+O(r{\delta }^3{\lambda }^3)=\frac{e^2}{2}\frac{{\Lambda }_2{t}^2}{r}+O\left(\frac{{\lambda }^3{t}^3}{r^2}\right).■$

常数 $e^2/2\approx 3.7$ 未加优化；重要的是结构：误差随 $r$ 以 $1/r$ 衰减、随 $t$ 以 $t^2$ 增长、且只通过交换子和 ${\Lambda }_2$ 依赖哈密顿量。取 $r\ge {\Lambda }_2{t}^2/\epsilon$ 即可保证误差不超过 $\epsilon$（吸收常数后）。

二阶公式的误差：回文结构的作用

二阶公式 $S_2(\delta )={\prod }_{k=1}^L{e}^{-i{H}_k^{\prime }\delta /2}\cdot {\prod }_{k=L}^1{e}^{-i{H}_k^{\prime }\delta /2}$ 有两条关键性质。

性质一（回文性）：$S_2(-\delta )=S_2(\delta {)}^{-1}$。验证：把每个指数因子中的 $\delta$ 换成 $-\delta$，得到的序列等于原序列的逆（每个因子取逆且整体反序，而回文序列的反序仍是它自身）。因此 $\log S_2(\delta )$ 是 $\delta$ 的奇函数：误差指数中只出现 ${\delta }^3,{\delta }^5,\dots$ 奇数次幂。

性质二（${\delta }^2$ 项相消）：我们先对两因子情形做完整展开。令 $X:=-i{H}_1^{\prime }\delta$、$Y:=-i{H}_2^{\prime }\delta$，把对称公式写成 $e^{X/2}{e}^Y{e}^{X/2}$（相邻两个半步合并）。将三个因子展开到三阶：

$e^{X/2}=I+\frac{X}{2}+\frac{X^2}{8}+\frac{X^3}{48}+O({\delta }^4),e^Y=I+Y+\frac{Y^2}{2}+\frac{Y^3}{6}+O({\delta }^4).$

先乘前两个因子（$e^{X/2}{e}^Y$），再乘第三个（$\cdot e^{X/2}$），按字（word）收集三阶以内的系数，得

$$e^{X/2}{e}^Y{e}^{X/2}=I+(X+Y)+(\frac{X^2}{2}+\frac{XY+YX}{2}+\frac{Y^2}{2})+C_3+O({\delta }^4),\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中二阶系数恰好是 $\frac{1}{2}(X+Y{)}^2$——与 $e^{X+Y}$ 的二阶系数完全一致，这就是二阶相消；三阶系数为（按乘积中实际出现的字列出，$YXY$ 字的系数为零）

$C_3=\frac{X^3}{6}+\frac{Y^3}{6}+\frac{X^{2}Y}{8}+\frac{Y{X}^2}{8}+\frac{X{Y}^2}{4}+\frac{Y^{2}X}{4}+\frac{XYX}{4}.$

与 $e^{X+Y}$ 的三阶系数 $\frac{1}{6}(X+Y{)}^3=\frac{1}{6}(X^3+X^{2}Y+XYX+X{Y}^2+Y{X}^2+YXY+Y^{2}X+Y^3)$ 逐字比对，差为

$D:=C_3-\frac{1}{6}(X+Y{)}^3=-\frac{1}{24}{X}^{2}Y-\frac{1}{24}Y{X}^2+\frac{1}{12}X{Y}^2+\frac{1}{12}{Y}^{2}X+\frac{1}{12}XYX-\frac{1}{6}YXY.$

利用 $[X,[X,Y]]=X^{2}Y-2XYX+Y{X}^2$ 与 $[Y,[X,Y]]=2YXY-X{Y}^2-Y^{2}X$（两条都由定义直接展开可得），$D$ 恰好重组为

$D=-\frac{1}{24}[X,[X,Y]]-\frac{1}{12}[Y,[X,Y]].$

于是两因子的二阶公式满足精确到三阶的展开

$$\log S_2(\delta )=-i(H_1^{\prime }+H_2^{\prime })\delta -\frac{i{\delta }^3}{24}\left(\right[H_1^{\prime },[H_1^{\prime },H_2^{\prime }]]+2[H_2^{\prime },[H_1^{\prime },H_2^{\prime }]\left]\right)+O({\delta }^4),\text{\hspace{1em}(4)}$$

（代换 $[X,[X,Y]]=i{\delta }^3[H_1^{\prime },[H_1^{\prime },H_2^{\prime }]]$ 等并注意 $(-i{)}^3=i$。）特别地

$\Vert E_3\Vert \le \frac{{\delta }^3}{24}(\Vert [H_1^{\prime },[H_1^{\prime },H_2^{\prime }]]\Vert +2\Vert [H_2^{\prime },[H_1^{\prime },H_2^{\prime }]]\Vert )\le \frac{{\delta }^3}{8}{\Lambda }_3^{(2)},$

其中 ${\Lambda }_3^{(2)}:={\sum }_k\Vert [[H_1^{\prime },H_2^{\prime }],H_k^{\prime }]\Vert$ 是单对版本的交换子和。

一般 $L$ 项的论证：记 $F(u):={\prod }_{k=1}^L{e}^{-i{H}_k^{\prime }u}$、$\tilde{F}(u):={\prod }_{k=L}^1{e}^{-i{H}_k^{\prime }u}$（反序），则 $S_2(\delta )=F(\delta /2)\tilde{F}(\delta /2)$。由引理 2（把步长换成 $u$），

$\log F(u)=-iHu-\frac{u^2}{2}{\Sigma }_2+O(u^3),{\Sigma }_2:={\sum }_{i<j}[H_i^{\prime },H_j^{\prime }].$

对反序乘积，引理 2 归纳证明中的每一个新配对 $(i,j)$ 的交换子项都反号（二因子情形直接可见：$\log (e^{-i{H}_2^{\prime }u}{e}^{-i{H}_1^{\prime }u})=-iHu+\frac{u^2}{2}[H_1^{\prime },H_2^{\prime }]+O(u^3)$），故

$\log \tilde{F}(u)=-iHu+\frac{u^2}{2}{\Sigma }_2+O(u^3).$

于是用引理 1 合并两段（$A=\log F(\delta /2)$、$B=\log \tilde{F}(\delta /2)$）：

$\log S_2(\delta )=\underset{=0}{\underbrace{(-\frac{{\delta }^2}{8}{\Sigma }_2+\frac{{\delta }^2}{8}{\Sigma }_2)}}+\frac{1}{2}[A,B]+O({\delta }^3)=-iH\delta +O({\delta }^3),$

其中 $\frac{1}{2}[A,B]=\frac{1}{2}[-iH\delta /2+O({\delta }^2),-iH\delta /2+O({\delta }^2)]=O({\delta }^3)$。$O({\delta }^3)$ 中的误差项由嵌套交换子组成，可以写成 $\Vert E_3\Vert \le c{\delta }^3{\Lambda }_3$ 的形式（$c$ 为绝对常数；两因子情形 (4) 给出 $c\le \frac{1}{8}$）。

定理 2：结合引理 3 与上式，与定理 1 相同的望远镜论证给出

$\Vert e^{-iHt}-S_2(t)\Vert \le c\frac{{\Lambda }_3{t}^3}{r^2}.■$

由性质一，$\log S_2$ 只含奇数次幂，故 $r$ 步总误差的下一项是 $O(t^5/r^4)$ 而非朴素的 $O(t^4/r^3)$；标准分析只用到上面的 $t^3/r^2$ 项。取 $r\ge (c{\Lambda }_3{t}^3/\epsilon {)}^{1/2}$ 即可保证精度。

交换子标度：现代误差分析

上面两条定理把误差写成交换子和 ${\Lambda }_2,{\Lambda }_3$ 的形式，但常数因子未经优化。Childs、Su、Tran、Wiebe 与 Zhu（2021）给出了系统的紧致分析，其主定理可陈述为：对 $p$ 阶乘积公式（反 Hermitian 的求和项 $-i{H}_k^{\prime }$），加性误差与乘性误差都按

$O\left(\frac{t^{p+1}}{r^p}{\sum }_{{\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_{p+1}=1}^L\Vert [H_{{\gamma }_{p+1}}^{\prime },[\cdots [H_{{\gamma }_2}^{\prime },H_{{\gamma }_1}^{\prime }]\cdots \left]\right]\Vert \right)$

标度，其中求和遍历全部（含重复指标的）$p+1$ 元组。他们的证明不直接截断 BCH 级数，而是用”相互作用图像 + 阶条件”的组合；对一阶与二阶，该界与最低阶 BCH 项在三角不等式意义下一致，因而是紧的。实践中最重要的性质是：求和只对非零的嵌套交换子有贡献。当各项之间的交换子大部分为零时（如近可积系统、只有近邻项作用的格点模型），误差远小于用最坏情形元组计数（$L^{p+1}$ 乘最大范数）估计的结果；下文例子一将给出具体的对比。

门复杂度

对 $L$ 项哈密顿量，每步 $S_1(\delta )$ 需 $L$ 个、$S_2(\delta )$ 需 $2L$ 个基本指数因子 $e^{-i{\alpha }_k{H}_k\delta }$；权重为 $n_k$ 的泡利字符串因子需 $O(n_k)$ 个门。总门数为

$\text{Gates}=O(r\cdot L\cdot n_{\max }),n_{\max }={\max }_k{n}_k.$

代入最优步数：一阶 $O(L{n}_{\max }{\Lambda }_2{t}^2/\epsilon )$，二阶 $O(L{n}_{\max }({\Lambda }_3{t}^3/\epsilon {)}^{1/2})$，$2p$ 阶 $O(5^{p-1}L{n}_{\max }({\Lambda }_{2p+1}{t}^{2p+1}/\epsilon {)}^{1/(2p)})$。

具体例子

例子一：一维横场 Ising 链

$H=-J{\sum }_{i=1}^{n-1}{Z}_i{Z}_{i+1}-h{\sum }_{i=1}^n{X}_i,n=10,J=1,h=0.5,t=1,\epsilon =\mathrm{0.01.}$

分解：$L=(n-1)+n=19$ 项：9 个 $ZZ$ 项（$A_i:=-J{Z}_i{Z}_{i+1}$，2 量子比特）与 10 个 $X$ 项（$B_j:=-h{X}_j$，1 量子比特）。$e^{iJ{Z}_i{Z}_{i+1}\delta }$ 由 2 个 CNOT + 1 个 $R_z$（共 3 门）实现，$e^{ih{X}_j\delta }$ 由 1 个 $R_x$ 实现。

交换子的显式计算：利用 $Z_i{X}_i=i{Y}_i$、$X_i{Z}_i=-i{Y}_i$（不同站点对易），

$[Z_i{Z}_{i+1},X_j]=2i{Y}_j(Z\text{ 串})(j\in \{i,i+1\}),\Vert [A_i,B_j]\Vert =2Jh=1.$

非零配对只有”相邻”的 $(A_i,B_i)$ 与 $(A_i,B_{i+1})$，共 $2(n-1)=18$ 对，故

${\Lambda }_2=18\times 2Jh=18.$

三阶嵌套交换子：对内对 $(A_i,B_i)$（$[A_i,B_i]\propto Y_i{Z}_{i+1}$），非零的第三项只有 $A_{i-1},A_i,B_i$（分别共享站点 $i$ 或 $i+1$ 上反对易的泡利），范数依次为

$\Vert [[A_i,B_i],A_{i-1}]\Vert =4J^{2}h=2,\Vert [[A_i,B_i],A_i]\Vert =4J^{2}h=2,\Vert [[A_i,B_i],B_i]\Vert =4J{h}^2=1,$

例如 $[[A_i,B_i],A_i]=4J^{2}h{X}_i$（逐项用 $[Y_i,Z_i]=2i{X}_i$ 展开即可验证）。对内对 $(A_i,B_{i+1})$ 同理得 $2+2+1=5$。边界两对少一个 $A$ 型伙伴，故

${\Lambda }_3=18\times 5-2\times 2=86.$

步数与门数：

• 一阶：$r\ge {\Lambda }_2{t}^2/\epsilon =18/0.01=1800$ 步；每步 $9\times 3+10\times 1=37$ 个门，总计约 $1800\times 37\approx 6.7\times 10^4$ 个门。
• 二阶：$r\ge ({\Lambda }_3{t}^3/\epsilon {)}^{1/2}=\sqrt{86/0.01}\approx 93$ 步；每步 $2\times 37=74$ 个门，总计约 $93\times 74\approx 6.9\times 10^3$ 个门。

对比最坏情形计数：若不看结构、把所有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{19}{3}\right)=969$ 个三元组都按最大范数 $4J^{2}h=2$ 计入，会估计出 ${\Lambda }_3\gtrsim 2000$、$r\gtrsim 450$——比按实际非零交换子求和的 93 大约五倍。这正是”交换子标度”分析的价值所在。

例子二：$H_2$ 分子

$H_2$ 在 STO-3G 基组、约 0.735 Å 键长下经 Jordan–Wigner 变换得到 4 量子比特、15 项的哈密顿量：1 个恒等项、4 个单 $Z$ 项、6 个 $ZZ$ 项、4 个权重为 4 的 $XXYY$ 型项。系数幅度（按典型顺序列出；正负号与具体指标排序不影响下文的范数估计）为

$|g_1|=0.8126,\{0.1712\times 2,0.2228\times 2\},\{0.1659\times 2,0.1205\times 2,0.1743,0.1661\},0.0453\times 4.$

我们用泡利字符串的范数界 ${\Lambda }_2\le {\lambda }^2-{\sum }_k{g}_k^2$、${\Lambda }_3\le 4\cdot \frac{{\lambda }^2-{\sum }_k{g}_k^2}{2}\cdot \lambda$（其中 $\lambda ={\sum }_k|g_k|$，后者来自 ${\sum }_{i<j}{\sum }_{k}4|g_i{g}_j{g}_k|=4\cdot \frac{{\lambda }^2-\sum g_k^2}{2}\cdot \lambda$）来估计。直接求和：

$\lambda =2.695\approx 2.70,{\sum }_k{g}_k^2=0.968,{\Lambda }_2\le 7.263-0.968=6.30,{\Lambda }_3\le 4\times 3.15\times 2.695\approx 34.$

取 $t=1$、$\epsilon =10^{-3}$：

• 一阶：$r\ge 6.30/10^{-3}=6300$ 步；
• 二阶：$r\ge \sqrt{34/10^{-3}}\approx 185$ 步。

门数估计：权重 4 的泡利字符串指数约 11 个门、权重 2 约 5 个、权重 1 约 2 个，每步（一阶）约 $4\times 11+6\times 5+4\times 2=82$ 个门，故一阶总计约 $6300\times 82\approx 5\times 10^5$ 个门，二阶约 $2\times 185\times 82\approx 3\times 10^4$ 个门。量子比特数为 $n=4$（2 个空间轨道 $\times$ 2 自旋），且 Trotter 电路不需要任何辅助比特。

值得说明的是，上述 $\lambda$ 型界是非常保守的上界：该哈密顿量中所有 $Z$ 型项彼此对易，非零交换子只出现在 $Z$ 型项与 $XXYY$ 型项之间，真实的 ${\Lambda }_2,{\Lambda }_3$ 远小于上界，实际所需步数也更少。

例子三：横场 Ising 的实时演化

计算 $⟨Z_1(t)⟩$，初态 $|+{⟩}^{\otimes n}$（所有比特在 $X$ 本征态），参数沿用例子一（$n=10$、$J=1$、$h=0.5$），模拟时长 $t=5$，目标谱范数误差 $0.1$。

由例子一，${\Lambda }_2=18$、${\Lambda }_3=86$：

• 二阶：$r\ge ({\Lambda }_3{t}^3/0.1{)}^{1/2}=(86\times 125/0.1{)}^{1/2}=\sqrt{107500}\approx 328$ 步，步长 $\delta =5/328\approx 0.015$，门数约 $328\times 74\approx 2.4\times 10^4$；
• 一阶：$r\ge {\Lambda }_2{t}^2/0.1=18\times 25/0.1=4500$ 步。

物理直觉的对照：$J\gg h$ 时磁化强度以频率 $\sim 2J=2$ 振荡（自旋波），周期约 $\pi \approx 3.14$。“分辨振荡”只要求 $\delta$ 远小于周期，即 $r\gg t/\pi \approx 1.6$——这是很弱的约束；真正起约束作用的是上面的误差界。换一个角度说，仅凭”步长小于振荡周期”（例如 $r=100$、$\delta =0.05$）并不足以保证精度：按误差界，$r=100$ 时谱范数误差约为 ${\Lambda }_3{t}^3/r^2=10750/10000\approx 1.1$，并不小。分辨率的启发式论证与可证的误差界是两回事，后者才是选取 $r$ 的依据。

Trotter 的局限性

误差累积

Trotter 误差随时间 $t$ 多项式增长（一阶 $t^2$、二阶 $t^3$），对长时间模拟（$t\gg 1$），所需步数 $r$ 增长迅速。

指数级高阶公式

$2p$ 阶公式每个时间步需要 $2L\cdot 5^{p-1}$ 个指数因子，门数随阶数以 $5^p$ 指数增长；同时误差常数在最坏情形要对 $L^{2p+1}$ 个指标元组求和。高阶公式在实际中几乎不超出四阶。

与替代方法的对比

方法	步数 $r$	门数	后选择	可证明误差
一阶 Trotter	$O({\Lambda }_2{t}^2/\epsilon )$	$O(rL)$	无	是
二阶 Trotter	$O(({\Lambda }_3{t}^3/\epsilon {)}^{1/2})$	$O(rL)$	无	是
LCHS	—	$O(Ld{e}^{\Vert \alpha {\Vert }_{1}t})$	有	是
Qubitization + QSP	—	$O((\lambda t+\log (1/\epsilon ))\cdot (Ln+C_{\mathrm{PREP}}))$	无	是

Qubitization + QSP（见本词条相关教程）在精度依赖（$1/\epsilon$ 对 $\log (1/\epsilon )$）上严格优于 Trotter，是目前理论最优方法；Trotter 的优势在于结构简单、无需块编码与相位求解。

随机化 Trotter

近年提出的随机化方法（randomized Trotterization）通过随机排列每步中的项顺序，把最坏情况误差改进为平均情况误差，在某些场景下将步数减少常数因子；其分析与本词条的确定性界互补，此处从略。

总结

Trotterization 是量子模拟的基石方法。本词条完整展开了它的误差分析：BCH 展开的系数配平给出单步误差的交换子结构（引理 1、2），幂的望远镜估计（引理 3）把单步误差累积为总误差 $\frac{{\Lambda }_2{t}^2}{r}$（一阶）；二阶公式的回文对称性使 ${\delta }^2$ 项精确相消（两因子情形我们算出了完整的领先误差项 (4)），总误差为 $O({\Lambda }_3{t}^3/r^2)$；高阶 Suzuki 公式以 $5^{p-1}$ 的门数代价换取 $O(t^{2p+1}/r^{2p})$ 的误差。误差常数中的项数平方因子（如 $O(s^2{t}^2/r)$ 中的 $s^2$）来自 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{2}\right)$ 个指标对的交换子求和，而按实际非零交换子求和（交换子标度）能显著收紧估计。虽然在理论上已被 Qubitization + QSP 超越，但 Trotter 电路结构简单、无需后选择、实现难度低，在 NISQ 时代（特别是变分量子算法中）仍是实际最广泛使用的哈密顿量模拟方法。理解 Trotter 的误差结构（BCH 展开、交换子标度）也是理解更高级方法的基础。

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参考文献：

1. Lloyd, S. (1996). Universal quantum simulators. Science, 273(5278), 1073-1078.
2. Childs, A. M., Su, Y., Tran, M. C., Wiebe, N., & Zhu, S. (2021). Theory of Trotter error with commutator scaling. Physical Review X, 11(1), 011020.
3. Suzuki, M. (1990). Fractal decomposition of exponential operators with applications to many-body theories and Monte Carlo simulations. Physics Letters A, 146(6), 319-323.
4. Childs, A. M., & Wiebe, N. (2012). Hamiltonian simulation using linear combinations of unitary operations. Quantum Information & Computation, 12(11-12), 901-924.

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参考资料

• 本词条整理自《量子计算算法教程》原文：ch05-hamiltonian-qsp/trotterization-tutorial
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