含参量子门

预备知识：矩阵指数与矩阵欧拉公式

在我们正式介绍含参数的量子门之前，需要先掌握一个关键的数学工具：矩阵指数 (Matrix Exponential)。这听起来可能有点吓人，但它的思想其实非常直观，是我们熟悉的指数函数 $e^x$ 在矩阵世界中的自然推广。

回顾：指数函数的泰勒展开

我们知道，标量指数函数 $e^x$ 可以通过泰勒级数展开：

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots ={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$

这个展开式只涉及加法和乘法，而这两种运算在矩阵中都有明确的定义，因此它可以原封不动地搬到矩阵上。

定义：矩阵指数 $e^A$

对于一个方阵 $A$，我们把矩阵指数 $e^A$ 定义为将 $A$ 代入上述泰勒级数所得到的矩阵：

$e^A=I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+\cdots ={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{A^n}{n!}$

其中：

• $I$ 是单位矩阵（相当于标量中的 1）；
• $A^2=A\cdot A$，$A^3=A\cdot A\cdot A$，等等；
• 这个级数对于任何方阵 $A$ 都是收敛的，所以 $e^A$ 总是一个定义良好的矩阵。

重要提示：一般来说，$e^{A+B}\ne e^A{e}^B$。只有当 $A$ 和 $B$ 对易 (commute) 时，即 $AB=BA$，等号才成立。原因在于 $e^A{e}^B$ 的展开式中会出现形如 $AB$ 与 $BA$ 的项，只有二者相等时才能合并成 $e^{A+B}$ 中 $A+B$ 的各次幂。

回顾：欧拉公式 $e^{i\theta }$

我们熟悉的欧拉公式连接了指数函数和三角函数：

$e^{i\theta }=\cos (\theta )+i\sin (\theta )$

这个公式也可以通过泰勒展开来证明：将 $x=i\theta$ 代入 $e^x$ 的展开式，并把实部与虚部分开整理，就分别得到 $\cos (\theta )$ 和 $\sin (\theta )$ 的泰勒展开式。

推广：矩阵欧拉公式

现在，让我们把这个思想应用到矩阵上。我们特别关心形如 $e^{i\theta M}$ 的矩阵，其中 $M$ 是一个矩阵，$\theta$ 是一个标量。按定义展开：

$e^{i\theta M}=I+(i\theta M)+\frac{(i\theta M{)}^2}{2!}+\frac{(i\theta M{)}^3}{3!}+\dots$ $=I+i\theta M-\frac{{\theta }^2{M}^2}{2!}-i\frac{{\theta }^3{M}^3}{3!}+\dots$

第二个等号用到 $(i\theta M{)}^2=i^2{\theta }^2{M}^2=-{\theta }^2{M}^2$ 和 $(i\theta M{)}^3=i^3{\theta }^3{M}^3=-i{\theta }^3{M}^3$。

一个非常特殊且有用的情况：当 $M^2=I$ 时。

如果一个矩阵 $M$ 的平方是单位矩阵 $I$，那么上面的展开会变得异常简洁。三个泡利矩阵都满足这个性质：

$X^2={\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I,Y^2={\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}(-i)(i)& 0\\ 0& (i)(-i)\end{array}\right)=I,Z^2=I,$

其中 $Y^2$ 的对角元用了 $(-i)(i)=-i^2=1$。由 $M^2=I$ 出发可以归纳出幂次的规律：

• $M^3=M^2\cdot M=I\cdot M=M$
• $M^4=M^2\cdot M^2=I\cdot I=I$
• 一般地，奇数次幂等于 $M$，偶数次幂等于 $I$。

现在我们重新整理 $e^{i\theta M}$ 的展开式，把含有 $I$ 的项和含有 $M$ 的项分开：

$e^{i\theta M}=\left(I-\frac{{\theta }^2}{2!}I+\frac{{\theta }^4}{4!}I-\dots \right)+i\left(\theta M-\frac{{\theta }^3}{3!}M+\frac{{\theta }^5}{5!}M-\dots \right)$

把公共的 $I$ 和 $M$ 提取出来：

$=I\left(1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\dots \right)+iM\left(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-\dots \right)$

我们会发现，括号里的两部分正是 $\cos (\theta )$ 和 $\sin (\theta )$ 的泰勒展开式！因此，我们得到了一个极其重要的矩阵欧拉公式：

如果 $M^2=I$，那么 $e^{i\theta M}=\cos (\theta )I+i\sin (\theta )M$

学以致用：推导旋转门 $R_x(\theta )$

含参数的旋转门正是通过矩阵指数定义的。例如，绕 X 轴的旋转门 $R_x(\varphi )$ 定义为：

$R_x(\varphi )=e^{-i\frac{\varphi }{2}X}$

这里的 $M$ 就是泡利矩阵 $X$，而 $\theta$ 对应于 $-\frac{\varphi }{2}$。因为 $X^2=I$，我们可以直接应用刚刚推导出的矩阵欧拉公式：

$R_x(\varphi )=\cos \left(-\frac{\varphi }{2}\right)I+i\sin \left(-\frac{\varphi }{2}\right)X$

再利用 $\cos (-x)=\cos (x)$ 和 $\sin (-x)=-\sin (x)$，得到

$R_x(\varphi )=\cos \left(\frac{\varphi }{2}\right)I-i\sin \left(\frac{\varphi }{2}\right)X$

现在，把 $I$ 和 $X$ 的矩阵形式代入：

$R_x(\varphi )=\cos \left(\frac{\varphi }{2}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)-i\sin \left(\frac{\varphi }{2}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}\cos \left(\frac{\varphi }{2}\right)& 0\\ 0& \cos \left(\frac{\varphi }{2}\right)\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}0& i\sin \left(\frac{\varphi }{2}\right)\\ i\sin \left(\frac{\varphi }{2}\right)& 0\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{cc}\cos \left(\frac{\varphi }{2}\right)& -i\sin \left(\frac{\varphi }{2}\right)\\ -i\sin \left(\frac{\varphi }{2}\right)& \cos \left(\frac{\varphi }{2}\right)\end{array}\right)$

这正是我们在正文 2.1 节看到的 $R_x$ 门的矩阵形式。

举一反三：推导 $R_y(\varphi )$ 与 $R_z(\varphi )$

$R_y$ 和 $R_z$ 的推导与 $R_x$ 完全平行，我们把它们完整地写出来。

$R_y$ 的推导。 由定义 $R_y(\varphi )=e^{-i\frac{\varphi }{2}Y}$，且 $Y^2=I$，矩阵欧拉公式给出

$R_y(\varphi )=\cos \left(\frac{\varphi }{2}\right)I-i\sin \left(\frac{\varphi }{2}\right)Y.$

计算第二项中的矩阵乘积 $-iY$（标量 $-i$ 乘以矩阵的每个元素）：

$-iY=-i\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& (-i)(-i)\\ (-i)(i)& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),$

其中用到 $(-i)(-i)=i^2=-1$ 和 $(-i)(i)=-i^2=1$。因此

$R_y(\varphi )=\cos \left(\frac{\varphi }{2}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+\sin \left(\frac{\varphi }{2}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \left(\frac{\varphi }{2}\right)& -\sin \left(\frac{\varphi }{2}\right)\\ \sin \left(\frac{\varphi }{2}\right)& \cos \left(\frac{\varphi }{2}\right)\end{array}\right).$

$R_z$ 的推导。 由定义 $R_z(\varphi )=e^{-i\frac{\varphi }{2}Z}$，且 $Z^2=I$，矩阵欧拉公式给出

$R_z(\varphi )=\cos \left(\frac{\varphi }{2}\right)I-i\sin \left(\frac{\varphi }{2}\right)Z.$

由于 $Z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ 是对角矩阵，两项相加仍是对角矩阵：

$R_z(\varphi )=\left(\begin{array}{cc}\cos \left(\frac{\varphi }{2}\right)-i\sin \left(\frac{\varphi }{2}\right)& 0\\ 0& \cos \left(\frac{\varphi }{2}\right)+i\sin \left(\frac{\varphi }{2}\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{e}^{-i\varphi /2}& 0\\ 0& e^{i\varphi /2}\end{array}\right),$

最后一步用了复数的欧拉公式 $e^{\pm ix}=\cos x\pm i\sin x$。

数值检验与两个有用的推论

我们可以用一个具体的角度来检验矩阵欧拉公式的正确性。取 $M=X$、$\theta =\frac{\pi }{2}$：

$e^{i\frac{\pi }{2}X}=\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)I+i\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)X=0\cdot I+i\cdot X=iX.$

这个结果可以用另一条路径交叉验证。一方面，直接平方：

$(iX{)}^2=i^2{X}^2=-I;$

另一方面，由于同一个矩阵的指数总是对易的，$e^A{e}^A=e^{2A}$，故

$e^{i\frac{\pi }{2}X}{e}^{i\frac{\pi }{2}X}=e^{i\pi X}=\cos (\pi )I+i\sin (\pi )X=-I.$

两条路径给出相同的答案，公式自洽。

矩阵欧拉公式还立刻给出旋转门的一个著名性质：量子比特要”转两圈”才回到原处。把 $\varphi =2\pi$ 代入 $R_x$ 的闭式表达式：

$R_x(2\pi )=\cos (\pi )I-i\sin (\pi )X=-I\ne I,R_x(4\pi )=\cos (2\pi )I-i\sin (2\pi )X=I.$

也就是说，把量子比特绕任意轴旋转 $2\pi$，得到的不是原来的态而是它的全局相位取反；只有旋转 $4\pi$ 才严格复原。这个区别于经典比特的标志性现象，其根源正是矩阵欧拉公式中出现的半角 $\frac{\theta }{2}$。

小结：

• 矩阵指数 $e^A$ 是指数函数在矩阵上的推广，由与标量情形完全相同的泰勒级数定义。
• 当生成元矩阵 $M$ 满足 $M^2=I$ 时，矩阵欧拉公式 $e^{i\theta M}=\cos (\theta )I+i\sin (\theta )M$ 成立，它把无穷级数压缩成两项。
• 我们即将学习的含参数旋转门，其定义源于矩阵指数，其矩阵形式源于矩阵欧拉公式。这个工具是连接抽象定义和具体矩阵计算的桥梁。

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参考资料

• 本词条整理自《量子计算算法教程》原文：ch02-quantum-nn/parametrized-gates-appendix
• 内容遵循 CC BY-NC-SA 4.0 许可协议