Pauli 矩阵

单量子比特上最常用的算子基是四个 Pauli 矩阵：

$I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),Y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),Z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$

它们既是埃尔米特算符（可观测量）又是幺正变换（量子门），满足 ${\sigma }_a{\sigma }_b={\delta }_{ab}I+i{ϵ}_{abc}{\sigma }_c$。

要点

• 旋转生成元：绕 Bloch 球 $a$ 轴的旋转门 $R_a(\theta )=e^{-i\theta {\sigma }_a/2}$；含参量子门 的矩阵欧拉公式即由 $G^2=I$ 型生成元展开而来，也是参数平移法则 证明的出发点。
• 测量基：$Z$ 基即计算基；随机 Pauli 基测量构成经典影子 的采样层。
• 噪声模型：Pauli 信道（随机作用 $X/Y/Z$）是量子噪声模型 中最常分析的一类。
• $X$ 是量子版 NOT；把 $(-1{)}^{f(x)}$ 型预言机写成 $Z$ 相位即得 Grover 约定 $U_O=2|x_0⟩⟨x_0|-I$（见 Grover 算法）。

关联词条

• 概念：Bloch 球、量子门、可观测量
• 算法：含参量子门、经典影子的应用

取材：量子计算概述、含参量子门。

参考文献

• Nielsen & Chuang.《量子计算与量子信息》第 2 章（Pauli 矩阵）.
• J. J. Sakurai, J. Napolitano.《现代量子力学》第 3 章（自旋与 Pauli 矩阵）.