比特翻转码

比特翻转码是最简单的量子纠错码，把一个逻辑量子比特编码到三个物理比特：

$|0_L⟩=|000⟩,|1_L⟩=|111⟩,$

一般逻辑态 $\alpha |0⟩+\beta |1⟩\mapsto \alpha |000⟩+\beta |111⟩$——注意这是纠缠编码而非复制（遵守不可克隆定理）。它可纠正任意单比特上的 $X$（翻转）错误。

症状测量与纠错

纠错通过两次宇称（症状）测量完成：测量 $Z_1{Z}_2$ 与 $Z_2{Z}_3$，得四个症状之一，再施加相应修正：

$Z_1{Z}_2$	$Z_2{Z}_3$	诊断	修正
$+1$	$+1$	无错误	—
$-1$	$+1$	比特 1 翻转	$X_1$
$-1$	$-1$	比特 2 翻转	$X_2$
$+1$	$-1$	比特 3 翻转	$X_3$

症状测量只读出”哪里错了”，不读出 $\alpha ,\beta$，因此逻辑叠加不被坍缩破坏。物理上，$Z_1{Z}_2$ 的测量用一个辅助比特经两个 CNOT 实现（辅助分别受控于比特 1、2，再读出）——测量是间接的，从不直接触碰数据比特。

数字化算例

设在第一个比特上发生任意错误 $E_1=aI+bX+cY+dZ$。利用 $Y=iXZ$：

$E_1|{\psi }_L⟩=a|{\psi }_L⟩+b{X}_1|{\psi }_L⟩+(ic)X_1{Z}_1|{\psi }_L⟩+d{Z}_1|{\psi }_L⟩,$

四支的综合征：$I$ 支与 $Z_1$ 支均为 $(+1,+1)$（$Z_1$ 与两个宇称算符都对易）；$X_1$ 支与 $X_1{Z}_1$ 支均为 $(-1,+1)$。症状测量把连续的 $E_1$ 坍缩为这四支之一——测量者只获得”哪一类 Pauli”，对系数 $a,b,c,d$ 一无所知。按症状表施加 $X_1$：$X_1$ 支完全恢复；$X_1{Z}_1$ 支残余一个 $Z_1$；$Z_1$ 支本就被当作”无错误”放过。连续错误被数字化为有限个离散 Pauli 分支，纠错只需处理分支——这是量子纠错克服”错误连续性”的关键机制；而残余的相位分支正是本码的盲区（下节）。

要点

• 症状测量是稳定子码框架的原型：$Z_1{Z}_2$、$Z_2{Z}_3$ 正是该码的两个稳定子生成元。
• 对相位翻转（$Z$ 错误）需在对偶基（Hadamard 变换后）重复同一结构；同时对付两类错误需要把两层串联起来——Shor 九比特码正是”比特翻转码 × 相位翻转码”的级联，而一般化的框架是 CSS 码与稳定子码。
• 本码参数记作 $[[3,1,1]]$：3 个物理比特、1 个逻辑比特、对一般错误的码距只有 1（不设防）；对 $X$ 型错误等效于经典三重重复码。
• 经典重复码靠”多数投票”直接读出数据；量子版不能读数据，只能读宇称——这一步之差正是量子纠错全部困难的浓缩。

关联词条

• 概念：量子纠错、稳定子码、Pauli 矩阵、Shor 九比特码

参考文献

• Nielsen & Chuang.《量子计算与量子信息》第 10 章（三比特码的完整分析）.
• P. W. Shor. Scheme for Reducing Decoherence in Quantum Computer Memory. Phys. Rev. A 52, R2493 (1995).