量子神经网络（附录2：参数平移法则）¶
深入探索：参数平移法则 (PSR) 的证明与适用范围¶
在正文中，我们介绍了参数平移法则（Parameter-Shift Rule, PSR）：只需在两个"平移后"的电路上测量期望值，就能得到关于门参数的解析梯度（analytical gradient）。本附录将给出这一法则的完整证明，并严格刻画它的适用范围。整个推导只用到矩阵欧拉公式（其推导见附录1《含参量子门与矩阵欧拉公式》）和几个基本的三角恒等式，我们对每一个等号都注明所用的依据，读者可以逐步核验。
1. 问题的设定：把一般电路化简为单个参数门¶
考虑一个含参数的量子电路，其中只有一个门 \(U(\theta)\) 依赖于参数 \(\theta\)，其余的门与测量都与 \(\theta\) 无关。为讨论方便，我们把 \(\theta\) 无关的门按位置归并到电路的前段和后段，即把整个电路写成 \(W(\theta) = A\,U(\theta)\,B\)，其中 \(A\) 和 \(B\) 都是与 \(\theta\) 无关的幺正算符。设输入态为 \(|\psi_{\mathrm{in}}\rangle\)、可观测量（observable）为 \(M\)，则期望值为
其中第二个等号只是把 \(B\) 吸收进初态、把 \(A\) 吸收进观测量。具体地，代入 \(W(\theta)=A\,U(\theta)\,B\) 并展开 \(W^\dagger = B^\dagger U^\dagger A^\dagger\)，得
因此只需取 \(|\psi_0\rangle = B|\psi_{\mathrm{in}}\rangle\)、并把 \(A^\dagger M A\) 重新记作 \(M\)（它仍是厄米算符），就得到了最简形式。这一化简表明：无论参数门位于电路的什么位置、周围还有多少别的门，我们都只需要研究 \(E(\theta)=\langle\psi_0|U^\dagger M U|\psi_0\rangle\) 这一种情形。
参数门本身具有如下形式：
其中 \(G\) 是厄米的生成元（generator）。对于旋转门 \(R_x, R_y, R_z\)，生成元分别是对应的泡利矩阵 \(X, Y, Z\)。这些生成元满足一个关键性质：\(G^2 = I\)（单位矩阵）。
2. 核心引理：期望值是 \(\theta\) 的正弦型函数¶
引理（正弦响应） 设 \(G\) 与 \(M\) 都是厄米算符且 \(G^2 = I\)，\(|\psi_0\rangle\) 为任意归一化初态。记 \(\langle A\rangle_0 := \langle\psi_0|A|\psi_0\rangle\)，\([G,M] := GM - MG\) 为对易子（commutator）。定义 \(E(\theta) = \langle\psi_0|U^\dagger(\theta) M U(\theta)|\psi_0\rangle\)，其中 \(U(\theta) = e^{-i\theta G/2}\)。则存在与 \(\theta\) 无关的实常数 \(a, b, C\)，使得
其中
证明 分三步进行。
第一步：把 \(U(\theta)\) 展开成 \(I\) 与 \(G\) 的线性组合。 由 \(G^2=I\) 和矩阵欧拉公式（附录1）可得
对其取伴随（利用 \(G^\dagger = G\) 以及 \(\cos\)、\(\sin\) 取实数值）得
为书写简洁，记 \(c = \cos\frac{\theta}{2}\)，\(s = \sin\frac{\theta}{2}\)。
第二步：展开 \(U^\dagger M U\) 并对初态取期望。 将上面两式代入 \(U^\dagger M U\)，逐项相乘可得四项：
四项的来源分别是：\(cI \cdot M \cdot cI = c^2 M\)；\(cI \cdot M \cdot (-isG) = -ics\,MG\)；\((isG)\cdot M \cdot cI = ics\,GM\)；\((isG)\cdot M\cdot(-isG) = (i)(-i)\,s^2 GMG = s^2\,GMG\)，最后一步用了 \(i\cdot(-i) = -i^2 = 1\)。把中间两项合并为对易子，得到
于是
第三步：用半角恒等式把 \(\theta/2\) 的函数改写为 \(\theta\) 的函数。 所需的三个恒等式为
它们都可由倍角公式 \(\cos\theta = \cos^2\frac\theta2 - \sin^2\frac\theta2\) 与 \(\sin\theta = 2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2\) 直接得到。先处理含 \(\cos^2\)、\(\sin^2\) 的两项：
再处理交叉项：
把三部分按常数项、\(\cos\theta\) 项、\(\sin\theta\) 项归拢，即得
其中 \(a = \frac{i}{2}\langle[G,M]\rangle_0\)、\(b = \frac{1}{2}\big(\langle M\rangle_0 - \langle GMG\rangle_0\big)\)、\(C = \frac{1}{2}\big(\langle M\rangle_0 + \langle GMG\rangle_0\big)\)。
最后我们说明这三个系数都是实数，且与 \(\theta\) 无关。先看实数性：\(M\) 是厄米的，而 \(GMG\) 的伴随为 \(G^\dagger M^\dagger G^\dagger = GMG\)，故它也是厄米的，因此 \(\langle M\rangle_0\) 与 \(\langle GMG\rangle_0\) 都是实数，从而 \(b, C\in\mathbb{R}\)。再看 \(a\)：对易子满足
即 \([G,M]\) 是反厄米的，因此 \(i[G,M]\) 是厄米算符，其期望值 \(\langle i[G,M]\rangle_0\) 是实数，故 \(a\in\mathbb{R}\)。至于与 \(\theta\) 无关这一点：\(a, b, C\) 的构造只涉及固定初态 \(|\psi_0\rangle\) 上固定算符 \(M\)、\(GMG\)、\(i[G,M]\) 的期望值，不含任何 \(\theta\)。证毕。
推论（振幅–相位形式） 实系数的正弦与余弦的线性组合总可以合并成一个带相位的正弦波。取
则由加法公式 \(\sin(\theta+\varphi) = \sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi\) 展开可得
这正是正文中所说"期望值必然是正弦函数"的准确含义：振幅 \(A\)、相位 \(\varphi\) 和垂直偏移 \(C\) 完全由初态 \(|\psi_0\rangle\)、生成元 \(G\) 和观测量 \(M\) 决定，与 \(\theta\) 无关；随 \(\theta\) 变化的只有 \(\sin(\theta+\varphi)\) 这一个因子。特别地，当 \(a=b=0\)（即 \(A=0\)）时 \(E(\theta)\) 是常数，梯度恒为零，参数无法被训练——这与"平坦损失景观"的现象一致。
3. 参数平移法则的证明¶
定理（参数平移法则） 在引理的条件下，
证明 对 \(E(\theta) = a\sin\theta + b\cos\theta + C\) 逐项求导，得
再计算平移后的两个函数值。由诱导公式 \(\sin\big(\theta+\frac{\pi}{2}\big) = \cos\theta\)、\(\sin\big(\theta-\frac{\pi}{2}\big) = -\cos\theta\)、\(\cos\big(\theta+\frac{\pi}{2}\big) = -\sin\theta\)、\(\cos\big(\theta-\frac{\pi}{2}\big) = \sin\theta\)，得
两式相减时，常数项 \(C\) 互相抵消：
证毕。用振幅–相位形式来读，这个证明说的是：\(E'(\theta) = A\cos(\theta+\varphi)\)，而 \(E(\theta\pm\frac{\pi}{2}) = \pm A\cos(\theta+\varphi) + C\)，两者恰好吻合。PSR 之所以给出的是解析梯度而非数值近似，正是因为它利用了"期望值是频率为 \(1\) 的正弦波"这一先验结构：对任意正弦型函数，其在某点的导数都等于它向前、向后各平移 \(90^\circ\) 后的函数值之差的一半。
4. 数值验证：一个完整的算例¶
下面我们构造一个可以手工算透的例子，把引理中的常数逐一算出，并在具体的一点上验证 PSR 两边相等。取生成元 \(G = X\)、观测量 \(M = Z\)，初态为
该态满足归一化条件，因为 \(\big|\frac{\sqrt3}{2}\big|^2 + \big|\frac12\big|^2 = \frac34 + \frac14 = 1\)。
先计算引理所需的初态期望值。对形如 \(\cos\alpha\,|0\rangle + e^{i\beta}\sin\alpha\,|1\rangle\) 的一般单比特态，直接把泡利矩阵与态向量相乘可以验证：
本例中 \(\alpha = \frac{\pi}{6}\)、\(\beta = \frac{\pi}{4}\)，于是
再利用两个泡利恒等式 \(XZX = -Z\) 与 \([X,Z] = -2iY\)（两者都可以用矩阵直接相乘验证），代入引理的系数公式：
因此期望值函数为
其中振幅与相位为
作为一条独立的交叉验证，我们绕开引理、直接化简海森堡绘景中的算符 \(U^\dagger Z U\)：由第 2 节第二步的展开式，
（其中 \(2cs = \sin\theta\)），于是 \(E(\theta) = \cos\theta\,\langle Z\rangle_0 + \sin\theta\,\langle Y\rangle_0\)，与引理给出的结果一致。
现在取 \(\theta = 1\) 验证 PSR。左边是解析导数：
右边是两次平移后的期望值之差的一半。利用 \(\sin(1+\frac{\pi}{2}) = \cos 1\)、\(\cos(1+\frac{\pi}{2}) = -\sin 1\)、\(\sin(1-\frac{\pi}{2}) = -\cos 1\)、\(\cos(1-\frac{\pi}{2}) = \sin 1\)，以及 \(\cos 1 \approx 0.5403\)、\(\sin 1 \approx 0.8415\)，得
两边在保留的四位小数内完全相等，PSR 在该点得到验证。顺带一提，\(E(1) \approx 0.7854\)，也可以用振幅–相位形式 \(A\sin(1+\varphi) \approx 0.7906\times\sin(1.6847) \approx 0.7854\) 复核，说明推论的形式同样正确。
5. PSR 的适用范围：哪些门可以用？¶
适用的条件：生成元恰有两个不同本征值¶
回顾第 2、3 节的证明，我们只在两处用到了生成元的性质：其一，把 \(U\) 展开为 \(\cos\frac\theta2 I - i\sin\frac\theta2 G\) 需要 \(G^2 = I\)，等价于 \(G\) 的谱（本征值集合）为 \(\{+1, -1\}\)；其二，半角换元之后函数的频率恰好为 \(1\)。把这两点一并推广，就得到最一般的适用条件。
定理（两本征值生成元的广义参数平移） 设 \(U(\theta) = e^{-i\theta G/2}\)，其中 \(G\) 是厄米算符且恰有两个不同本征值 \(\lambda_1 > \lambda_2\)。记谱隙（spectral gap）\(\Delta = \lambda_1 - \lambda_2 > 0\)，并设电路的其余部分与 \(\theta\) 无关。则
证明 记 \(\mu = \frac{\lambda_1+\lambda_2}{2}\)、\(\delta = \frac{\Delta}{2}\)，并定义 \(P = \frac{G-\mu I}{\delta}\)。由于 \(G\) 厄米，\(P\) 也厄米；\(P\) 的两个本征值为 \(\frac{\lambda_{1,2}-\mu}{\delta} = \pm 1\)，由谱分解可知 \(P^2 = I\)。又因单位矩阵与一切算符对易，指数可以拆开：
式中的标量相位 \(e^{-i\mu\theta/2}\) 在 \(E(\theta)=\langle\psi_0|U^\dagger M U|\psi_0\rangle\) 中与自身的复共轭相乘而抵消（\(U^\dagger M U = V^\dagger M V\)，其中 \(V = e^{-i(\delta\theta)P/2}\)），所以 \(E\) 只通过组合 \(t = \delta\theta\) 依赖于 \(\theta\)。把第 2 节的引理应用于生成元 \(P\)、参数 \(t\)，得
其中 \(\tilde a, \tilde b, C\) 与 \(\theta\) 无关。对上式求导，并对任意平移量 \(s\) 用和差化积公式 \(\sin(x+y)-\sin(x-y) = 2\cos x\sin y\)、\(\cos(x+y)-\cos(x-y) = -2\sin x\sin y\)，得
只要 \(\sin(\delta s) \neq 0\)，两式相除便得 \(\frac{dE}{d\theta} = \frac{\delta}{2\sin(\delta s)}\big[E(\theta+s)-E(\theta-s)\big]\)。取 \(\delta s = \frac{\pi}{2}\)，即 \(s = \frac{\pi}{2\delta} = \frac{\pi}{\Delta}\)，系数化为 \(\frac{\delta}{2} = \frac{\Delta}{4}\)。证毕。
推论（谱为 \(\pm r\) 的情形） 若 \(G\) 的本征值为 \(\pm r\)（\(r>0\)），则 \(\Delta = 2r\)，平移量为 \(\pm\frac{\pi}{2r}\)、系数为 \(\frac{r}{2}\)：
泡利生成元对应 \(r = 1\)，此时平移量为 \(\pm\frac{\pi}{2}\)、系数为 \(\frac{1}{2}\)，即标准的 PSR。常见的适用例子包括：
单比特旋转门 \(R_x(\theta) = e^{-i\theta X/2}\)、\(R_y(\theta) = e^{-i\theta Y/2}\)、\(R_z(\theta) = e^{-i\theta Z/2}\)，生成元谱均为 \(\{\pm 1\}\)，直接用标准 PSR。
两比特相互作用门 \(e^{-i\theta Z_1 Z_2/2}\)：生成元 \(Z_1 Z_2\) 的本征值为 \(\pm 1\)，标准 PSR 直接适用。
加权单比特生成元 \(e^{-i\theta(aX+bY+cZ)/2}\)（\(a,b,c\) 为不全为零的实数）：生成元是厄米无迹的 \(2\times 2\) 矩阵，其本征值为 \(\pm\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)，仍属两本征值情形，取 \(r = \sqrt{a^2+b^2+c^2}\) 即可用上式求梯度。
注意参数化约定。 平移量的具体数值依赖于我们把门写成 \(e^{-i\theta G/2}\) 还是 \(e^{-i\theta G}\)。若采用后一种约定且谱为 \(\{\pm r\}\)，则有效参数为 \(t = 2r\theta\)，同样的推导给出平移量 \(\pm\frac{\pi}{4r}\)、系数 \(r\)。两种写法在文献中都很常见，对照不同资料时务必先统一参数化约定；本教程统一采用 \(e^{-i\theta G/2}\)。
无法直接应用 PSR 的情况¶
以下类型的参数门不能直接套用标准（两项）PSR，需要额外处理。
生成元有三个及以上不同本征值。 例如三比特门 \(e^{-i\theta(Z_1Z_2 + Z_2Z_3)/2}\)：把 \(z_1z_2 + z_2z_3\) 对 \(z_i = \pm 1\) 枚举取值，可得生成元的谱为 \(\{-2, 0, +2\}\)，其两两之差有 \(2\) 和 \(4\) 两个值，因此 \(E(\theta)\) 同时含有频率 \(1\) 和频率 \(2\) 的正弦成分，任何单一平移量的两项公式都无法同时匹配两个频率。再如受控旋转 \(CR_z(\theta) = |0\rangle\langle 0|\otimes I + |1\rangle\langle 1|\otimes R_z(\theta)\)，其生成元为 \(\frac{I - Z_1}{2}\otimes\frac{Z_2}{2}\)，谱为 \(\big\{-\frac{1}{2},\, 0,\, +\frac{1}{2}\big\}\)，同样不满足两本征值条件。对这类门，标准做法是先做电路分解（例如 \(CR_z\) 可以分解为两个 CNOT 与若干个 \(R_z\)，再对每个 \(R_z\) 分别使用 PSR），或使用下面提到的推广形式。
参数化操作不是幺正的。 本附录的推导前提是参数门为幺正演化。需要说明的是，若噪声信道以与 \(\theta\) 无关的方式作用在参数门之外，则可以把它并入等效初态或等效观测量（利用信道的伴随 \(\mathrm{Tr}[\mathcal{N}(U\rho U^\dagger)M] = \mathrm{Tr}[U\rho U^\dagger\,\mathcal{N}^\dagger(M)]\)），PSR 依然成立；但若噪声进入了参数门内部（例如把参数门整体替换为含参数的噪声信道），幺正性被破坏，期望值一般不再是有限个正弦分量之和，需要另行分析。
参数以非线性方式进入。 若门的形式为 \(U(\theta) = e^{-if(\theta)G/2}\)，其中 \(f\) 是非线性函数（例如 \(f(\theta) = \theta^2\)），则 \(E(\theta) = \hat E(f(\theta))\)，其中 \(\hat E\) 是引理给出的正弦型函数。此时不能对 \(\theta\) 直接套用 PSR，但只要 \(f\) 可微且 \(f'(\theta)\) 已知，链式法则给出
\[ \frac{dE}{d\theta} = f'(\theta)\cdot\frac{1}{2}\big[\hat E(f(\theta)+\tfrac{\pi}{2}) - \hat E(f(\theta)-\tfrac{\pi}{2})\big], \]即先对中间变量 \(f(\theta)\) 使用 PSR，再乘上 \(f'(\theta)\)。
同一参数出现在多个门中（共享参数）。 设 \(\theta\) 同时出现在两个门中。把 \(E\) 看成二元函数 \(F(\theta_1, \theta_2)\)，其中 \(\theta_1\) 只进入第一个门、\(\theta_2\) 只进入第二个门，则链式法则给出 \(\frac{dE}{d\theta} = \frac{\partial F}{\partial\theta_1} + \frac{\partial F}{\partial\theta_2}\)（在 \(\theta_1 = \theta_2 = \theta\) 处取值）。固定另一个变元时，每个偏导数都对应单个被夹在中间的参数门，可分别用两项 PSR 计算。结论是：梯度等于"每次只平移一个出现位置、各做一次两项差分、再求和"。
总结表¶
门类型 |
是否可直接用 PSR |
原因 |
|---|---|---|
|
✅ |
生成元为泡利矩阵，谱为 \(\{\pm 1\}\)，平移 \(\pm\pi/2\)，系数 \(1/2\) |
\(e^{-i\theta(aX+bY+cZ)/2}\) |
✅ |
谱为 \(\{\pm r\}\)，\(r=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)，平移 \(\pm\pi/(2r)\)，系数 \(r/2\) |
\(e^{-i\theta (Z_1Z_2)/2}\) |
✅ |
生成元谱为 \(\{\pm 1\}\) |
|
⚠️ |
生成元谱为 \(\{-\frac12, 0, +\frac12\}\)；需分解为 CNOT+Rz 或用推广公式 |
\(e^{-i\theta (Z_1Z_2 + Z_2Z_3)/2}\) |
❌ |
生成元谱 \(\{-2,0,+2\}\)，谱隙不唯一，期望值含多个频率 |
\(U(\theta) = e^{-i\theta^2 Z/2}\) |
❌ |
参数非线性进入；可用链式法则补救 |
含噪声通道的参数门 |
⚠️ |
视噪声位置而定：门外的 \(\theta\) 无关噪声不影响 PSR，门内噪声破坏推导前提 |
概括地说，无法直接应用参数平移法则的参数门，是那些生成元不恰有两个本征值（例如谱为 \(\{-2,0,+2\}\) 或 \(\{-\frac12,0,+\frac12\}\)）、参数以非线性方式进入门的定义、或者参数化操作本身非幺正的门；其余情形（包括一切谱为 \(\{\pm r\}\) 的生成元）都有精确的两项平移公式可用。
好消息有两点。第一，绝大多数量子机器学习模型使用的参数化门（如 \(R_x, R_y, R_z\)）都属于可直接使用 PSR 的类型。第二，对于更复杂的情况，学术界已经发展出推广的参数平移法则（generalized parameter-shift rules），它们可能需要更多次平移或不同的平移量，但基本思想与本文相同；像 PennyLane 这样的框架会自动识别生成元的谱结构，并调用合适的梯度计算方法。
总结：实践者的启示¶
PSR 是解析梯度，不是数值近似：它的精确性源于量子门 \(e^{-i\theta G/2}\) 的数学结构——期望值关于 \(\theta\) 是频率为由生成元谱隙决定的正弦波，这保证了梯度计算的可靠性。
检查你的门：当你设计自己的含参数电路时，应确认所用参数门的生成元恰有两个本征值（绝大多数常见门都满足），否则需要分解电路或改用推广公式。
信任你的框架：在使用 PennyLane 等工具时，通常不需要手动实现 PSR。框架会自动处理梯度计算，你只需要专注于模型的设计与训练。
通过本附录的推导，我们不仅知道了如何使用 PSR，更理解了它为何精确、以及它的边界在哪里。