# 量子神经网络（附录2：参数平移法则）

## 深入探索：参数平移法则 (PSR) 的证明与适用范围

在正文中，我们介绍了参数平移法则（Parameter-Shift Rule, PSR）：只需在两个"平移后"的电路上测量期望值，就能得到关于门参数的解析梯度（analytical gradient）。本附录将给出这一法则的完整证明，并严格刻画它的适用范围。整个推导只用到矩阵欧拉公式（其推导见附录1《含参量子门与矩阵欧拉公式》）和几个基本的三角恒等式，我们对每一个等号都注明所用的依据，读者可以逐步核验。

### 1. 问题的设定：把一般电路化简为单个参数门

考虑一个含参数的量子电路，其中只有一个门 $U(\theta)$ 依赖于参数 $\theta$，其余的门与测量都与 $\theta$ 无关。为讨论方便，我们把 $\theta$ 无关的门按位置归并到电路的前段和后段，即把整个电路写成 $W(\theta) = A\,U(\theta)\,B$，其中 $A$ 和 $B$ 都是与 $\theta$ 无关的幺正算符。设输入态为 $|\psi_{\mathrm{in}}\rangle$、可观测量（observable）为 $M$，则期望值为

$$ E(\theta) = \langle\psi_{\mathrm{in}}|\, W^\dagger(\theta)\, M\, W(\theta)\, |\psi_{\mathrm{in}}\rangle = \langle\psi_0|\, U^\dagger(\theta)\, M\, U(\theta)\, |\psi_0\rangle, $$

其中第二个等号只是把 $B$ 吸收进初态、把 $A$ 吸收进观测量。具体地，代入 $W(\theta)=A\,U(\theta)\,B$ 并展开 $W^\dagger = B^\dagger U^\dagger A^\dagger$，得

$$ \langle\psi_{\mathrm{in}}|\,B^\dagger U^\dagger A^\dagger M A U B\,|\psi_{\mathrm{in}}\rangle = \big(B|\psi_{\mathrm{in}}\rangle\big)^\dagger\, U^\dagger\,\big(A^\dagger M A\big)\, U\, \big(B|\psi_{\mathrm{in}}\rangle\big), $$

因此只需取 $|\psi_0\rangle = B|\psi_{\mathrm{in}}\rangle$、并把 $A^\dagger M A$ 重新记作 $M$（它仍是厄米算符），就得到了最简形式。这一化简表明：无论参数门位于电路的什么位置、周围还有多少别的门，我们都只需要研究 $E(\theta)=\langle\psi_0|U^\dagger M U|\psi_0\rangle$ 这一种情形。

参数门本身具有如下形式：

$$ U(\theta) = e^{-i\frac{\theta}{2} G}, $$

其中 $G$ 是厄米的生成元（generator）。对于旋转门 $R_x, R_y, R_z$，生成元分别是对应的泡利矩阵 $X, Y, Z$。这些生成元满足一个关键性质：$G^2 = I$（单位矩阵）。

### 2. 核心引理：期望值是 $\theta$ 的正弦型函数

**引理（正弦响应）** 设 $G$ 与 $M$ 都是厄米算符且 $G^2 = I$，$|\psi_0\rangle$ 为任意归一化初态。记 $\langle A\rangle_0 := \langle\psi_0|A|\psi_0\rangle$，$[G,M] := GM - MG$ 为对易子（commutator）。定义 $E(\theta) = \langle\psi_0|U^\dagger(\theta) M U(\theta)|\psi_0\rangle$，其中 $U(\theta) = e^{-i\theta G/2}$。则存在与 $\theta$ 无关的实常数 $a, b, C$，使得

$$ E(\theta) = a\sin\theta + b\cos\theta + C, $$

其中

$$ a = \frac{i}{2}\langle[G,M]\rangle_0, \qquad b = \frac{1}{2}\big(\langle M\rangle_0 - \langle GMG\rangle_0\big), \qquad C = \frac{1}{2}\big(\langle M\rangle_0 + \langle GMG\rangle_0\big). $$

**证明** 分三步进行。

**第一步：把 $U(\theta)$ 展开成 $I$ 与 $G$ 的线性组合。** 由 $G^2=I$ 和矩阵欧拉公式（附录1）可得

$$ U(\theta) = \cos\frac{\theta}{2}\, I - i \sin\frac{\theta}{2}\, G. $$

对其取伴随（利用 $G^\dagger = G$ 以及 $\cos$、$\sin$ 取实数值）得

$$ U^\dagger(\theta) = \cos\frac{\theta}{2}\, I + i \sin\frac{\theta}{2}\, G. $$

为书写简洁，记 $c = \cos\frac{\theta}{2}$，$s = \sin\frac{\theta}{2}$。

**第二步：展开 $U^\dagger M U$ 并对初态取期望。** 将上面两式代入 $U^\dagger M U$，逐项相乘可得四项：

$$ U^\dagger M U = (cI + isG)\,M\,(cI - isG) = c^2 M - ics\, MG + ics\, GM + s^2\, GMG. $$

四项的来源分别是：$cI \cdot M \cdot cI = c^2 M$；$cI \cdot M \cdot (-isG) = -ics\,MG$；$(isG)\cdot M \cdot cI = ics\,GM$；$(isG)\cdot M\cdot(-isG) = (i)(-i)\,s^2 GMG = s^2\,GMG$，最后一步用了 $i\cdot(-i) = -i^2 = 1$。把中间两项合并为对易子，得到

$$ U^\dagger M U = c^2 M + ics\,[G,M] + s^2\, GMG, $$

于是

$$ E(\theta) = c^2 \langle M\rangle_0 + ics\,\langle[G,M]\rangle_0 + s^2 \langle GMG\rangle_0. $$

**第三步：用半角恒等式把 $\theta/2$ 的函数改写为 $\theta$ 的函数。** 所需的三个恒等式为

$$ \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos\theta}{2}, \qquad \sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{2}, \qquad \sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{2}, $$

它们都可由倍角公式 $\cos\theta = \cos^2\frac\theta2 - \sin^2\frac\theta2$ 与 $\sin\theta = 2\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2$ 直接得到。先处理含 $\cos^2$、$\sin^2$ 的两项：

$$ c^2\langle M\rangle_0 + s^2\langle GMG\rangle_0 = \frac{1+\cos\theta}{2}\langle M\rangle_0 + \frac{1-\cos\theta}{2}\langle GMG\rangle_0 = \frac{\langle M\rangle_0 + \langle GMG\rangle_0}{2} + \frac{\cos\theta}{2}\big(\langle M\rangle_0 - \langle GMG\rangle_0\big). $$

再处理交叉项：

$$ ics\,\langle[G,M]\rangle_0 = \frac{i}{2}\,\langle[G,M]\rangle_0\,\sin\theta. $$

把三部分按常数项、$\cos\theta$ 项、$\sin\theta$ 项归拢，即得

$$ E(\theta) = C + b\cos\theta + a\sin\theta, $$

其中 $a = \frac{i}{2}\langle[G,M]\rangle_0$、$b = \frac{1}{2}\big(\langle M\rangle_0 - \langle GMG\rangle_0\big)$、$C = \frac{1}{2}\big(\langle M\rangle_0 + \langle GMG\rangle_0\big)$。

最后我们说明这三个系数都是实数，且与 $\theta$ 无关。先看实数性：$M$ 是厄米的，而 $GMG$ 的伴随为 $G^\dagger M^\dagger G^\dagger = GMG$，故它也是厄米的，因此 $\langle M\rangle_0$ 与 $\langle GMG\rangle_0$ 都是实数，从而 $b, C\in\mathbb{R}$。再看 $a$：对易子满足

$$ [G,M]^\dagger = (GM - MG)^\dagger = M^\dagger G^\dagger - G^\dagger M^\dagger = MG - GM = -[G,M], $$

即 $[G,M]$ 是反厄米的，因此 $i[G,M]$ 是厄米算符，其期望值 $\langle i[G,M]\rangle_0$ 是实数，故 $a\in\mathbb{R}$。至于与 $\theta$ 无关这一点：$a, b, C$ 的构造只涉及固定初态 $|\psi_0\rangle$ 上固定算符 $M$、$GMG$、$i[G,M]$ 的期望值，不含任何 $\theta$。证毕。

**推论（振幅–相位形式）** 实系数的正弦与余弦的线性组合总可以合并成一个带相位的正弦波。取

$$ A = \sqrt{a^2+b^2} \ \ge 0, \qquad \cos\varphi = \frac{a}{A}, \quad \sin\varphi = \frac{b}{A} \quad \Big(\text{即 } \varphi = \operatorname{atan2}(b,\,a)\Big), $$

则由加法公式 $\sin(\theta+\varphi) = \sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi$ 展开可得

$$ E(\theta) = A\sin(\theta+\varphi) + C. $$

这正是正文中所说"期望值必然是正弦函数"的准确含义：振幅 $A$、相位 $\varphi$ 和垂直偏移 $C$ 完全由初态 $|\psi_0\rangle$、生成元 $G$ 和观测量 $M$ 决定，与 $\theta$ 无关；随 $\theta$ 变化的只有 $\sin(\theta+\varphi)$ 这一个因子。特别地，当 $a=b=0$（即 $A=0$）时 $E(\theta)$ 是常数，梯度恒为零，参数无法被训练——这与"平坦损失景观"的现象一致。

### 3. 参数平移法则的证明

**定理（参数平移法则）** 在引理的条件下，

$$ \frac{dE(\theta)}{d\theta} = \frac{1}{2}\left[E\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) - E\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)\right]. $$

**证明** 对 $E(\theta) = a\sin\theta + b\cos\theta + C$ 逐项求导，得

$$ \frac{dE}{d\theta} = a\cos\theta - b\sin\theta. $$

再计算平移后的两个函数值。由诱导公式 $\sin\big(\theta+\frac{\pi}{2}\big) = \cos\theta$、$\sin\big(\theta-\frac{\pi}{2}\big) = -\cos\theta$、$\cos\big(\theta+\frac{\pi}{2}\big) = -\sin\theta$、$\cos\big(\theta-\frac{\pi}{2}\big) = \sin\theta$，得

$$ E\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) = a\cos\theta - b\sin\theta + C, \qquad\qquad E\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right) = -a\cos\theta + b\sin\theta + C. $$

两式相减时，常数项 $C$ 互相抵消：

$$ \frac{1}{2}\left[E\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) - E\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)\right] = \frac{1}{2}\cdot 2\big(a\cos\theta - b\sin\theta\big) = a\cos\theta - b\sin\theta = \frac{dE}{d\theta}. $$

证毕。用振幅–相位形式来读，这个证明说的是：$E'(\theta) = A\cos(\theta+\varphi)$，而 $E(\theta\pm\frac{\pi}{2}) = \pm A\cos(\theta+\varphi) + C$，两者恰好吻合。PSR 之所以给出的是解析梯度而非数值近似，正是因为它利用了"期望值是频率为 $1$ 的正弦波"这一先验结构：对任意正弦型函数，其在某点的导数都等于它向前、向后各平移 $90^\circ$ 后的函数值之差的一半。

### 4. 数值验证：一个完整的算例

下面我们构造一个可以手工算透的例子，把引理中的常数逐一算出，并在具体的一点上验证 PSR 两边相等。取生成元 $G = X$、观测量 $M = Z$，初态为

$$ |\psi_0\rangle = \frac{\sqrt{3}}{2}\,|0\rangle + \frac{1}{2}\,e^{i\pi/4}\,|1\rangle. $$

该态满足归一化条件，因为 $\big|\frac{\sqrt3}{2}\big|^2 + \big|\frac12\big|^2 = \frac34 + \frac14 = 1$。

先计算引理所需的初态期望值。对形如 $\cos\alpha\,|0\rangle + e^{i\beta}\sin\alpha\,|1\rangle$ 的一般单比特态，直接把泡利矩阵与态向量相乘可以验证：

$$ \langle Z\rangle_0 = \cos 2\alpha, \qquad \langle X\rangle_0 = \sin 2\alpha\cos\beta, \qquad \langle Y\rangle_0 = \sin 2\alpha\sin\beta. $$

本例中 $\alpha = \frac{\pi}{6}$、$\beta = \frac{\pi}{4}$，于是

$$ \langle Z\rangle_0 = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \qquad \langle Y\rangle_0 = \sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt6}{4} \approx 0.6124. $$

再利用两个泡利恒等式 $XZX = -Z$ 与 $[X,Z] = -2iY$（两者都可以用矩阵直接相乘验证），代入引理的系数公式：

$$ a = \frac{i}{2}\langle[X,Z]\rangle_0 = \frac{i}{2}\,(-2i)\,\langle Y\rangle_0 = \langle Y\rangle_0 = \frac{\sqrt6}{4}, $$

$$ b = \frac{\langle Z\rangle_0 - \langle XZX\rangle_0}{2} = \frac{\langle Z\rangle_0 - (-\langle Z\rangle_0)}{2} = \langle Z\rangle_0 = \frac{1}{2}, \qquad C = \frac{\langle Z\rangle_0 + \langle XZX\rangle_0}{2} = \frac{\langle Z\rangle_0 - \langle Z\rangle_0}{2} = 0. $$

因此期望值函数为

$$ E(\theta) = \frac{\sqrt6}{4}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta = A\sin(\theta+\varphi), $$

其中振幅与相位为

$$ A = \sqrt{\frac{6}{16}+\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{4} \approx 0.7906, \qquad \varphi = \operatorname{atan2}\!\left(\frac{1}{2},\,\frac{\sqrt6}{4}\right) \approx 0.6847\ \text{rad} \approx 39.2^\circ. $$

作为一条独立的交叉验证，我们绕开引理、直接化简海森堡绘景中的算符 $U^\dagger Z U$：由第 2 节第二步的展开式，

$$ U^\dagger Z U = \cos^2\frac{\theta}{2}\,Z + ics\,[X,Z] + \sin^2\frac{\theta}{2}\,(XZX) = \Big(\cos^2\frac{\theta}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}\Big)Z + ics\,(-2iY) = \cos\theta\,Z + \sin\theta\,Y, $$

（其中 $2cs = \sin\theta$），于是 $E(\theta) = \cos\theta\,\langle Z\rangle_0 + \sin\theta\,\langle Y\rangle_0$，与引理给出的结果一致。

现在取 $\theta = 1$ 验证 PSR。左边是解析导数：

$$ \frac{dE}{d\theta}\bigg|_{\theta=1} = \frac{\sqrt6}{4}\cos 1 - \frac{1}{2}\sin 1 \approx 0.6124\times 0.5403 - 0.5\times 0.8415 \approx -0.0899. $$

右边是两次平移后的期望值之差的一半。利用 $\sin(1+\frac{\pi}{2}) = \cos 1$、$\cos(1+\frac{\pi}{2}) = -\sin 1$、$\sin(1-\frac{\pi}{2}) = -\cos 1$、$\cos(1-\frac{\pi}{2}) = \sin 1$，以及 $\cos 1 \approx 0.5403$、$\sin 1 \approx 0.8415$，得

$$ E\left(1+\frac{\pi}{2}\right) \approx 0.6124\times 0.5403 + 0.5\times(-0.8415) \approx -0.0899, $$

$$ E\left(1-\frac{\pi}{2}\right) \approx 0.6124\times(-0.5403) + 0.5\times 0.8415 \approx +0.0899, $$

$$ \frac{1}{2}\left[E\left(1+\frac{\pi}{2}\right) - E\left(1-\frac{\pi}{2}\right)\right] \approx \frac{1}{2}\big(-0.0899 - 0.0899\big) = -0.0899. $$

两边在保留的四位小数内完全相等，PSR 在该点得到验证。顺带一提，$E(1) \approx 0.7854$，也可以用振幅–相位形式 $A\sin(1+\varphi) \approx 0.7906\times\sin(1.6847) \approx 0.7854$ 复核，说明推论的形式同样正确。

### 5. PSR 的适用范围：哪些门可以用？

#### 适用的条件：生成元恰有两个不同本征值

回顾第 2、3 节的证明，我们只在两处用到了生成元的性质：其一，把 $U$ 展开为 $\cos\frac\theta2 I - i\sin\frac\theta2 G$ 需要 $G^2 = I$，等价于 $G$ 的谱（本征值集合）为 $\{+1, -1\}$；其二，半角换元之后函数的频率恰好为 $1$。把这两点一并推广，就得到最一般的适用条件。

**定理（两本征值生成元的广义参数平移）** 设 $U(\theta) = e^{-i\theta G/2}$，其中 $G$ 是厄米算符且恰有两个不同本征值 $\lambda_1 > \lambda_2$。记谱隙（spectral gap）$\Delta = \lambda_1 - \lambda_2 > 0$，并设电路的其余部分与 $\theta$ 无关。则

$$ \frac{\partial E}{\partial\theta} = \frac{\Delta}{4}\left[E\left(\theta+\frac{\pi}{\Delta}\right) - E\left(\theta-\frac{\pi}{\Delta}\right)\right]. $$

**证明** 记 $\mu = \frac{\lambda_1+\lambda_2}{2}$、$\delta = \frac{\Delta}{2}$，并定义 $P = \frac{G-\mu I}{\delta}$。由于 $G$ 厄米，$P$ 也厄米；$P$ 的两个本征值为 $\frac{\lambda_{1,2}-\mu}{\delta} = \pm 1$，由谱分解可知 $P^2 = I$。又因单位矩阵与一切算符对易，指数可以拆开：

$$ U(\theta) = e^{-i\theta(\mu I + \delta P)/2} = e^{-i\mu\theta/2}\, e^{-i(\delta\theta)P/2}. $$

式中的标量相位 $e^{-i\mu\theta/2}$ 在 $E(\theta)=\langle\psi_0|U^\dagger M U|\psi_0\rangle$ 中与自身的复共轭相乘而抵消（$U^\dagger M U = V^\dagger M V$，其中 $V = e^{-i(\delta\theta)P/2}$），所以 $E$ 只通过组合 $t = \delta\theta$ 依赖于 $\theta$。把第 2 节的引理应用于生成元 $P$、参数 $t$，得

$$ E(\theta) = \tilde a\sin(\delta\theta) + \tilde b\cos(\delta\theta) + C, $$

其中 $\tilde a, \tilde b, C$ 与 $\theta$ 无关。对上式求导，并对任意平移量 $s$ 用和差化积公式 $\sin(x+y)-\sin(x-y) = 2\cos x\sin y$、$\cos(x+y)-\cos(x-y) = -2\sin x\sin y$，得

$$ \frac{dE}{d\theta} = \delta\big[\tilde a\cos(\delta\theta) - \tilde b\sin(\delta\theta)\big], \qquad\qquad E(\theta+s)-E(\theta-s) = 2\sin(\delta s)\big[\tilde a\cos(\delta\theta) - \tilde b\sin(\delta\theta)\big]. $$

只要 $\sin(\delta s) \neq 0$，两式相除便得 $\frac{dE}{d\theta} = \frac{\delta}{2\sin(\delta s)}\big[E(\theta+s)-E(\theta-s)\big]$。取 $\delta s = \frac{\pi}{2}$，即 $s = \frac{\pi}{2\delta} = \frac{\pi}{\Delta}$，系数化为 $\frac{\delta}{2} = \frac{\Delta}{4}$。证毕。

**推论（谱为 $\pm r$ 的情形）** 若 $G$ 的本征值为 $\pm r$（$r>0$），则 $\Delta = 2r$，平移量为 $\pm\frac{\pi}{2r}$、系数为 $\frac{r}{2}$：

$$ \frac{\partial E}{\partial\theta} = \frac{r}{2}\left[E\left(\theta+\frac{\pi}{2r}\right) - E\left(\theta-\frac{\pi}{2r}\right)\right]. $$

泡利生成元对应 $r = 1$，此时平移量为 $\pm\frac{\pi}{2}$、系数为 $\frac{1}{2}$，即标准的 PSR。常见的适用例子包括：

- 单比特旋转门 $R_x(\theta) = e^{-i\theta X/2}$、$R_y(\theta) = e^{-i\theta Y/2}$、$R_z(\theta) = e^{-i\theta Z/2}$，生成元谱均为 $\{\pm 1\}$，直接用标准 PSR。
- 两比特相互作用门 $e^{-i\theta Z_1 Z_2/2}$：生成元 $Z_1 Z_2$ 的本征值为 $\pm 1$，标准 PSR 直接适用。
- 加权单比特生成元 $e^{-i\theta(aX+bY+cZ)/2}$（$a,b,c$ 为不全为零的实数）：生成元是厄米无迹的 $2\times 2$ 矩阵，其本征值为 $\pm\sqrt{a^2+b^2+c^2}$，仍属两本征值情形，取 $r = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$ 即可用上式求梯度。

**注意参数化约定。** 平移量的具体数值依赖于我们把门写成 $e^{-i\theta G/2}$ 还是 $e^{-i\theta G}$。若采用后一种约定且谱为 $\{\pm r\}$，则有效参数为 $t = 2r\theta$，同样的推导给出平移量 $\pm\frac{\pi}{4r}$、系数 $r$。两种写法在文献中都很常见，对照不同资料时务必先统一参数化约定；本教程统一采用 $e^{-i\theta G/2}$。

#### 无法直接应用 PSR 的情况

以下类型的参数门不能直接套用标准（两项）PSR，需要额外处理。

1. **生成元有三个及以上不同本征值。** 例如三比特门 $e^{-i\theta(Z_1Z_2 + Z_2Z_3)/2}$：把 $z_1z_2 + z_2z_3$ 对 $z_i = \pm 1$ 枚举取值，可得生成元的谱为 $\{-2, 0, +2\}$，其两两之差有 $2$ 和 $4$ 两个值，因此 $E(\theta)$ 同时含有频率 $1$ 和频率 $2$ 的正弦成分，任何单一平移量的两项公式都无法同时匹配两个频率。再如受控旋转 $CR_z(\theta) = |0\rangle\langle 0|\otimes I + |1\rangle\langle 1|\otimes R_z(\theta)$，其生成元为 $\frac{I - Z_1}{2}\otimes\frac{Z_2}{2}$，谱为 $\big\{-\frac{1}{2},\, 0,\, +\frac{1}{2}\big\}$，同样不满足两本征值条件。对这类门，标准做法是先做电路分解（例如 $CR_z$ 可以分解为两个 CNOT 与若干个 $R_z$，再对每个 $R_z$ 分别使用 PSR），或使用下面提到的推广形式。

2. **参数化操作不是幺正的。** 本附录的推导前提是参数门为幺正演化。需要说明的是，若噪声信道以与 $\theta$ 无关的方式作用在参数门之外，则可以把它并入等效初态或等效观测量（利用信道的伴随 $\mathrm{Tr}[\mathcal{N}(U\rho U^\dagger)M] = \mathrm{Tr}[U\rho U^\dagger\,\mathcal{N}^\dagger(M)]$），PSR 依然成立；但若噪声进入了参数门内部（例如把参数门整体替换为含参数的噪声信道），幺正性被破坏，期望值一般不再是有限个正弦分量之和，需要另行分析。

3. **参数以非线性方式进入。** 若门的形式为 $U(\theta) = e^{-if(\theta)G/2}$，其中 $f$ 是非线性函数（例如 $f(\theta) = \theta^2$），则 $E(\theta) = \hat E(f(\theta))$，其中 $\hat E$ 是引理给出的正弦型函数。此时不能对 $\theta$ 直接套用 PSR，但只要 $f$ 可微且 $f'(\theta)$ 已知，链式法则给出

   $$ \frac{dE}{d\theta} = f'(\theta)\cdot\frac{1}{2}\big[\hat E(f(\theta)+\tfrac{\pi}{2}) - \hat E(f(\theta)-\tfrac{\pi}{2})\big], $$

   即先对中间变量 $f(\theta)$ 使用 PSR，再乘上 $f'(\theta)$。

4. **同一参数出现在多个门中（共享参数）。** 设 $\theta$ 同时出现在两个门中。把 $E$ 看成二元函数 $F(\theta_1, \theta_2)$，其中 $\theta_1$ 只进入第一个门、$\theta_2$ 只进入第二个门，则链式法则给出 $\frac{dE}{d\theta} = \frac{\partial F}{\partial\theta_1} + \frac{\partial F}{\partial\theta_2}$（在 $\theta_1 = \theta_2 = \theta$ 处取值）。固定另一个变元时，每个偏导数都对应单个被夹在中间的参数门，可分别用两项 PSR 计算。结论是：梯度等于"每次只平移一个出现位置、各做一次两项差分、再求和"。

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#### 总结表

| 门类型 | 是否可直接用 PSR | 原因 |
|:--------------------------|:----------------:|:------------------------------|
| `Rx(θ), Ry(θ), Rz(θ)` | ✅ | 生成元为泡利矩阵，谱为 $\{\pm 1\}$，平移 $\pm\pi/2$，系数 $1/2$ |
| $e^{-i\theta(aX+bY+cZ)/2}$ | ✅ | 谱为 $\{\pm r\}$，$r=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$，平移 $\pm\pi/(2r)$，系数 $r/2$ |
| $e^{-i\theta (Z_1Z_2)/2}$ | ✅ | 生成元谱为 $\{\pm 1\}$ |
| `CRz(θ)`（受控旋转） | ⚠️ | 生成元谱为 $\{-\frac12, 0, +\frac12\}$；需分解为 CNOT+Rz 或用推广公式 |
| $e^{-i\theta (Z_1Z_2 + Z_2Z_3)/2}$ | ❌ | 生成元谱 $\{-2,0,+2\}$，谱隙不唯一，期望值含多个频率 |
| $U(\theta) = e^{-i\theta^2 Z/2}$ | ❌ | 参数非线性进入；可用链式法则补救 |
| 含噪声通道的参数门 | ⚠️ | 视噪声位置而定：门外的 $\theta$ 无关噪声不影响 PSR，门内噪声破坏推导前提 |

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概括地说，无法直接应用参数平移法则的参数门，是那些**生成元不恰有两个本征值**（例如谱为 $\{-2,0,+2\}$ 或 $\{-\frac12,0,+\frac12\}$）、**参数以非线性方式进入门的定义**、或者**参数化操作本身非幺正**的门；其余情形（包括一切谱为 $\{\pm r\}$ 的生成元）都有精确的两项平移公式可用。

好消息有两点。第一，绝大多数量子机器学习模型使用的参数化门（如 $R_x, R_y, R_z$）都属于可直接使用 PSR 的类型。第二，对于更复杂的情况，学术界已经发展出**推广的参数平移法则**（generalized parameter-shift rules），它们可能需要更多次平移或不同的平移量，但基本思想与本文相同；像 PennyLane 这样的框架会自动识别生成元的谱结构，并调用合适的梯度计算方法。

## 总结：实践者的启示

- **PSR 是解析梯度，不是数值近似**：它的精确性源于量子门 $e^{-i\theta G/2}$ 的数学结构——期望值关于 $\theta$ 是频率为由生成元谱隙决定的正弦波，这保证了梯度计算的可靠性。
- **检查你的门**：当你设计自己的含参数电路时，应确认所用参数门的生成元恰有两个本征值（绝大多数常见门都满足），否则需要分解电路或改用推广公式。
- **信任你的框架**：在使用 PennyLane 等工具时，通常不需要手动实现 PSR。框架会自动处理梯度计算，你只需要专注于模型的设计与训练。

通过本附录的推导，我们不仅知道了如何使用 PSR，更理解了它为何精确、以及它的边界在哪里。