量子数据编码详解：从角度编码到数据重上传¶

前置阅读：量子神经网络（第 2 章）。本篇是第 8 章的"地基"：VQE/QAOA 之外的一切 QML 模型，先要回答"经典数据怎么进量子态"。

课程目标：

掌握四种主流编码（基编码、角度编码、振幅编码、数据重上传）的线路形态、比特数与线路深度权衡。
理解"编码决定模型"的定量刻画：线路即傅里叶级数（Schuld–Sweke–Meyer 2021）——数据门的生成元谱决定模型能表达的频率。
认识编码的容量极限：单层编码的表达力瓶颈、$O(2^n)$ 参数 vs 数据维度的计数论证。
为下一章量子核方法做好准备：特征映射 $\phi(x)$ 与由编码诱导的核 $k(x,x')$。
了解数据加载瓶颈与 QRAM 背景，理解"编码成本必须算进 QML 的账"。

1. 问题：$\mathbb R^d \to$ 希尔伯特空间¶

经典机器学习的数据是 $\boldsymbol x \in \mathbb R^d$（或离散特征）。量子模型的第一步是选择一个特征映射 (feature map)

\[ \boldsymbol x \;\mapsto\; |\phi(\boldsymbol x)\rangle \in \mathcal H, \qquad U_\phi(\boldsymbol x)|0\rangle^{\otimes n} = |\phi(\boldsymbol x)\rangle, \]

并把"训练"交给参数化线路（第 2 章）。编码方式的选择不是实现细节——它决定了模型的假设空间、表达力上限与核结构。四种主流方案画像如下。

基编码 (basis encoding)：把比特串 $\boldsymbol x \in \{0,1\}^n$ 直接当计算基矢 $|\boldsymbol x\rangle$。适合离散/二值数据；量子优势的叙事里最少被用到（无非是"指针态"）。

角度编码 (angle encoding)：每个特征转一个旋转门，$|\phi(\boldsymbol x)\rangle = \bigotimes_{i=1}^{d} R_\sigma(x_i)|0\rangle$（$\sigma \in \{X,Y,Z\}$，必要时每特征两角 $R_\phi(x_{2i})R_\theta(x_{2i+1})$）。$n = d$ 个比特、深度 $O(1)$——最便宜、NISQ 标配。代价：每个量子比特只装一个（或两个）标量，且不做多次重上传时表达力受限（见第 3 节）。

振幅编码 (amplitude encoding)：把归一化向量当振幅，$|\phi\rangle = \sum_{j=0}^{2^n-1} x_j |j\rangle$（需 $\|\boldsymbol x\|_2 = 1$）。$n = \log_2 d$ 个比特装下 $d$ 维数据——账面上最省。代价：制备线路一般需要 $O(2^n)$ 级深度（除非数据有结构），"省比特、费门"；且振幅对数据扰动更敏感。第 7 章量子态制备讨论的就是它的制备成本。

数据重上传 (data re-uploading, Pérez–Salas 等 2018)：同一特征 $x$ 在线路多处重复编码：$U(\boldsymbol x,\boldsymbol\theta) = \prod_{\ell=1}^{L} \big[W_\ell(\boldsymbol\theta)\, V_\ell(\boldsymbol x)\big]$，$V_\ell$ 是特征旋转、$W_\ell$ 是可训练酉。动机与能力见第 3 节的计数论证与傅里叶视角——它是"表达力不足"的标准解药，代价是深度线性增长，且要注意与贫瘠高原的深度-可训练性权衡。

编码	比特数	深度	特点
基编码	$n = $ 数据长	$O(1)$（若可并行制备）	离散数据；本质是"指针"
角度编码	$n = d$	$O(1)$	NISQ 标配；表达力靠后两层补
振幅编码	$n = \log_2 d$	$O(d)$（一般）	省比特费门；制备即瓶颈
数据重上传	$\ge\! \log d$ 可灵活	$O(L)$	表达力强；深度/高原风险

2. 线路即傅里叶级数：编码决定模型能说什么¶

考虑最纯粹的"数据仅进入旋转角"的线路：$U(\boldsymbol x) = \prod_j e^{i x_j H_j}$（$H_j$ 是生成元，如 $Z$ 或 $ZZ$；可训练酉夹在中间），输出观测量 $f(\boldsymbol x) = \langle 0|U^\dagger(\boldsymbol x)\,M\,U(\boldsymbol x)|0\rangle$。Schuld–Sweke–Meyer (2021) 的结论：

$f(\boldsymbol x)$ 是每个变量 $x_j$ 的多元三角多项式，其可达频率集合由生成元谱间隔决定： $$ f(\boldsymbol x) = \sum_{\boldsymbol\omega \in \Omega} c_{\boldsymbol\omega}\, e^{i\boldsymbol\omega\cdot \boldsymbol x}, \qquad \Omega \subseteq \{\text{生成元谱差的整系数组合}\}. $$

例证：单比特 $R_Z(x)$ 生成元谱 $\{+1,-1\}$、间隔 2，模型频率 $\Omega \subseteq \{0, \pm1\}$ 乘重上传次数 $L$ 后 $\subseteq \{0, \pm1, \ldots, \pm L\}$——重上传 = 拉宽频带。若生成元是 $ZZ$（间隔 2）与 $Z$（间隔 2），频带结构相同；若引入 $R_Z(\pi x)$ 之类的缩放，频率整体乘 $\pi$。

这给了三条硬结论：

模型的假设空间在编码那一刻就定了：可训练参数只决定系数 $c_\boldsymbol\omega$，不能创造新频率。拟合高频函数（如快速振荡决策边界）必须靠重上传/缩放/深线路扩频带。
生成元谱是设计旋钮：换一组生成元（$X$ vs $ZZ$ vs 更高权重的泡利串）等于换频谱结构；"频率资源"与"门开销"在此直接挂钩。
过简编码的失败可预言：单层单比特角度编码只能学 $\sin/\cos$ 一阶纹波——很多"QML 不管用"的实验报告，败因在编码而不在优化器。

3. 容量与计数：重上传为什么是解药¶

计数论证（Schuld–Sweke–Meyer 同文）：单份编码（每个 $x_j$ 只出现一次）的模型系数自由度只有 $O(\mathrm{poly})$ 量级，而一般 $n$ 比特观测量需要 $O(4^n)$ 个实参数描述。数据重上传让 $x$ 出现 $L$ 次，频率集合扩张到 $\Omega \sim \{-L,\ldots,L\}^{d}$，系数个数随之指数化（对固定 $d$）。配合 Pérez–Salas 的表达力定理（含重上传的通用近似：足够层数的单比特重上传线路可逼近任意单比特函数），重上传成为"小系统上表达力/深度折中"的标准答案。

与第 2 章贫瘠高原的联动必须写进设计文档：重上传增加深度 $\to$ 逼近 2-设计 $\to$ 梯度方差指数缩水。实务折中：$L = O(\mathrm{poly})$ 小深度重上传 + 局部代价函数 + 恒等初始化。

4. 编码诱导的核：通往量子核方法¶

对任意编码 $U_\phi(\boldsymbol x)$，定义

\[ k(\boldsymbol x, \boldsymbol x') \;=\; \big|\langle 0| U_\dagger^\dagger(\boldsymbol x')\, U_\phi(\boldsymbol x) |0\rangle\big|^2 \quad (\text{或其不去模方的投影核版本}). \]

$k$ 是正定核（可由构造验证），于是每个编码天然定义一个 RKHS 与一个核方法模型——这正是下一篇文章的主角。此处只强调因果链：编码 $\to$ 核 $\to$ 模型的归纳偏置。例如角度编码下，$k$ 随 $|\boldsymbol x - \boldsymbol x'|$ 以 $\cos$ 型纹波衰减，纹波频率又是生成元谱——傅里叶视角与核视角在"频率"处会师。

5. 数据加载的现实：QML 的账要算全¶

把 $d$ 维经典数据装进量子态，一般性制备成本 $O(d)$ 起步（振幅编码的下界即排序网络的规模量级）。这带来 QML 文献反复争论的"输入瓶颈"：

若每条样本都要 $O(d)$ 经典工作来加载，任何对样本量的亚线性改进都会被输入成本吞掉。理论上的出路是量子原生数据（数据本来就在量子态里：量子传感、量子模拟的输出）或 QRAM 式结构化加载（第 7 章 QRAM）。
设计规范：报告 QML 复杂度时单列数据加载成本（"假设数据已在振幅中"与"含加载"是两个命题），并把编码选型与数据规模一起陈述——这是审稿与复现的第一道门槛。

本课总结¶

四种编码的画像：基（指针）、角度（$n=d$、浅、NISQ 标配）、振幅（$\log d$ 比特、制备贵）、重上传（表达力换深度）。
线路即傅里叶级数：生成元谱决定可达频率，参数只调系数不扩频带；重上传/缩放/深线路是扩频带的三种手段。
容量计数解释单层编码的表达力天花板与重上传的必要性；深度换表达力要过贫瘠高原的关卡。
每个编码诱导正定核 $k(x,x')$，编码设计 = 核设计的另一种说法（下篇展开）。
数据加载成本必须进账：量子原生数据或 QRAM 是绕开输入瓶颈的两条正路。

习题¶

频谱手算：$U(x) = R_Z(x)\cdot W\cdot R_Z(x)$（$W$ 为固定酉），证明输出 $\langle Z\rangle$ 是 $\{0,\pm1,\pm2\}$ 频率的三角多项式；再证明把第二个门换成 $R_Z(3x)$ 后频率集合变为 $\{0,\pm1,\pm2,\pm3,\pm4\}$ 的子集。
显式核：计算角度编码 $\phi(x) = R_Y(x)|0\rangle$ 的核 $k(x,x') = |\langle\phi(x)|\phi(x')\rangle|^2$，画出 $k$ 随 $\Delta = x - x'$ 的图像并说明其"相似度"语义（$\Delta$ 多大时两样本在核眼中"最不相似"？）。
重上传实验：用 1 个量子比特、$L$ 层重上传拟合 $f^\star(x) = \sin(3x) + \cos(5x)/2$（$x \in [0, 2\pi]$），扫描 $L = 1, \ldots, 8$ 的训练误差，验证频带扩张与拟合成功的关系。
论证题：证明振幅编码的任意态制备需要 $\Omega(d)$ 级基本门（提示：参数计数/维度论证即可），并讨论为什么"数据有结构"（稀疏、低秩、树状）是唯一的逃逸通道。

编码	比特数	深度	特点
基编码	\(n = \) 数据长	\(O(1)\)（若可并行制备）	离散数据；本质是"指针"
角度编码	\(n = d\)	\(O(1)\)	NISQ 标配；表达力靠后两层补
振幅编码	\(n = \log_2 d\)	\(O(d)\)（一般）	省比特费门；制备即瓶颈
数据重上传	\(\ge\! \log d\) 可灵活	\(O(L)\)	表达力强；深度/高原风险