施密特分解

任何二分纯态 $|\psi ⟩\in {\mathcal{H}}_A\otimes {\mathcal{H}}_B$ 都可以写成

$|\psi ⟩={\sum }_{i=1}^r\sqrt{p_i}|u_i{⟩}_A|v_i{⟩}_B,p_i>0,{\sum }_i{p}_i=1,$

其中 $\{|u_i⟩\}$、$\{|v_i⟩\}$ 分别是 $A$、$B$ 空间的正交基。这就是施密特分解；$r$ 称为 Schmidt 秩，$\{p_i\}$ 称为 Schmidt 系数。

要点

• 纠缠判据：$|\psi ⟩$ 可分（非纠缠）$⟺r=1$。$r\ge 2$ 即纠缠，纠缠熵为 $-{\sum }_i{p}_i\log p_i$。
• Schmidt 系数恰为约化密度矩阵的本征值：${\rho }_A={\sum }_i{p}_i|u_i⟩⟨u_i|$，两种语言完全等价。
• 最大纠缠（如 Bell 态）对应 $p_1=p_2=1/2$；完全可分对应单个 $p_1=1$。
• 纯化（purification）是其对偶构造：任何混合态都可视为更大系统上某个纯态的约化，这是密度矩阵与纯态语言互换的桥梁，在量子信息理论（如量子半定规划的对偶分析）中常用。

关联词条

• 概念：约化密度矩阵、纠缠、张量积

取材：量子力学的基本概念。

参考文献

• Nielsen & Chuang.《量子计算与量子信息》第 2 章（Schmidt 分解，§2.5）.
• J. Watrous. The Theory of Quantum Information. Cambridge University Press (2018).