希尔伯特空间

希尔伯特空间（Hilbert space）是配备内积的复向量空间，量子力学用它作为量子态的舞台：每个（纯）态是其中的单位向量，内积 $⟨\varphi |\psi ⟩$ 的模方给出两态的接近程度、也给出测量概率。

要点

• $n$ 个量子比特的空间是 ${\mathbb{C}}^{2^n}$：维数随比特数指数增长。$50$ 个比特已是 $2^{50}\approx 10^{15}$ 维，经典模拟因此不可行。
• 指数大的维数是一把双刃剑：一方面容纳了量子算法的状态空间（量子并行性），另一方面使随机态几乎必然两两正交、泛函取值高度集中——贫瘠高原与量子核的指数集中都是这一”集中测度”现象的表现。
• 复合系统的空间由张量积构造，而非直和；这是维数相乘（而非相加）的原因。

关联词条

• 概念：张量积、叠加态、纯态与混合态
• 算法：量子机器学习算法谱系 中高维几何视角的反复出现

取材：量子力学的基本概念、量子计算概述。

参考文献

• J. J. Sakurai, J. Napolitano.《现代量子力学》第 1 章（希尔伯特空间）.
• Nielsen & Chuang.《量子计算与量子信息》第 2 章（量子力学的数学结构）.