约化密度矩阵与偏迹

对复合系统 $AB$ 的密度矩阵 ${\rho }_{AB}$，子系统 $A$ 的约化密度矩阵由偏迹定义：

${\rho }_A={\mathrm{Tr}}_B{\rho }_{AB}={\sum }_b(I\otimes ⟨b|){\rho }_{AB}(I\otimes |b⟩),$

它给出仅触碰 $A$ 的任何量子测量的全部统计。

要点

• 直积态的偏迹回到因子：${\rho }_{AB}={\rho }_A\otimes {\rho }_B\Rightarrow {\mathrm{Tr}}_B{\rho }_{AB}={\rho }_A$。
• Bell 态的约化是 $I/2$：局部完全随机而整体完全确定，说明局部态丢失的信息正是纠缠；对纯态，约化密度矩阵的冯·诺依曼熵（熵测量）就是纠缠熵。
• 施密特分解与约化谱一一对应：约化本征值即 Schmidt 系数平方。
• 噪声分析：环境 $E$ 与系统 $S$ 纠缠后，${\rho }_S={\mathrm{Tr}}_E{\rho }_{SE}$ 通常变为混合态——退相干的规范描述。

关联词条

• 概念：密度矩阵、施密特分解、纠缠
• 算法：经典影子的应用 中的熵估计

取材：量子力学的基本概念。

参考文献

• Nielsen & Chuang.《量子计算与量子信息》第 2 章（约化密度算符与偏迹，§2.4.3）.
• J. Watrous. The Theory of Quantum Information. Cambridge University Press (2018).