量子 LDPC 码是稳定子码中”每个校验算符只涉及常数个物理比特、每个比特只参与常数个校验”的家族（low-density parity check 的量子版；用辛几何的语言，即校验矩阵的行重与列重都是有界常数）。相比表面码用 个物理比特（含测量辅助）换一个逻辑比特，好的 qLDPC 码用常数率（ 不随规模衰减）同时让码距线性增长——渐近上更省，代价是需要少量长程连接。
渐近图景
- 下界：二维几何局域码的码距上界为 （Bravyi–Poulin–Terhal 局域性限制，仅适用于二维布局；三维及以上几何布局不受此二维上界约束）。在二维平面内打破它必须引入长程连接；
- 里程碑：2009 年 Tillich–Zémor 的超图积码首次让常数率码达到 ；2021 年 Breuckmann–Eberhardt 的平衡积给出统一构造框架，Panteleev–Kalachev 的提升积随后构造出渐近 good（、）的量子码，Leverrier–Zémor 的量子 Tanner 码（2022）给出又一族实现——长期悬而未决的 qLDPC 猜想就此解决，属里程碑级进展。注意 good 码不再是”局域”的，长程连接正是它们换取效率的货币。
- 工程代表：IBM 的双变量自行车码（bivariate bicycle）（社区昵称 “gross code”）以 288 个物理比特（含测量辅助）编码 12 个逻辑比特，比同强度表面码省约一个数量级；已提出与超导平台兼容的布线架构，并经电路级噪声的数值模拟验证。
工程挑战
- 恒定权重校验仍需部分长程耦合：超导布线压力大，而离子/原子的非局域性反而是优势（见中性原子量子比特、离子阱量子比特）；
- 解码器要在线实时运行：表面码类用最小权重匹配、union-find 等图算法，LDPC 码则用 BP+OSD（置信传播+有序统计译码），算力与延迟是新瓶颈；
- 症状提取调度、魔术态蒸馏与逻辑门方案都比表面码欠成熟——这是当前研究最活跃的方向之一。
关联词条
参考文献
- J.-P. Tillich, G. Zémor. Quantum LDPC Codes with Positive Rate and Minimum Distance Proportional to the Square Root of the Blocklength. IEEE Trans. Inf. Theory 60, 1193 (2014). —— 超图积码。
- S. Bravyi, D. Poulin, B. Terhal. Tradeoffs for Reliable Quantum Information Storage in 2D Systems. Phys. Rev. Lett. 104, 050503 (2010). arXiv:0909.5200 —— 局域性上界。
- N. P. Breuckmann, J. N. Eberhardt. Balanced Product Quantum Codes. (2020). arXiv:2012.09271
- N. P. Breuckmann, J. N. Eberhardt. Quantum Low-Density Parity-Check Codes. PRX Quantum 2, 040101 (2021). arXiv:2103.06309 —— 综述。
- P. Panteleev, G. Kalachev. Asymptotically Good Quantum and Locally Testable Classical LDPC Codes. Proc. 54th ACM STOC, 375 (2022). arXiv:2111.03654
- A. Leverrier, G. Zémor. Quantum Tanner Codes. Proc. 63rd IEEE FOCS, 872 (2022). arXiv:2202.13641
- S. Bravyi, A. W. Cross, J. M. Gambetta, D. Maslov, P. Rall, T. J. Yoder. High-Threshold and Low-Overhead Fault-Tolerant Quantum Memory. Nature 627, 778 (2024). arXiv:2308.07915