码距与逻辑量子比特

一个 $[[n,k,d]]$ 量子码用 $n$ 个物理量子比特编码 $k$ 个逻辑量子比特，码距 $d$ 定义为最小非平凡逻辑算符的重量——即能把码空间”有意义地”映射到自身的最轻 Pauli 错误（等价地：把两个正交码字互相映射的最轻错误）。纠错能力由此确定：可检测 $d-1$ 个错误、纠正 $\lfloor (d-1)/2\rfloor$ 个任意位置的错误。

为什么是 ⌊(d−1)/2⌋

设两个错误 $E_a,E_b$ 的重量都 $\le t$。乘积 $E_a^{†}{E}_b$ 的重量 $\le 2t$。若 $2t<d$，则 $E_a^{†}{E}_b$ 不可能是非平凡逻辑算符，于是它要么把码空间映到正交子空间（症状可分辨 $a\ne b$），要么是稳定子（两者在码空间上作用相同，纠一个即纠全部）——这正是纠错条件允许恢复的情形。$2t\ge d$ 时则存在无法分辨又无法等同的错误对，纠错失败。

逻辑量子比特

逻辑比特不是”某一个特别好的物理比特”，而是整个码空间中的二维子空间，带自己的逻辑 Pauli 算符（重量 $\ge d$ 的陪集代表）。逻辑门有三种实现方式，成本迥异：

• 横贯/对称门：逐位作用，天然容错但受 Eastin–Knill 定理限制凑不齐通用集；
• 测码类（lattice surgery、码变形）：以多轮纠错周期为代价的 Clifford 门（表面码路线）；
• 注入类：非 Clifford 门靠魔术态蒸馏。

标度与界

• 逻辑错误率的指数压制：物理错误率 $p$ 低于阈值 $p_{th}$ 时，逻辑错误率近似按 $(p/p_{th}{)}^{(d+1)/2}$ 缩小（表面码的经验标度，$\Lambda \approx p_{th}/p$）；代价是每个逻辑比特的物理比特数随 $d$ 增长（表面码 $\sim d^2$，如 $d=25$ 的斑块约需千余物理比特含测量辅助）。
• 量子 Singleton 界：$n-k\ge 2(d-1)$——每增加一个码距至少要付出两个”校验比特”；五比特码 $[[5,1,3]]$ 恰好饱和它。
• 局域性限制：二维近邻布局下 $d=O(\sqrt{n})$（Bravyi–Poulin–Terhal），突破要靠长程连接（qLDPC 码的立论点）。

关联词条

• 概念：量子纠错、稳定子码、纠错条件、阈值定理

参考文献

• Nielsen & Chuang.《量子计算与量子信息》第 10 章（码参数、量子 Singleton 界）.
• A. G. Fowler et al. Surface Codes: Towards Practical Large-Scale Quantum Computation. Phys. Rev. A 86, 032324 (2012). arXiv:1208.0928
• S. Bravyi, D. Poulin, B. Terhal. Tradeoffs for Reliable Quantum Information Storage in 2D Systems. Phys. Rev. Lett. 104, 050503 (2010).