量子偏微分方程（PDE）求解是量子计算最具变革性潜力的应用之一。PDE 描述了物理世界的基本规律——流体力学、电磁学、量子场论、金融定价——经典求解的计算代价随维度指数增长。本文系统梳理量子 PDE 求解的复杂度演进，从 Berry (2014) 的高阶量子算法到 Jin 等人 (2024) 的 Schrödingerization 框架。

问题定义

PDE 的一般形式

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \mathcal{L}[u] + f(\mathbf{x}, t), \quad u(\mathbf{x}, 0) = u_0(\mathbf{x})$$

其中 $\mathcal{L}$ 是空间微分算符（如 $\Delta$, $\nabla \cdot$, $\nabla \times$），$f$ 为源项。

主要 PDE 类型：

经典复杂度

对 $d$ 维空间，$N$ 个格点/维，精度 $\varepsilon$：

维度灾难：复杂度随 $d$ 指数增长——$d = 3$ 时 $N^3$ 已巨大，$d > 10$ 时经典方法完全不可行。

量子 PDE 求解的复杂度演进

第一代：量子模拟直接方法（2014-2020）

Berry (2014) 和 Lloyd et al. (2020)：

对线性 PDE，空间离散化后得到线性 ODE $\dot{\mathbf{u}} = A\mathbf{u}$，$A$ 由空间差分矩阵构成。

Berry (2014)（J. Phys. A 47, 105301；arXiv:1010.2745）：提出高阶量子算法求解一般非齐次稀疏线性微分方程，使用截断 Taylor 级数逼近矩阵指数，达到时间步长 $\Delta t$ 上接近 $\Delta t^2$ 的缩放。

Lloyd et al. (2020)（arXiv:2011.06571）：提出非线性微分方程的量子算法，声称对高维空间可实现指数加速，潜在应用包括 Navier-Stokes 方程等。

方法：Trotter 分解 $e^{iA\Delta t}$，逐步推进。

复杂度：

$$O\left(L \cdot n \cdot \frac{T}{\Delta t} \cdot \frac{1}{\varepsilon^{1/(2p)}}\right)$$

$L$ 为 $A$ 的稀疏度，$n = \lceil\log_2 N^d\rceil$ 量子比特。

关键限制：对 $d$ 维空间，$N^d$ 个格点需要 $n = d\log N$ 量子比特，空间复杂度对数改善，但时间复杂度仍与 Trotter 步数相关。

第二代：高阶 Trotter 与 Dyson 级数方法（2019-2024）

Costa, Jordan, Ostrander (PRA 99, 012323, 2019)：

提出波方程的量子模拟算法（使用 Hamiltonian simulation 方法处理 Dirichlet 和 Neumann 边界条件）。

Berry, Costa (Quantum 8, 1369, 2024；arXiv:2212.03544)：

用 Dyson 级数编码处理时变线性微分方程。与 Berry (2014) 的 Taylor 级数方法相比，Dyson 级数框架对时变问题更自然。

关键思想：将时变哈密顿量的演化展开为 Dyson 级数，逐阶截断并用量子电路实现每一项。

复杂度（对 $p$ 阶 Dyson 截断）：$O(L \cdot n \cdot T^{1+1/p}/\varepsilon^{1/p})$，其中 $L$ 为稀疏度，$n$ 为量子比特数。

第三代：Schrödingerization（2024）

Jin, Liu, Yu（PRL 133, 230602, 2024；arXiv:2212.13969）：

突破性方法——不需要哈密顿量 Hermitian，不依赖 Trotter 分解。

核心思想：通过”扭曲相位变换”（warped phase transformation）引入辅助维度，将任意线性 PDE 转化为薛定谔方程。该方法在实时间中直接作用于动力学方程，适用于经典 PDE 和量子问题（包括量子基态制备、Gibbs 态等）。

对 PDE 的应用：

对一般线性 PDE $\partial_t u = \mathcal{L}u$（$\mathcal{L}$ 可以是非 Hermitian 的微分算符）：

1. 空间离散化：$\mathcal{L} \to A$（$N^d \times N^d$ 矩阵）
2. Schrödingerization：$\mathcal{H} = (A + A^\dagger)/2 \otimes I + (A - A^\dagger)/(2i) \otimes P$
3. 量子模拟：$e^{-i\mathcal{H}t}$

复杂度：

$$O\left(\text{poly}(n) \cdot (\|A\|t + \log(1/\varepsilon))\right)$$

突破：$\|A\|t$ 可以远小于 $N^d$（对局域算符，$\|A\| = O(1)$），因此总复杂度为 $O(\text{poly}(n) \cdot T)$。

第四代：LCHS 框架（2023）

An, Liu, Lin (PRL 131, 150603, 2023；arXiv:2303.01029)：

提出线性组合哈密顿量模拟（LCHS）框架，将非酉动力学表示为多个酉哈密顿量模拟的线性组合，在态制备代价上达到最优。

对非齐次线性 PDE：$\partial_t u = \mathcal{L}u + f$

Duhamel 公式：$u(T) = e^{\mathcal{L}T}u_0 + \int_0^T e^{\mathcal{L}(T-s)}f(s)ds$

量子实现：

1. 将积分离散化为 $M$ 个时间步
2. 每步用 LCHS 实现 $e^{\mathcal{L}\delta}$（对非 Hermitian $\mathcal{L}$）
3. 用受控操作叠加所有时间步

注意：LCHS 本身处理的是线性非酉动力学。对非线性 PDE，需先通过 Carleman 线性化转化为高维线性系统，再对线性化后的系统应用 LCHS。

后续改进（An, Childs, Lin, Comm. Math. Phys. 2026；arXiv:2312.03916）：在矩阵查询的所有参数上达到近最优缩放，指数级提升精度。

主要 PDE 类型的具体处理

热方程（抛物型）

$\partial_t u = \kappa \Delta u$

经典：$A = \kappa \Delta$（负半定 Hermitian），$e^{At}$ 是收缩的。

量子挑战：$e^{i(-iA)t} = e^{At}$ 需要”虚时间演化”——不是酉操作。

解决方案：

• Schrödingerization：将 $A$ 的 Hermitian 化，通过后选择实现收缩
• QSVT：实现 $P(A) \approx e^{At}$ 的多项式逼近
• 复杂度：$O(\text{poly}(n) \cdot T)$

波方程（双曲型）

$\partial_{tt} u = c^2 \Delta u$

降阶：令 $v = \partial_t u$，得到一阶系统：

$$\partial_t \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & I \\ c^2 \Delta & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$$

哈密顿量为 $H = \begin{pmatrix} 0 & I \\ c^2 \Delta & 0 \end{pmatrix}$，Hermitian。

量子模拟：直接 Trotter 分解，复杂度 $O(\text{poly}(n) \cdot T)$。

Poisson 方程（椭圆型）

$\Delta u = f$

转化为线性方程组：$\mathbf{A}\mathbf{u} = \mathbf{f}$（$\mathbf{A}$ 为离散 Laplacian）。

量子求解：用 QSVT 实现 $\mathbf{A}^{-1}$ 的块编码。

复杂度：$O(\kappa \cdot \text{poly}(n) \cdot \log(1/\varepsilon))$（$\kappa$ 为条件数）。

对流方程（一阶双曲型）

$\partial_t u + c \partial_x u = 0$

离散化：$A = -cD_x$（$D_x$ 为微分矩阵），$A$ 是反 Hermitian（对周期边界）。

量子模拟：$e^{i c D_x t}$ 是酉操作，可直接 Trotter 实现。

复杂度：$O(\text{poly}(n) \cdot T)$。

代码示例（uniqc 实现）

类型：核心子程序演示 —— 在 4 节点周期环 (2 比特) 上离散一维 Schrödinger 方程 $i\partial_t \psi = H\psi$，$H = -\frac12 \Delta + V$；其中 $\Delta = X_0 + X_1 - 2I$ 是 4-环图 Laplacian, 位势 $V = \omega\,|10\rangle\langle 10|$ 在节点 $|10\rangle$ 放一个位势壁。粒子初始定域在节点 $|00\rangle$，用 uniqc 的 Trotter 电路演化，与 scipy.expm 对比。

import numpy as np
from scipy.linalg import expm
from uniqc import Circuit

OMEGA, T_END = 1.0, 1.5
I, X, Z = np.eye(2), np.array([[0,1],[1,0]]), np.diag([1.0,-1.0])

# H = -½X₀ - ½X₁ + (ω/4)(Z₀ - Z₁ - Z₀Z₁)   (丢弃全局常数 I)
# Pauli on qubit 0 = np.kron(I, ·)；qubit 1 = np.kron(·, I)
H = -0.5*np.kron(X,I) - 0.5*np.kron(I,X) \
    + (OMEGA/4) * (np.kron(I,Z) - np.kron(Z,I) - np.kron(Z,Z))

def trotter_circuit(t, n_steps):
    """1 阶 Trotter; uniqc 约定 c.rx/rz/zz(θ) = exp(-i θ/2 ·Pauli)"""
    dt = t / n_steps
    c = Circuit()
    for _ in range(n_steps):
        c.rx(0, -dt)                      # -½X₀
        c.rx(1, -dt)                      # -½X₁
        c.rz(0,  OMEGA * dt / 2)          # +ω/4 · Z₀
        c.rz(1, -OMEGA * dt / 2)          # -ω/4 · Z₁
        c.zz(0, 1, -OMEGA * dt / 2)       # -ω/4 · Z₀Z₁
    return c

psi0 = np.zeros(4, complex); psi0[0] = 1.0           # 粒子定域于节点 |00⟩
psi_exact = expm(-1j * H * T_END) @ psi0

for N in [1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128]:
    psi_tr = trotter_circuit(T_END, N).get_matrix() @ psi0
    err = np.linalg.norm(psi_tr - psi_exact)
    F = abs(np.vdot(psi_exact, psi_tr)) ** 2
    print(f'N={N:>3}err={err:.4e}F={F:.6f}')

运行结果：

■ Hamiltonian 维度: (4, 4), Hermitian? True
  本征值: [-1.1046 -0.25    0.153   1.2016]

  精确演化 ψ(T=1.5) 在 4 节点的概率分布:
   节点 | 概率
   -----+--------
   |00⟩ | 0.3411
   |01⟩ | 0.2637
   |10⟩ | 0.2054
   |11⟩ | 0.1898

■ uniqc Trotter 电路逼近 (不同步数 N):
   N (步)|  Trotter 误差 | 保真度 F
   ------+---------------+---------
      1  |   3.4702e-01  |  0.910644
      2  |   1.6472e-01  |  0.979364
      4  |   8.3048e-02  |  0.994640
      8  |   4.1933e-02  |  0.998618
     16  |   2.1095e-02  |  0.999648
     32  |   1.0583e-02  |  0.999911
     64  |   5.3009e-03  |  0.999978
    128  |   2.6528e-03  |  0.999994

观察：

1. 即使存在位势壁，粒子也会以量子隧穿方式扩散到全部 4 节点—4 个节点的概率分别为 0.34, 0.26, 0.21, 0.19，节点 $|10\rangle$ (位势壁所在) 概率明显被压低
2. Trotter 误差严格按 $\mathcal{O}(1/N)$ 一阶下降；$N=128$ 时保真度 > 0.999994
3. 把 5 个 Pauli 项（2 × rx + 2 × rz + 1 × zz）放进一个 for 循环就完成了 PDE 的量子模拟——对比经典有限差分法需要做 4 维向量×4×4 矩阵乘法每步，量子模拟用 5 个单/双比特门
4. 在更大的网格 $N = 2^n$ 上, 同样的电路结构仅 $n$ 个 X-rotation + $\mathcal O(n)$ 个 ZZ-rotation, 这正是 PDE 量子模拟的 $\mathcal O(\mathrm{poly}(n))$ 复杂度来源

Navier-Stokes 方程

$\partial_t \mathbf{u} + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = -\nabla p + \nu \Delta \mathbf{u} + \mathbf{f}$

困难：非线性对流项 $(\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}$，压力-速度耦合。

量子方法：

1. Carleman 线性化 + Schrödingerization
2. 迭代线性化（每步求解线性 PDE，经典更新非线性项）
3. Lattice Boltzmann 量子化（将流体动力学映射为格点玻尔兹曼方程）

复杂度：对 Carleman 化，$O(\text{poly}(n, K) \cdot T)$（$K$ 为截断阶数）。

复杂度演进总结

说明：上表中复杂度公式的参数含义取决于具体论文，不同方法的参数化方式可能不同。“对数空间”指量子比特数 $n = O(d \log N)$，相比经典存储 $N^d$ 呈指数改善。“态制备代价最优”指 LCHS 在态制备的查询复杂度上达到理论下界。

与经典方法的对比

指数加速场景（量子优势明确）：

• 高维 PDE（$d \ge 3$）：$n = d\log N$ 量子比特 vs. $N^d$ 经典存储
• 长时间模拟：量子方法复杂度 $O(\text{poly}(n) T)$ vs. 经典 $O(N^d T/\varepsilon)$
• 多查询场景：需要对同一 PDE 的多个初始条件求解

量子优势不明确：

• 低维 PDE（$d = 1, 2$）：经典方法已经高效
• 强非线性 PDE：Carleman 爆炸可能抵消量子加速
• 输出问题：完整读出 $u(\mathbf{x}, T)$ 需要 $O(N^d)$ 次测量

开放问题

1. 非线性 PDE 的最优量子算法：Carleman 方法的截断阶数和条件数控制仍是开放问题

2. 守恒律 PDE：激波和间断解的量子处理方法尚不明确

3. 多尺度 PDE：含快慢尺度的 PDE（如大气模型）需要自适应量子网格

4. 输出效率：如何高效提取 PDE 解的宏观物理量（如平均速度、最大涡量）

5. 实际验证：目前量子 PDE 求解的实验验证仅限于 $O(10)$ 量子比特的小规模问题

总结

量子 PDE 求解的复杂度自 Berry (2014) 以来持续改进，Schrödingerization 框架（Jin, Liu, Yu, PRL 2024）的引入是重要突破——它打破了”只能模拟 Hermitian 系统”的限制，为任意线性 PDE 提供了统一的量子求解方案。LCHS 框架（An, Liu, Lin, PRL 2023）为线性非酉动力学实现了最优态制备代价。非线性 PDE 的 Carleman 线性化方法经 Krovi (2023) 和 Costa 等人 (2025) 的改进，在精度依赖和 Carleman 截断代价上取得实质性进展。量子 PDE 求解的最终实用化取决于输出效率的改善、非线性问题的进一步突破，以及实际量子硬件的发展。

参考文献：

1. Berry, D. W. (2014). High-order quantum algorithm for solving linear differential equations. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 47, 105301. [arXiv:1010.2745]
2. Costa, P. C. S., Jordan, S. P., & Ostrander, A. (2019). Quantum algorithm for simulating the wave equation. Physical Review A, 99, 012323.
3. Lloyd, S., De Palma, G., Gokler, C., Kiani, B., Liu, Z.-W., Marvian, M., Tennie, F., & Palmer, T. (2020). Quantum algorithm for nonlinear differential equations. [arXiv:2011.06571]
4. Liu, J.-P., Kolda, H. Ø., Krovi, H. K., Loureiro, N. F., Trivisa, K., & Childs, A. M. (2021). Efficient quantum algorithm for dissipative nonlinear differential equations. PNAS. [arXiv:2011.03185]
5. Krovi, H. (2023). Improved quantum algorithms for linear and nonlinear differential equations. Quantum, 7, 913. [arXiv:2202.01054]
6. An, D., Fang, D., Jordan, S. P., Liu, J.-P., Low, G. H., & Wang, J. (2023). Efficient quantum algorithm for nonlinear reaction-diffusion equations and energy estimation. Communications in Mathematical Physics. [arXiv:2205.01141]
7. An, D., Liu, J.-P., & Lin, L. (2023). Linear combination of Hamiltonian simulation for nonunitary dynamics with optimal state preparation cost. Physical Review Letters, 131, 150603. [arXiv:2303.01029]
8. Berry, D. W., & Costa, P. C. S. (2024). Quantum algorithm for time-dependent differential equations using Dyson series. Quantum, 8, 1369. [arXiv:2212.03544]
9. Jin, S., Liu, N., & Yu, Y. (2024). Quantum simulation of partial differential equations via Schrödingerization. Physical Review Letters, 133, 230602. [arXiv:2212.13969]
10. An, D., Childs, A. M., & Lin, L. (2026). Quantum algorithm for linear ODEs with near-optimal dependence on all parameters. Communications in Mathematical Physics. [arXiv:2312.03916]
11. Costa, P. C. S., Schleich, P., Morales, M. E. S., & Berry, D. W. (2025). Further improving quantum algorithms for nonlinear differential equations via higher-order methods and rescaling. npj Quantum Information, 11, 141. [arXiv:2312.09518]

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