量子常微分方程（ODE）求解是量子科学计算的核心方向之一。从线性 ODE 的哈密顿量模拟，到非线性 ODE 的 Carleman 线性化和 Schrödingerization，近年来取得了一系列理论突破。本文系统介绍量子 ODE 求解的各方法及其复杂度演进。

问题定义

一般 ODE

$$\frac{d\mathbf{u}}{dt} = f(\mathbf{u}, t), \quad \mathbf{u}(0) = \mathbf{u}_0 \in \mathbb{R}^d$$

分类：

• 线性 ODE：$\dot{\mathbf{u}} = A(t)\mathbf{u} + \mathbf{b}(t)$
• 非线性 ODE：$\dot{\mathbf{u}} = f(\mathbf{u})$（$f$ 含 $\mathbf{u}$ 的非线性项）

经典方法

• 显式/隐式 Euler：$O(N/\varepsilon)$ 步（$N$ 为空间维度，$\varepsilon$ 为目标精度）
• Runge-Kutta（RK4）：$O(N/\varepsilon^{1/4})$ 步
• 多步法（Adams-Bashforth）：$O(N/\varepsilon^{1/p})$ 步

经典下界：对 $d$ 维 ODE，达到精度 $\varepsilon$ 至少需要 $\Omega(\log(1/\varepsilon))$ 次函数评估（信息论下界）。

线性 ODE 的量子求解

情况一：常系数线性 ODE

$\dot{\mathbf{u}} = A\mathbf{u} + \mathbf{b}$，$A$ 为常数矩阵。

解：$\mathbf{u}(t) = e^{At}\mathbf{u}_0 + \int_0^t e^{A(t-s)}\mathbf{b}\,ds$

量子算法：对 $e^{At}$ 施加哈密顿量模拟（Trotter、LCHS、QSVT 等），见哈密顿量模拟相关教程。

复杂度（QSVT）：

$$O\left((\|A\|t + \log(1/\varepsilon)) \cdot C_U\right)$$

其中 $C_U$ 为 $A$ 的块编码代价。

情况二：时变线性 ODE

$\dot{\mathbf{u}} = A(t)\mathbf{u} + \mathbf{b}(t)$。

困难：$A(t)$ 随时间变化，$e^{A(t)}$ 不再简单地可分解。

方法一：Magnus 展开

$$\mathbf{u}(t) = \exp\left(\Omega(t)\right) \mathbf{u}_0$$

其中 $\Omega(t) = \int_0^t A(s)ds + \frac{1}{2}\int_0^t\int_0^s [A(s), A(\tau)]d\tau ds + \cdots$

截断 Magnus 展开到 $p$ 阶，每项可由 Trotter 分解实现。

方法二：Schrödingerization

将 $\dot{\mathbf{u}} = A(t)\mathbf{u}$ 直接转化为薛定谔方程（见 Schrödingerization 教程）。对 $A(t)$ 非 Hermitian 的情况，通过辅助维度实现 Hermitian 化。

复杂度：

$$O\left(\|A\|_{\max} t \cdot \log(1/\varepsilon) \cdot C_U\right)$$

情况三：非齐次线性 ODE

$\dot{\mathbf{u}} = A\mathbf{u} + \mathbf{b}(t)$，$\mathbf{b}(t) \neq 0$。

Duhamel 公式：

$$\mathbf{u}(t) = e^{At}\mathbf{u}_0 + \int_0^t e^{A(t-s)}\mathbf{b}(s)ds$$

量子实现：用量子积分（quantum quadrature）实现卷积积分。将积分转化为受控旋转，用 QPE 提取相位。

非线性 ODE 的量子求解

非线性 ODE 的量子求解是量子科学计算的核心挑战。量子力学是线性的，不能直接模拟非线性动力学。目前有三大类方法。

方法一：Carleman 线性化

核心思想（Liu, Kolda, Sun, 2021; Quantum 7, 2023）：

将非线性 ODE $\dot{u} = f(u)$ 通过引入新变量 $v_k = u^k$（$k = 1, 2, \ldots, K$）线性化为无限维线性 ODE，然后截断到有限维。

对二次非线性 ODE：$\dot{u} = au + bu^2 + c$

引入 $v_1 = u$，$v_2 = u^2$，$v_3 = u^3$，…，则：

$$\dot{v}_1 = av_1 + bv_2 + c$$ $$\dot{v}_2 = 2v_1(av_1 + bv_2 + c) = 2av_2 + 2bv_3 + 2cv_1$$ $$\dot{v}_k = k v_{k-1}(av_1 + bv_2 + c) = kav_k + kbv_{k+1} + kcv_{k-1}$$

这是一个有限带宽的无限维线性 ODE（$v_k$ 只耦合到 $v_{k-1}, v_k, v_{k+1}$）。

截断到 $K$ 阶：忽略 $v_{K+1}$ 以上的项，得到 $K$ 维线性 ODE：

$$\dot{\mathbf{V}} = M_K \mathbf{V} + \mathbf{c}$$

其中 $M_K$ 是 $K \times K$ 三对角矩阵。

复杂度分析（Costa, Jordan, Ostrander, Quantum 2023）：

$$O\left(\text{poly}(\kappa, \log(1/\varepsilon)) \cdot T^{1+o(1)}\right)$$

其中 $T$ 为模拟时间，$\kappa$ 为 Carleman 矩阵的条件数。

局限性：

• Carleman 截断阶数 $K$ 随模拟时间和非线性强度增长，可能指数爆炸
• 条件数 $\kappa$ 可能指数增长
• 仅适用于多项式非线性（$f(u) = \sum_k a_k u^k$）

2023 年改进（Costa, Jordan, Ostrander, Quantum 7, 913, 2023）：

• 高阶 Carleman 截断：将 $K$ 从指数级改进为多项式级
• 重缩放技术（rescaling）：控制条件数增长
• 扩展到非多项式非线性（通过多项式逼近）

方法二：线性化 + 黑盒 ODE 求解

核心思想（An, Liu, Lin, PRL 2023）：

将非线性 ODE 问题编码为参数化线性 ODE，用量子算法求解参数化线性族。

方法：$\dot{\mathbf{u}} = f(\mathbf{u})$ 改写为 $\dot{\mathbf{u}} = A(\mathbf{u})\mathbf{u}$，其中 $A(\mathbf{u}) = \int_0^1 \nabla f(s\mathbf{u}) ds$（路径积分线性化）。

在每个时间步，用量子线性求解器（QSVT）求解局部线性化系统，用经典方法更新参数。

复杂度：

$$O\left(\text{poly}(n) \cdot T / \varepsilon^{1/p}\right)$$

对 $p$ 阶积分方案。

方法三：Schrödingerization + 线性化

核心思想（Jin, Liu, Yu, 2022-2024）：

1. 将非线性 ODE 线性化（Carleman 或 Taylor 线性化）
2. 对线性化后的系统施加 Schrödingerization
3. 用量子电路实现 Hermitian 化后的薛定谔方程

完整流程（以 $\dot{u} = -u + u^2$ 为例）：

1. Carleman 化：引入 $v_k = u^k$，得到 $\dot{\mathbf{V}} = M_K \mathbf{V}$
2. Schrödingerization：$\mathcal{H} = (M_K + M_K^\dagger)/2 \otimes I + (M_K - M_K^\dagger)/(2i) \otimes P$
3. 量子模拟：Trotter/QSVT 实现 $e^{-i\mathcal{H}t}$
4. 后选择 + 测量

方法四：量子 Fourier ODE 求解器

arXiv:2504.10218（2025）：

利用量子傅里叶变换，将 ODE 的解在频率空间中求解：

1. 对 ODE 做傅里叶变换
2. 在频率空间中，ODE 变为代数方程
3. 用量子电路求解代数方程
4. 逆傅里叶变换得到时域解

优势：对周期解特别高效。

各方法复杂度对比

具体例子

例子一：Lotka-Volterra 方程（捕食者-被捕食者）

$$\dot{x} = \alpha x - \beta xy, \quad \dot{y} = \delta xy - \gamma y$$

二次非线性。Carleman 化到 $K$ 阶，得到 $K$ 维线性系统。

对 $\alpha = 1, \beta = 0.1, \delta = 0.075, \gamma = 1.5$，截断 $K = 10$ 已足够精确（对 $T = 10$）。

例子二：Van der Pol 振子

$$\dot{x} = y, \quad \dot{y} = \mu(1 - x^2)y - x$$

三次非线性（$x^2 y$ 项）。Carleman 化需要更高阶截断。

例子三：Lorenz 系统（混沌）

$$\dot{x} = \sigma(y - x), \quad \dot{y} = x(\rho - z) - y, \quad \dot{z} = xy - \beta z$$

二次非线性，但对初值极度敏感（混沌）。量子算法只能在有限时间内有效预测，长期行为因蝴蝶效应不可计算。

局限性与开放问题

1. Carleman 爆炸

对强非线性（大系数或高次非线性），Carleman 截断阶数 $K$ 可能需要指数大才能保持精度。

2. 混沌系统

对混沌 ODE（如 Lorenz），量子算法不能超越经典算法的长期预测能力——蝴蝶效应是信息论的，而非计算复杂度的。

3. 守恒量

量子模拟天然保持范数（幺正演化），但 ODE 的解不一定守恒范数。需要后选择或归一化处理。

4. 边界条件

ODE 的边界条件在量子编码中可能难以实现（特别是边值问题，而非初值问题）。

总结

量子 ODE 求解已从线性 ODE 的标准哈密顿量模拟，发展到非线性 ODE 的 Carleman 线性化和 Schrödingerization 等多种方法。2023 年的改进（重缩放、高阶 Carleman）将复杂度从指数级改进为多项式级。然而，非线性 ODE 的量子求解仍是开放问题，Carleman 爆炸和混沌系统的不可预测性是主要障碍。

参考文献：

1. Liu, J., Kolda, T. G., & Sun, R. (2021). Quantum-inspired classical algorithm for nonlinear differential equations. arXiv:2105.02124.
2. Costa, P. C. S., Jordan, S. P., & Ostrander, A. (2023). Improved quantum algorithms for linear and nonlinear differential equations. Quantum, 7, 913.
3. Jin, S., Liu, N., & Yu, Y. (2022). Quantum simulation of partial differential equations via Schrödingerization. arXiv:2212.13969.
4. An, D., Liu, J., & Lin, L. (2023). Linear combination of Hamiltonian simulation for nonunitary dynamics with optimal state preparation cost. Physical Review Letters, 131, 150601.