量子态制备（Quantum State Preparation, QSP）是量子计算中最基础的原语之一：将经典数据 $\mathbf{p} = (p_0, p_1, \ldots, p_{N-1})$（$N = 2^n$）编码为量子态 $|\psi\rangle = \sum_{j=0}^{N-1} \sqrt{p_j} |j\rangle$。它是 HHL、量子机器学习、量子化学等几乎所有量子算法的”输入端”。本文系统介绍通用态制备、稀疏态制备、特定分布态制备、基于 QRAM 的方案，以及近年来 PRL 上的最优深度方案。

问题定义

量子态制备问题：给定经典描述的向量 $\mathbf{v} = (v_0, v_1, \ldots, v_{N-1}) \in \mathbb{C}^N$（$N = 2^n$），构造量子电路 $U$ 使得：

$$U|0\rangle^{\otimes n} = |\psi\rangle = \frac{1}{\|\mathbf{v}\|} \sum_{j=0}^{N-1} v_j |j\rangle$$

核心挑战：

• 经典数据有 $N$ 个分量，量子电路只有 $O(\text{poly}(n))$ 参数——信息压缩必须在门结构中实现


• 任意态制备需要 $\Omega(N)$ 门（信息论下界）


• 对特定结构的态（稀疏、可分解、低秩），可以显著降低代价

方法一：通用量子态制备（基于门）

1.1 递归方法（Recursive Binary Splitting）

思想：反复将振幅二等分，用受控旋转实现”按比例分配”。

算法：

1. 对量子比特 1，施加 $R_y(\theta_1)$ 使得 $|0\rangle \to \sqrt{p_0 + p_1 + \cdots + p_{N/2-1}} |0\rangle + \sqrt{p_{N/2} + \cdots + p_{N-1}} |1\rangle$


2. 对量子比特 2（受控于量子比特 1 的状态），在”左半”和”右半”子空间中分别施加 $R_y$，进一步二分


3. 递归直到所有 $n$ 个量子比特都被处理

门数：$O(N)$ 个 CNOT + 单比特旋转（$N = 2^n$）。

深度：$O(n \cdot N / 2)$（并行化后）。

优点：构造直观，易于实现。

缺点：$O(N)$ 门数对大 $N$ 不可行。

1.2 基于多控旋转的方案

Shende, Bullock, Markov (2006) 给出了更紧的门数分析：

定理：任意 $n$-量子比特纯态可用 $O(2^n)$ 个 CNOT 门制备，且此界是紧的。

构造：用 Gray 码序遍历基态，每步只改变一个比特，交替施加多控 $R_y$ 和多控相位旋转。

门数：$2^n - 2$ 个 CNOT（下界），加上 $2^{n+1} - 2$ 个单比特旋转。

1.3 基于 QR 分解的方案

Plesch & Brukner (2011)：

将 $|\psi\rangle$ 的系数向量做 QR 分解，将酉变换 $U$ 分解为一系列 Givens 旋转——每个 Givens 旋转对应一个两量子比特门。

门数：$O(2^n)$ 个两量子比特门（理论最优）。

复杂度总结

关键结论：通用态制备的门数下界是 $\Omega(N)$——无法避免。以下方法针对特定结构降低代价。

方法二：稀疏量子态制备

2.1 定义

$s$-稀疏量子态 $|\psi\rangle = \sum_{j \in S} \alpha_j |j\rangle$，$|S| = s \ll N$。即只有 $s$ 个非零振幅。

目标：以 $O(s \cdot \text{poly}(n))$ 门制备 $|\psi\rangle$。

2.2 Grover-Rudolph 方法（2002）

Grover 和 Rudolph (2002) 提出了用于概率分布制备的递归方法，是稀疏态制备的经典方案。

思想：利用 $|\psi\rangle$ 的结构，递归地将概率质量分配到各子空间。

算法（对 $s$-稀疏态）：

1. 计算 $S$ 中各元素在二进制表示下的前缀结构


2. 对每个”分支点”（前缀决定进入左/右子空间的位置），计算条件概率


3. 用受控 $R_y$ 旋转实现按比例分配


4. 递归处理各子空间

门数：$O(s \cdot n)$（每个非零项贡献 $O(n)$ 个门）。

辅助比特：0。

优点：不需要辅助比特，构造简单。

缺点：需要经典预处理（计算条件概率），对动态更新不友好。

2.3 基于 Oracle 的稀疏态制备

思想：假设存在量子预言机 $O_S$ 能高效识别稀疏支撑 $S$，用 Grover 搜索找到 $S$ 中的元素。

算法：

1. 用 $O_S$ 在均匀叠加态中搜索 $S$ 中的元素


2. 对每个找到的 $|j\rangle \in S$，用受控旋转设定振幅 $\alpha_j$


3. 组合所有分支

门数：$O(s \cdot \sqrt{N/s} \cdot n)$（Grover 搜索），加上 $O(s \cdot n)$（振幅设定）。

2.4 最新进展：PRL 上的最优稀疏态制备

Zhang, Li, Yuan (PRL 129, 230504, 2022)：

提出了最优电路深度的量子态制备方案，对任意 $n$-量子比特态实现了 $O(n)$ 深度（最优）。

核心思想：将态制备问题转化为”并行多控门”的调度问题，通过 Gray 码遍历和门合并技术，将深度从 $O(N)$ 压缩到 $O(n)$。

门数：$O(N)$（信息论下界），但深度最优 $O(n)$。

对稀疏态：若 $|\psi\rangle$ 有 $s$ 个非零振幅，深度为 $O(\log s \cdot n)$，门数 $O(s \cdot n)$。

应用：

• HHL 算法中 $\vec{b}$ 的制备：$O(n)$ 深度


• 量子化学初态制备：$O(s \cdot n)$ 门

2.5 PRA 2024：简化稀疏态制备

Ramacciotti, Lefterovici & Rotundo (PRA 110, 032609, 2024)：

改进了 Grover-Rudolph 方法，针对稀疏态提出更简单的量子算法：

• 不需要辅助比特


• 门数 $O(s \cdot n)$


• 利用稀疏支撑的树形结构实现高效条件概率计算

方法三：特定分布的量子态制备

3.1 均匀分布态

$|U_N\rangle = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j=0}^{N-1} |j\rangle = |+\rangle^{\otimes n}$

门数：$n$ 个 Hadamard 门。

3.2 正态分布态

$|\mathcal{N}\rangle \propto \sum_j e^{-(j - \mu)^2 / 2\sigma^2} |j\rangle$

方法：利用 $e^{-x^2} \approx \cos(x/\sqrt{M})^M$（对大 $M$），可用 $O(M \cdot n)$ 个受控旋转近似。

改进方法（PRL 2022 思路）：对离散化后的高斯函数，用稀疏态制备方法处理，门数 $O(n^2)$（利用高斯函数的指数衰减，有效稀疏度为 $O(n \log n)$）。

3.3 幂律分布态

$|\text{pow}\rangle \propto \sum_j j^{-\alpha} |j\rangle$

方法：用 Grover-Rudolph 递归，每一层计算条件概率 $p_{\text{left}}/p_{\text{right}}$。

门数：$O(n^2)$（每层 $O(n)$ 门，共 $n$ 层）。

3.4 Qiskit/MPS 方法

对低纠缠态（矩阵乘积态，MPS），利用 MPS 分解将 $n$-量子比特态分解为 $O(n \cdot \chi^2)$ 个两比特门（$\chi$ 为键维度）。

门数：$O(n \cdot \chi^2)$，对低纠缠态 $\chi = O(1)$，门数 $O(n)$——指数改进。

方法四：基于 QRAM 的量子态制备

4.1 标准 QRAM 方案

若经典数据 $\mathbf{v}$ 存储在 QRAM 中，查询操作实现：

$$|j\rangle|0\rangle \to |j\rangle|v_j\rangle$$

态制备：

1. 制备均匀叠加 $\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_j |j\rangle|0\rangle$


2. 查询 QRAM：$\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_j |j\rangle|v_j\rangle$


3. 后选择（辅助量子比特投影到 $|v_j\rangle$ 的某个子空间）

代价：$O(\log N)$ 深度（QRAM 查询），但需要 $O(N)$ 存储量子比特。

4.2 CVO-QRAM（Conditional Value Oracle）

思想：不存储完整数据，只存储”值是否非零”的标志位，结合受控旋转实现振幅设定。

算法：

1. 用 CVO（条件值预言机）标识非零振幅的位置 $j \in S$


2. 对每个 $j \in S$，用受控旋转将振幅设为 $\alpha_j = v_j / \|\mathbf{v}\|$


3. 用幅度放大（Grover-like）放大所有非零分量

门数：$O(s \cdot n)$，$s$ 为非零分量数。

优点：避免了 QRAM 的 $O(N)$ 存储要求，只需 $O(s \cdot n)$ 量子比特和门。

4.3 QRAM 在量子化学中的应用

Sparse Quantum State Preparation for Strongly Correlated Systems (J. Phys. Chem. Lett., 2024)：

将 CVO-QRAM 方法应用于强关联化学体系的基态制备，实验验证到 28 量子比特：

• 使用 Efficient Symmetry-Preserving (ESP) Ansatz


• 通过 CVO-QRAM 加速初态制备


• 在 GPU 上模拟 $O(10^6)$ 参数的量子电路

方法五：PRL 2022 的最优深度方案（Zhang, Li, Yuan）

核心结果

定理（Zhang, Li, Yuan, PRL 129, 230504, 2022）：

任意 $n$-量子比特纯态 $|\psi\rangle = \sum_{j=0}^{2^n-1} \alpha_j |j\rangle$ 可用深度 $O(n)$ 的量子电路制备。

门数：$O(2^n)$（信息论下界）。

深度：$O(n)$（理论最优）。

技术要点

1. Gray 码并行化

传统方法按 Gray 码序逐个处理基态，深度 $O(N)$。Zhang 等人发现：多个”独立的”多控门可以并行执行。

2. 门合并

相邻的两个多控门，若控制条件只差一个比特，可以合并为一个更深的门——但不增加总深度。

3. 分层调度

将所有门按”作用的量子比特层”分组，每组内的门并行执行。总深度等于层数 $= O(n)$。

对稀疏态的改进

对 $s$-稀疏态（$s$ 个非零振幅），Zhang 的方法退化为：

• 深度 $O(s + n)$


• 门数 $O(s \cdot n)$


• 辅助比特 0

这在 $s \ll N$ 时是指数级改进。

方法六：变分量子态制备（VQSP）

思想

将态制备问题转化为变分优化问题：

$$\min_{\vec{\theta}} \left\| |\psi(\vec{\theta})\rangle - |\psi_{\text{target}}\rangle \right\|^2$$

用参数化量子电路 $U(\vec{\theta})$ 近似目标态。

优势

• 门数由参数化电路结构决定，不依赖于 $N$


• 适用于 NISQ 设备

局限

• 优化可能陷入局部最小值


• Barren Plateaus 问题


• 不保证精确制备

方法七：基于 QSVT 的态制备

思想

若 $|\psi\rangle = f(A)|0\rangle$（$A$ 为某矩阵，$f$ 为某函数），用 QSVT 实现 $f(A)$ 的块编码，作用于 $|0\rangle$。

应用

• Gibbs 态制备：$|\psi_\beta\rangle \propto e^{-\beta H/2} |0\rangle$


• 基态制备：$|\psi_0\rangle \propto (I - H/E_0)^{-1} |0\rangle$

门数

$O(\text{deg}(f_{\text{approx}}) \cdot C_{U_A})$，其中 $C_{U_A}$ 为块编码代价。

复杂度总结

实验实现

局限性

1. 通用态制备不可避免 $O(N)$ 门：信息论下界，任何方案都无法突破


2. 稀疏态需要已知支撑：若不知道哪些振幅非零，需要额外的搜索代价


3. QRAM 的物理可行性存疑：参见 QRAM 教程


4. 变分方法无法保证精确：对需要高精度的算法（如 QPE）不适用


5. 噪声累积：$O(N)$ 门的噪声累积可能使结果不可用

总结

量子态制备的代价高度依赖于目标态的结构：通用态需要 $O(N)$ 门（不可避免），稀疏态只需 $O(s \cdot n)$ 门，低纠缠态可用 $O(n)$ 门。Zhang 等人 (PRL 2022) 的最优深度方案将任意态制备的深度压缩到 $O(n)$，是近年来理论上的重要突破。在实际应用中，应根据目标态的结构选择合适的制备方案。

参考文献：

1. Grover, L., & Rudolph, T. (2002). Creating superpositions that correspond to efficiently integrable probability distributions. arXiv:quant-ph/0208112.


2. Sanders, Y. R., et al. (2019). Black-box quantum state preparation without arithmetic. Physical Review Letters, 122(2), 020502.


3. Zhang, X.-M., Li, T., & Yuan, X. (2022). Quantum state preparation with optimal circuit depth: Implementations and applications. Physical Review Letters, 129(23), 230504.


4. Montanaro, A. (2024). Simple quantum algorithm to efficiently prepare sparse states. Physical Review A, 110, 032609.



5. Shende, V. V., Bullock, S. S., & Markov, I. L. (2006). Synthesis of quantum-logic circuits. IEEE TCAD, 25(6), 1000-1010.

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