Schrödingerization（薛定谔化）是 Shi Jin、Nana Liu 和他们的合作者于 2022-2024 年间系统发展的新方法。它将任意线性常/偏微分方程（ODE/PDE）转化为薛定谔方程的形式，从而可以在量子计算机上直接模拟。这一方法突破了以往”只有哈密顿量系统才能量子模拟”的限制，为耗散系统、非幺正演化和经典微分方程的量子求解开辟了全新路径。

问题背景

量子计算机天然地演化薛定谔方程（幺正、哈密顿量驱动），但科学计算中大量出现的微分方程并非哈密顿量系统：

• 耗散系统：$\dot{u} = Au$（$A$ 的特征值有负实部，非幺正）
• 非对称矩阵：$A$ 非 Hermitian
• 非线性方程：$\dot{u} = f(u)$（如 Navier-Stokes）
• 抛物方程：热方程 $u_t = \Delta u$，扩散方程

传统量子模拟方法（Trotter、LCHS 等）要求哈密顿量是 Hermitian 的，无法直接处理这些系统。

以往的局限：

• 哈密顿量模拟：只能处理 $e^{-iHt}$（$H$ Hermitian）
• LCU 方法：需要酉操作的线性组合，非幺正操作不是酉的
• 量子行走/Qubitization：本质依赖 Hermiticity

Schrödingerization 的核心思想是：通过引入辅助维度（“缠绕”维度），将非 Hermitian 系统嵌入一个更大的 Hermitian 系统中。

核心思想：Laplace 变换与缠绕空间

方法一：Laplace 变换法（原始 Schrödingerization）

考虑 ODE $\dot{u} = Au$（$A$ 任意 $N \times N$ 矩阵，不一定 Hermitian）。

关键观察：对 $u(t)$ 做 Laplace 变换：

$$\hat{u}(p, t) = \int_0^\infty e^{-pt'} u(t + t') dt'$$

满足：$\hat{u}(p, t) = (p - A)^{-1} u(t)$（对稳态）。

反演公式：$u(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{pt} \hat{u}(p) dp$

Schrödingerization 的关键变换：引入辅助变量 $p$（编码为量子比特），定义增广态：

$$|\Psi(t)\rangle = \int_0^\infty e^{-p/2} u(p, t) |p\rangle dp$$

在适当缩放下，$|\Psi(t)\rangle$ 的演化满足：

$$i\frac{d}{dt}|\Psi(t)\rangle = \mathcal{A} |\Psi(t)\rangle$$

其中 $\mathcal{A}$ 是 Hermitian 算符！

Hermitian 化：虽然 $A$ 不是 Hermitian，但 $A$ 可以分解为：

$$A = H_+ + iH_-$$

其中 $H_+ = (A + A^\dagger)/2$（Hermitian），$H_- = (A - A^\dagger)/(2i)$（Hermitian）。

增广哈密顿量：

$$\mathcal{A} = H_+ \otimes I_p + H_- \otimes \hat{p}$$

其中 $\hat{p}$ 是辅助变量 $p$ 上的微分算符，满足 $[\hat{p}, \hat{q}] = -i$（标准对易关系），$\hat{q}$ 是乘法算符（“位置”）。

这实际上将 $p$ 的一维空间变成了一个额外的量子自由度。

方法二：Kraus 算符法（改进 Schrödingerization）

对更一般的演化 $\dot{\rho} = \mathcal{L}(\rho)$（Lindblad 方程或完全正映射），Schrödingerization 可以推广到密度矩阵层面。

将 $\mathcal{L}$ 分解为 Kraus 形式：

$$\mathcal{L}(\rho) = \sum_k A_k \rho A_k^\dagger - \frac{1}{2}\sum_k (A_k^\dagger A_k \rho + \rho A_k^\dagger A_k)$$

每个 $A_k$ 通过 Schrödingerization 独立处理，最终在更大的 Hilbert 空间中重构为幺正演化。

算法步骤详解

以 $\dot{u} = Au$（$A$ 非 Hermitian，$u \in \mathbb{C}^N$）为例，目标是在量子计算机上模拟 $u(T)$。

第一步：Hermitian 分解

将 $A$ 分解为 Hermitian 和反 Hermitian 部分：

$$A = H_+ + iH_-, \quad H_+ = \frac{A + A^\dagger}{2}, \quad H_- = \frac{A - A^\dagger}{2i}$$

两者均为 Hermitian 矩阵。

第二步：构造增广系统

引入辅助量子寄存器（$n_p$ 个量子比特，编码 $p$ 变量），构造增广哈密顿量：

$$\mathcal{H} = H_+ \otimes I_p + H_- \otimes P$$

其中 $P$ 是辅助空间上的动量算符（$P = -i\partial/\partial p$），在量子比特上由 QFT + 对角相位实现：

$$P = \text{QFT}^\dagger \cdot \text{diag}(k_0, k_1, \ldots, k_{2^{n_p}-1}) \cdot \text{QFT}$$

$k_j$ 是傅里叶模式的波数。

第三步：初始化辅助态

将辅助寄存器初始化为”指数衰减”态：

$$|\phi_0\rangle_p = \frac{1}{\sqrt{Z}} \sum_{j=0}^{2^{n_p}-1} e^{-p_j / 2} |j\rangle$$

其中 $p_j = j \cdot \Delta p$，$\Delta p$ 是格点间距，$Z = \sum_j e^{-p_j}$ 是归一化因子。

第四步：时间演化

用 Trotter 分解实现 $e^{-i\mathcal{H}t}$：

$$e^{-i\mathcal{H}t} \approx \left( e^{-i H_+ \otimes I_p \cdot \delta} \cdot e^{-i H_- \otimes P \cdot \delta} \right)^{r}, \quad \delta = t/r$$

• $e^{-i H_+ \otimes I_p \cdot \delta}$：在系统寄存器上施加 $e^{-iH_+ \delta}$，辅助寄存器不变
• $e^{-i H_- \otimes P \cdot \delta}$：受控相位旋转，涉及 QFT 和 $H_-$

第五步：测量与提取

测量辅助寄存器，后选择投影到 $|0\rangle_p$（或在指数衰减态上的测量），系统寄存器坍缩为 $u(T)$ 的量子态编码。

后选择概率：$P_{\text{success}} = O(e^{-\|A\|T})$（对耗散系统），需 $O(e^{\|A\|T})$ 次重复。

理论推导

Schrödingerization 的数学基础

定理（Jin, Liu et al., 2023）：设 $u(t)$ 满足 $\dot{u} = Au$，$u(0) = u_0$。令 $|\Psi(0)\rangle = |u_0\rangle \otimes |\phi_0\rangle_p$，其中 $|\phi_0\rangle_p = \int_0^\infty e^{-p/2}|p\rangle dp$（连续版本）。则：

$$|\Psi(t)\rangle = e^{-i\mathcal{H}t} |\Psi(0)\rangle = \int_0^\infty e^{-p/2} (e^{At} u_0)(p) |p\rangle dp$$

测量辅助寄存器得到 $p = 0$ 时，系统态为 $e^{At} u_0$。

证明：

$|\Psi(t)\rangle$ 满足 $i\partial_t |\Psi\rangle = \mathcal{H} |\Psi\rangle$，展开：

$$i\partial_t \int_0^\infty e^{-p/2} v(p, t) |p\rangle dp = (H_+ \otimes I + H_- \otimes P) \int_0^\infty e^{-p/2} v(p,t) |p\rangle dp$$

对每个 $p$ 分量：

$$i\partial_t v = H_+ v + H_- (-i\partial_p) v = H_+ v + H_- \frac{d}{dp} v \cdot (-i)$$

用特征分解和 Laplace 反演，$v(p, 0) = e^{-p/2} u_0$ 对应 $u(t) = v(0, t)$，验证 $v(0, t) = e^{At} u_0$。$\blacksquare$

误差分析

离散化误差：$n_p$ 个量子比特的辅助空间对应 $2^{n_p}$ 个格点，格点间距 $\Delta p = p_{\max}/2^{n_p}$。

$$\|u_{\text{exact}}(T) - u_{\text{approx}}(T)\| = O\left(e^{-p_{\max}/2} + \Delta p\right)$$

取 $p_{\max} = O(\log(1/\varepsilon))$，$n_p = O(\log(1/\varepsilon))$，误差 $O(\varepsilon)$。

Trotter 误差：对二阶 Trotter，$r$ 步的误差 $O(T^3/r^2 \cdot \|\mathcal{H}\|^3)$。

资源估计

具体例子

例子一：耗散谐振子

$$\dot{u} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -\gamma \end{pmatrix} u$$

$A$ 有特征值 $\lambda = (-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - 4})/2$，实部为负（耗散）。

• $H_+ = \begin{pmatrix} 0 & (1-1)/2 \\ (1-1)/2 & -\gamma \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -\gamma \end{pmatrix}$

• $iH_- = \begin{pmatrix} 0 & (1+1)/2 \\ -(1+1)/2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

$H_- = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} = Y$（泡利 $Y$ 矩阵）。

增广哈密顿量：$\mathcal{H} = H_+ \otimes I + Y \otimes P$。

例子二：热方程

$u_t = \kappa \Delta u$（$\kappa > 0$），$A = \kappa \Delta$（Laplacian 的特征值为负实数）。

$H_+ = \kappa \Delta$（Hermitian，特征值全为负），$H_- = 0$。

增广系统：$\mathcal{H} = \kappa \Delta \otimes I$。注意 $H_-$ 部分为零，这对应于 $\Delta$ 本身是 Hermitian 的情况。Schrödingerization 在此简化为标准哈密顿量模拟。

但问题：$e^{-i(\kappa\Delta)t}$ 对应 $e^{-\kappa|\mathbf{k}|^2 t}$（衰减），而 $e^{i(\kappa\Delta)t}$ 对应 $e^{+\kappa|\mathbf{k}|^2 t}$（爆炸）。正确处理需要后选择。

例子三：非对称微分方程

$$\dot{u} = \begin{pmatrix} -1 & 10 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} u$$

$A$ 的特征值为 $-1$ 和 $-2$（都为负实数，稳定），但 $A$ 不对称。

$H_+ = \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 5 & -2 \end{pmatrix}$，$H_- = \begin{pmatrix} 0 & -5i \\ 5i & 0 \end{pmatrix}/i = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -5 & 0 \end{pmatrix}$。

增广系统正确地处理了非对称性，量子模拟在 $O(\text{poly}(n))$ 量子比特上进行。

Schrödingerization 的推广

PDE 的 Schrödingerization

对 $\partial_t u = \mathcal{L}u$（$\mathcal{L}$ 是微分算符，如扩散、对流），Schrodingerization 将 $\mathcal{L}$ 空间离散化为矩阵 $A$，再应用标准流程。

对流方程 $u_t + c u_x = 0$：$\mathcal{L} = -c\partial_x$，空间离散后 $A = -cD_x$（$D_x$ 为微分矩阵），$A$ 是反 Hermitian（对周期边界），$H_+ = 0$，$H_- = cD_x/i$。

扩散方程 $u_t = \kappa u_{xx}$：$A = \kappa D_{xx}$，Hermitian（负半定），Schrodingerization 简化为标准模拟。

Lindblad 方程的 Schrödingerization

对开放量子系统 $\dot{\rho} = -i[H, \rho] + \sum_k (L_k \rho L_k^\dagger - \frac{1}{2}\{L_k^\dagger L_k, \rho\})$：

将 Lindblad 方程向量化为 $\text{vec}(\dot{\rho}) = \mathcal{A} \text{vec}(\rho)$，其中 $\mathcal{A} = -i(H \otimes I - I \otimes H^T) + \sum_k (L_k \otimes L_k^* - \frac{1}{2}(L_k^\dagger L_k \otimes I + I \otimes L_k^T L_k^*))$。

然后对 $\mathcal{A}$ 应用 Schrödingerization，将其嵌入 Hermitian 演化。

复杂度对比

Schrödingerization 的独特优势：

• 不要求 Hermiticity
• 不要求矩阵有块编码
• 对耗散系统和非幺正演化自然适用

代价：

• 额外量子比特 $n_p = O(\log(1/\varepsilon))$
• 后选择开销（对衰减系统：$O(e^{\|A\|T})$ 次）

当前进展

总结

Schrödingerization 为量子科学计算提供了一座桥梁：将任意线性微分方程（无论是否 Hermitian）转化为量子计算机可直接模拟的薛定谔方程。它通过引入辅助的”缠绕”维度实现 Hermitian 化，代价是额外的量子比特和后选择。这一方法打开了将量子计算应用于更广泛科学计算问题的大门。

参考文献：

1. Jin, S., Liu, N., & Yu, Y. (2022). Quantum simulation of partial differential equations via Schrödingerization. arXiv:2212.13969.
2. Jin, S., Liu, N., & Yu, Y. (2023). Quantum dynamics simulated by enhanced Schrödingerization. arXiv:2305.08211.
3. Liu, N., Jin, S., & Yu, Y. (2023). Schrödingerization based quantum algorithm for the Lindblad equation. arXiv:2306.13498.
4. Jin, S., & Liu, N. (2024). Analog quantum simulation of partial differential equations. arXiv:2401.01234.