Shor 九比特码

Shor 九比特码（1995）是历史上第一个完整的量子纠错码：用 9 个物理比特编码 1 个逻辑比特，可纠正任意单比特上的任意错误（$[[9,1,3]]$）。在此之前的想法要么只能纠比特翻转（比特翻转码），要么只能纠相位翻转；Shor 的诀窍是把两者级联。

编码与构造

$|0_L⟩=\frac{1}{2\sqrt{2}}(|000⟩+|111⟩{)}^{\otimes 3},|1_L⟩=\frac{1}{2\sqrt{2}}(|000⟩-|111⟩{)}^{\otimes 3}.$

读法是两级串联：内层把一个逻辑比特编码进三比特”猫态”叠加，外层再把这个叠加编码进三个块——内层结构防比特翻转（每块是一个三重重复），外层结构防相位翻转（块间的 $\pm$ 号是一个”符号版重复码”）。它是稳定子码，8 个生成元为：

$Z_1{Z}_2,Z_2{Z}_3,Z_4{Z}_5,Z_5{Z}_6,Z_7{Z}_8,Z_8{Z}_9(\text{块内宇称}),$ $X_1{X}_2{X}_3{X}_4{X}_5{X}_6,X_4{X}_5{X}_6{X}_7{X}_8{X}_9(\text{块间宇称}).$

逻辑算符为 $\overline{X}=Z^{\otimes 9}$、$\overline{Z}=X^{\otimes 9}$——注意与直觉相反：块间的”符号重复码”结构使 $Z$ 链翻转逻辑比特、$X$ 链充当逻辑相位（等价的轻量代表是 $Z_1{Z}_4{Z}_7$ 与 $X_1{X}_2{X}_3$）。

纠错如何工作

• 比特错误 $X_i$：被块内 $Z$ 型生成元捕获，症状精确到第 $i$ 个比特；
• 相位错误 $Z_i$：被块间 $X$ 型生成元捕获，症状只精确到哪个块——但这恰好够用：同一块内 $Z_1$ 与 $Z_2$ 相差稳定子 $Z_1{Z}_2$，在码空间上作用完全相同，纠谁都一样；
• 任意单比特错误按 Pauli 展开数字化为 $X/Z$ 分量后逐一处理（见量子纠错）。

退化码的原型

“同块内的 $Z_i$ 不必分辨”是退化性的第一个实例：$C_{ab}$ 矩阵不可对角化为单位阵的倍数（见纠错条件）。它也说明码距定义要用”最小非平凡逻辑算符重量”——Shor 码最轻的逻辑算符（如 $Z_1{Z}_4{Z}_7$——三个块各取一比特，恰好翻转逻辑比特，以及整块翻转的 $X_1{X}_2{X}_3$）重量为 3，码距即 3；而重量 2 的 $Z_1{Z}_2$ 是稳定子、不是逻辑算符。退化性使”最轻可区分错误的重量”可以低于码距，这是量子码独有的余量。作为对比，Steane 七比特码用更少比特达到同样纠错能力且是非退化的；两者都已被 CSS 码框架吸收为特例，其级联与容错思想进一步被表面码等拓扑码继承发展。

关联词条

• 概念：量子纠错、比特翻转码、稳定子码、纠错条件

参考文献

• P. W. Shor. Scheme for Reducing Decoherence in Quantum Computer Memory. Phys. Rev. A 52, R2493 (1995). —— 历史首篇。
• Nielsen & Chuang.《量子计算与量子信息》第 10 章（九比特码的完整症状分析）.