1. 量子比特和量子态 (Qubits and Quantum States)

在第一节课中，我们已经接触了量子态 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩。现在，我们正式将其命名为量子比特 (Qubit)，它是量子计算的基本单元。

1.1 单量子比特 (1-qubit)

回顾与深化：一个经典比特只能是 0 或 1。而一个量子比特可以是 $|0\rangle$，可以是 $|1\rangle$，也可以是它们的任意线性叠加。

$$ |\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle $$

• α, β: 复数，称为概率幅 (Probability Amplitudes)。
• 归一化: $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$，保证了测量总概率为1。
• 可视化: 它的所有可能状态可以完美地映射到我们上节课提到的布洛赫球 (Bloch Sphere) 的球面上。

一个量子比特所能承载的信息，远比一个经典比特丰富得多，因为它不仅包含了概率信息（由 θ 角决定），还包含了相位信息（由 φ 角决定）。

1.2 多量子比特的状态 (Multi-qubit States)

如果一个量子比特生活在一个二维的希尔伯特空间中，那么两个量子比特生活在怎样的空间里？

答案不是 2+2=4 维，而是 2×2=4 维。我们使用张量积 (Tensor Product, ⊗) 来描述多量子比特构成的复合系统。

• 两个量子比特的基态：
  一个比特有2个基态 ($|0\rangle, |1\rangle$)，两个比特则有 2² = 4 个组合基态：

  • $|0\rangle \otimes |0\rangle \equiv |00\rangle$
  • $|0\rangle \otimes |1\rangle \equiv |01\rangle$
  • $|1\rangle \otimes |0\rangle \equiv |10\rangle$
  • $|1\rangle \otimes |1\rangle \equiv |11\rangle$
• 矢量表示：
  如果 $|0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 和 $|1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$，那么：
  $$ |01\rangle = |0\rangle \otimes |1\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
  这个复合系统就存在于一个 4维的希尔伯特空间 中。

• 指数级增长的力量：
  对于 n 个量子比特，其状态空间维度为 2ⁿ。

  • 3 个量子比特 → 8 维空间
  • 10 个量子比特 → 1024 维空间
  • 300 个量子比特 → 2³⁰⁰ 维空间（这个数字比宇宙中所有原子的总数还要多！）

  这就是量子计算并行处理能力的来源：对 n 个量子比特的一次操作，相当于同时在 2ⁿ 个状态上进行了演化。

核心概念：量子纠缠 (Quantum Entanglement)

“幽灵般的超距作用” —— 爱因斯坦

并非所有多量子比特的状态都能简单地写成各个比特状态的张量积。有些状态是“不可分割”的，这便是量子纠缠。

• 贝尔态 (Bell State) 是最著名的纠缠态之一：
  $$ |\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle) $$

• 特性：

  • 你无法找到两个独立的单比特态 $|\psi_A\rangle$ 和 $|\psi_B\rangle$ 使得 $|\psi_A\rangle \otimes |\psi_B\rangle = |\Phi^+\rangle$。
  • 完美的关联性：如果你测量第一个量子比特，得到了 $|0\rangle$，那么你无需测量第二个，它瞬间、确定地会坍缩到 $|0\rangle$。反之亦然。
  • 这种关联性与两个比特相距多远无关，这就是爱因斯坦所说的“超距作用”。

纠缠是量子计算超越经典计算的关键资源之一。

2. 量子逻辑门 (Quantum Logic Gates)

经典计算机用逻辑门（如与、或、非）来处理比特。量子计算机则用量子门来处理量子比特。

一个量子门，在数学上就是一个作用在量子态矢量上的幺正矩阵 (Unitary Matrix)。回顾一下，幺正变换保证了演化过程是可逆的，且总概率守恒。

2.1 单比特量子逻辑门

这些门作用于单个量子比特，在布洛赫球上表现为对状态矢量的旋转。

• 泡利-X 门 (Pauli-X Gate)：量子版的“非门 (NOT Gate)”。
  $$ X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

  • 作用：$X|0\rangle = |1\rangle$, $X|1\rangle = |0\rangle$
  • 几何意义：绕布洛赫球的 X轴旋转180°。

• 泡利-Z 门 (Pauli-Z Gate)：相位翻转门。
  $$ Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

  • 作用：$Z|0\rangle = |0\rangle$, $Z|1\rangle = -|1\rangle$
  • 它不改变 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的测量概率，但会给 $|1\rangle$ 增加一个负号的相位。
  • 几何意义：绕布洛赫球的 Z轴旋转180°。

• 哈达玛门 (Hadamard Gate, H-Gate)：叠加态创造者。
  $$ H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$

  • 作用：$H|0\rangle = |+\rangle$, $H|1\rangle = |-\rangle$
  • 几何意义：绕 X 和 Z 轴的中间轴旋转180°。

2.2 双比特量子逻辑门

单比特门无法创造纠缠。我们需要至少包含两个比特的门来实现更复杂的逻辑。

• 受控非门 (Controlled-NOT, CNOT)：

  这是量子计算中最重要的双比特门。它有一个控制比特和一个目标比特。

  • 逻辑：如果控制比特是 $|1\rangle$，则将目标比特进行 X 操作（翻转）；如果控制比特是 $|0\rangle$，则什么也不做。
  • 矩阵表示 (控制比特为第一个，目标比特为第二个)：
    $$ \text{CNOT} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

  • 作用于基态：

    • CNOT $|00\rangle \rightarrow |00\rangle$
    • CNOT $|01\rangle \rightarrow |01\rangle$
    • CNOT $|10\rangle \rightarrow |11\rangle$ (翻转发生)
    • CNOT $|11\rangle \rightarrow |10\rangle$ (翻转发生)

  • 如何创造纠缠？ 让我们用 H 门和 CNOT 门来制造一个贝尔态：

    1. 从 $|00\rangle$ 开始。
    2. 对第一个比特应用 H 门：$ (H \otimes I)|00\rangle = (\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)) \otimes |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |10\rangle) $
    3. 再应用 CNOT 门：$ \text{CNOT} (\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |10\rangle)) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\text{CNOT}|00\rangle + \text{CNOT}|10\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle) $
       我们成功创造了纠缠态！

当然可以！这是一个非常重要的补充内容，能帮助学生将理论和实际计算联系起来。我会将这部分内容写成一个独立的、可以插入到讲义中的小节。

2.2.1 补充：单比特门如何作用于多比特系统？

我们已经学会了如何用 2x2 的矩阵（如 X, Z, H 门）来操作一个量子比特。但如果我们的系统有两个或更多量子比特，而我们只想操作其中一个，该怎么办？

例如，我们有一个双比特态 $|\psi\rangle = \alpha|00\rangle + \beta|01\rangle + \gamma|10\rangle + \delta|11\rangle$，我们想对第一个量子比特施加一个哈达玛门 H。这个操作通常记为 H₁。

我们有两种等价的方法来计算这个过程。

方法一：张量积构建大法 (The Tensor Product Method)

这是最形式化、最严谨的方法。它的核心思想是：构建一个作用于整个系统的大矩阵，这个大矩阵在目标比特上执行我们想要的操作，在其他所有比特上执行“什么都不做”的操作。

• “什么都不做”的操作：就是单位矩阵 I。
  $$ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
• 构建规则：要对一个 n-比特系统中的第 k 个量子比特施加门 U，我们需要构建一个 2ⁿ x 2ⁿ 的大矩阵，即：
  $$ U_{on\_k} = I \otimes \dots \otimes I \otimes \underset{\text{第k个位置}}{U} \otimes I \otimes \dots \otimes I $$

• 回到我们的例子：对双比特系统的第一个比特施加 H 门。

  • 构建操作矩阵：$H_1 = H \otimes I$
  • 计算张量积：
    $$ H \otimes I = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & 1\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ 1\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & -1\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} $$
  • 得到一个 4x4 的矩阵：
    $$ H_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$
• 进行计算：现在，我们将这个 4x4 矩阵乘以代表 $|\psi\rangle$ 的 4x1 列向量。
  $$ |\psi'\rangle = H_1 |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \alpha + \gamma \\ \beta + \delta \\ \alpha - \gamma \\ \beta - \delta \end{pmatrix} $$
  这个结果对应的新状态是：$\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha+\gamma)|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}(\beta+\delta)|01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha-\gamma)|10\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}(\beta-\delta)|11\rangle$。

方法二：线性展开巧算法 (The Linear Expansion Method)

这种方法更直观，尤其适合手算。它利用了算符的线性性质：对整个态的操作，等于分别对每个基态分量进行操作，然后将结果加起来。

核心思想：门只“看见”它要作用的那个比特，直接对那个比特的基态进行变换即可。

• 回到我们的例子：计算 $H_1 |\psi\rangle$

  1. 利用线性性展开：
     $$ H_1 |\psi\rangle = H_1(\alpha|00\rangle + \beta|01\rangle + \gamma|10\rangle + \delta|11\rangle) $$
     $$ = \alpha(H_1|00\rangle) + \beta(H_1|01\rangle) + \gamma(H_1|10\rangle) + \delta(H_1|11\rangle) $$

  2. 逐项计算：

     • 对于 $|00\rangle = |0\rangle \otimes |0\rangle$：H₁ 只作用于第一个 $|0\rangle$。
       $H_1|00\rangle = (H|0\rangle) \otimes |0\rangle = |+\rangle \otimes |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle) \otimes |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |10\rangle)$
     • 对于 $|01\rangle = |0\rangle \otimes |1\rangle$：H₁ 只作用于第一个 $|0\rangle$。
       $H_1|01\rangle = (H|0\rangle) \otimes |1\rangle = |+\rangle \otimes |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle) \otimes |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle + |11\rangle)$
     • 对于 $|10\rangle = |1\rangle \otimes |0\rangle$：H₁ 只作用于第一个 $|1\rangle$。
       $H_1|10\rangle = (H|1\rangle) \otimes |0\rangle = |-\rangle \otimes |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle) \otimes |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle - |10\rangle)$
     • 对于 $|11\rangle = |1\rangle \otimes |1\rangle$：H₁ 只作用于第一个 $|1\rangle$。
       $H_1|11\rangle = (H|1\rangle) \otimes |1\rangle = |-\rangle \otimes |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle) \otimes |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |11\rangle)$
  3. 合并同类项：将所有结果带回原式，并按 $|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle$ 的顺序重新组合。
     $$ |\psi'\rangle = \alpha\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |10\rangle) + \beta\frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle + |11\rangle) + \gamma\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle - |10\rangle) + \delta\frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |11\rangle) $$
     $$ = \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha+\gamma)|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}(\beta+\delta)|01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha-\gamma)|10\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}(\beta-\delta)|11\rangle $$

总结与建议

两种方法得到了完全相同的结果，这验证了它们的正确性。

• 张量积方法 是理解量子门在数学上如何扩展的理论基础，它对于编写计算机程序来模拟量子系统至关重要。
• 线性展开法 更符合我们对量子态作用的物理直觉，在笔和纸上进行推导时，它通常更快捷、更不容易出错。

强烈建议同学们在做练习时，熟练掌握第二种方法（线性展开法），因为它能更好地帮助你建立对量子操作的直观理解。

2.3 通用量子逻辑门 (Universal Quantum Gates)

我们是否需要无限多种类的量子门来实现任意的量子计算？

幸运的是，不需要。就像经典计算中的“与非门 (NAND)”是通用的一样，量子计算也有一套通用门组合。

定理：任意的单比特门，再加上 CNOT 门，就足以构建出任何可能的量子计算电路。

这意味着，我们只需要在物理上实现少数几种高精度的量子门，原则上就能执行任意复杂的量子算法。

3. 量子测量 (Quantum Measurement)

我们在第一节课讲了测量的基本概念（概率性、状态坍缩）。现在我们将其形式化，并扩展到不同的测量基。

3.1 在 Z-基 (计算基) 下的测量

这是最标准、最直接的测量方式。它回答的问题是：“这个量子比特是处于 $|0\rangle$ 状态还是 $|1\rangle$ 状态？”

• 单比特测量：
  对于态 $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$:

  • 以 $|\alpha|^2$ 的概率测得结果 0，系统坍缩到 $|0\rangle$。
  • 以 $|\beta|^2$ 的概率测得结果 1，系统坍缩到 $|1\rangle$。

• 多比特测量：
  对于一个双比特态 $|\psi\rangle = c_{00}|00\rangle + c_{01}|01\rangle + c_{10}|10\rangle + c_{11}|11\rangle$：

  • 以 $|c_{00}|^2$ 的概率测得结果 00，系统坍缩到 $|00\rangle$。
  • 以 $|c_{01}|^2$ 的概率测得结果 01，系统坍缩到 $|01\rangle$。
  • ...以此类推。

思考

如果我们对多比特态中的部分比特进行测量，会怎样？

3.2 在其他基下的测量

有时，我们需要回答不同的问题，比如：“这个量子比特是处于 $|+\rangle$ 状态还是 $|-\rangle$ 状态？” 这就叫在 X-基 下测量。

我们不需要制造新的测量仪器。技巧是：在标准的 Z-基测量前，对量子态做一个幺正变换，将我们感兴趣的基旋转到 Z-基上。

• 如何在 X-基 { $|+\rangle, |-\rangle$ } 下测量？

  • 我们知道哈达玛门 H 可以实现基的转换：$H|0\rangle=|+\rangle, H|1\rangle=|-\rangle$。它的逆变换也是它自己，$H|+\rangle=|0\rangle, H|-\rangle=|1\rangle$。
  • 步骤：要测量一个态 $|\psi\rangle$ 在 X-基下的结果，我们先对它做一个 H 门操作，然后再进行标准的 Z-基测量。

• 示例：在 X-基下测量态 $|0\rangle$。

  1. 初始态：$|\psi\rangle = |0\rangle$
  2. 基变换：应用 H 门，$H|\psi\rangle = H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$

  3. Z-基测量：对新状态进行测量。

     • 得到结果 0 的概率是 $|\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 = 50\%$。
     • 得到结果 1 的概率是 $|\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 = 50\%$。
  4. 结论：在 X-基下测量 $|0\rangle$ 态，会以各 50% 的概率得到 $|+\rangle$ 或 $|-\rangle$ 的结果。（因为 $|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle + |-\rangle)$）

3.4 物理量的期望值 (Expectation Value of Observables)

到目前为止，我们谈论的测量都是关于得到一个确定的0或1的经典结果，以及得到这个结果的概率。但在物理实验中，我们常常关心一个物理量在多次重复实验后的平均值，这就是期望值的概念。

在量子力学中，每个可测量的物理量（如能量、动量、自旋）都对应一个算符 (Operator)。对于量子比特来说，最重要的可观测量就是由泡利矩阵所代表的算符。

核心思想：算符的期望值，是其所有可能的测量结果，乘以得到该结果的概率，然后求和。

期望值的数学定义

对于一个处于状态 $|\psi\rangle$ 的系统，测量一个算符 M 的期望值，记作 $\langle M \rangle$，其计算公式为：

$$ \langle M \rangle = \langle\psi| M |\psi\rangle $$

这个简洁的公式背后，隐藏着“测量结果 × 概率”的物理意义。让我们以泡利-Z算符为例来拆解它。

单比特的期望值：$\langle Z \rangle$

Z 算符 $Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ 有两个本征值（可能的测量结果）：

• +1 (对应本征态 $|0\rangle$)
• -1 (对应本征态 $|1\rangle$)

现在，我们测量一个任意态 $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ 的 $\langle Z \rangle$ 值。

方法一：使用定义公式
$$ \langle Z \rangle = \langle\psi| Z |\psi\rangle = (\alpha^*\langle0| + \beta^*\langle1|) Z (\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle) $$
因为 $Z|0\rangle = |0\rangle$ 且 $Z|1\rangle = -|1\rangle$，上式变为：
$$ = (\alpha^*\langle0| + \beta^*\langle1|) (\alpha|0\rangle - \beta|1\rangle) $$
利用基的正交归一性 ($\langle0|0\rangle=1, \langle1|1\rangle=1, \langle0|1\rangle=0, \langle1|0\rangle=0$)：
$$ = \alpha^*\alpha \langle0|0\rangle - \beta^*\beta \langle1|1\rangle = |\alpha|^2 - |\beta|^2 $$

方法二：使用“测量结果 × 概率”

• 测量得到 +1 (即系统坍缩到 $|0\rangle$) 的概率是 $P(0) = |\alpha|^2$。
• 测量得到 -1 (即系统坍缩到 $|1\rangle$) 的概率是 $P(1) = |\beta|^2$。
• 期望值 = (测量结果1 × 概率1) + (测量结果2 × 概率2)
  $$ \langle Z \rangle = (+1) \cdot P(0) + (-1) \cdot P(1) = |\alpha|^2 - |\beta|^2 $$

两种方法结果完全一致！ 这说明 $\langle Z \rangle$ 的物理意义就是：测量得到+1的概率减去测量得到-1的概率。

• 如果态是 $|0\rangle$，$\langle Z \rangle = 1^2 - 0^2 = 1$ (每次都测到+1)。
• 如果态是 $|1\rangle$，$\langle Z \rangle = 0^2 - 1^2 = -1$ (每次都测到-1)。
• 如果态是 $|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$，$\langle Z \rangle = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 0$ (测到+1和-1的概率相等)。

多比特的期望值

我们可以将这个概念扩展到多比特系统。

1. 测量单个比特：$\langle Z_0 \rangle$ 或 $\langle Z_i \rangle$
符号 $\langle Z_i \rangle$ 表示在一个多比特系统中，测量第 i 个量子比特的 Z 算符的期望值。
这等价于计算算符 $M = I \otimes \dots \otimes I \otimes \underset{\text{第i个位置}}{Z} \otimes I \otimes \dots \otimes I$ 的期望值。

示例：对于纠缠态 $|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$，计算 $\langle Z_0 \rangle$。

• 方法一：公式法
  $ \langle Z_0 \rangle = \langle\Phi^+| Z_0 |\Phi^+\rangle = \langle\Phi^+| (Z \otimes I) |\Phi^+\rangle $
  $ (Z \otimes I) |\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} ( (Z|0\rangle \otimes I|0\rangle) + (Z|1\rangle \otimes I|1\rangle) ) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle - |11\rangle) $
  $ \langle Z_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\langle00| + \langle11|) \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle - |11\rangle) = \frac{1}{2}(\langle00|00\rangle - \langle11|11\rangle) = \frac{1}{2}(1 - 1) = 0 $

• 方法二：概率法
  当我们只测量第一个比特时，

  • 得到 0 (对应Z的测量值+1) 的概率是 $P(0_?) = |\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 = 1/2$。
  • 得到 1 (对应Z的测量值-1) 的概率是 $P(1_?) = |\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 = 1/2$。
  • $\langle Z_0 \rangle = (+1) \cdot P(0_?) + (-1) \cdot P(1_?) = 1/2 - 1/2 = 0$。

2. 期望值的和：$\langle Z_0 \rangle + \langle Z_1 \rangle$
这非常直接，就是分别计算两个期望值，然后相加。利用期望值的线性性质：
$$ \langle Z_0 + Z_1 \rangle = \langle Z_0 \rangle + \langle Z_1 \rangle $$
对于上面的例子 $|\Phi^+\rangle$，由于对称性，$\langle Z_1 \rangle$ 显然也等于0，所以 $\langle Z_0 \rangle + \langle Z_1 \rangle = 0$。

3. 期望值的乘积（关联期望值）：$\langle Z_0 Z_1 \rangle$
这个符号代表测量一个复合算符 $M = Z_0 Z_1 = Z \otimes Z$ 的期望值。这不再是测量单个比特，而是同时考虑两个比特的联合测量结果。
$Z \otimes Z$ 算符的测量结果是两个比特各自Z测量结果的乘积。

示例：再次使用 $|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$，计算 $\langle Z_0 Z_1 \rangle$。

• 方法一：公式法
  $ \langle Z_0 Z_1 \rangle = \langle\Phi^+| (Z \otimes Z) |\Phi^+\rangle $
  $ (Z \otimes Z) |\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} ( (Z|0\rangle \otimes Z|0\rangle) + (Z|1\rangle \otimes Z|1\rangle) ) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + (-1)|1\rangle \otimes (-1)|1\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle) = |\Phi^+\rangle $
  $ \langle Z_0 Z_1 \rangle = \langle\Phi^+|\Phi^+\rangle = 1 $

• 方法二：概率法
  我们需要考虑对整个系统进行测量的所有结果：

  • 测量得到 00：概率 $1/2$。Z的测量值分别是 (+1, +1)，乘积为 $(+1)\times(+1) = +1$。
  • 测量得到 01：概率 $0$。
  • 测量得到 10：概率 $0$。
  • 测量得到 11：概率 $1/2$。Z的测量值分别是 (-1, -1)，乘积为 $(-1)\times(-1) = +1$。
  • 期望值 = (乘积1 × 概率1) + (乘积2 × 概率2) + ...
    $ \langle Z_0 Z_1 \rangle = (+1) \cdot (1/2) + (+1) \cdot (1/2) = 1 $

物理意义：$\langle Z_0 Z_1 \rangle = 1$ 意味着两个比特的测量结果总是完全正相关。如果第一个测得+1，第二个也必然是+1；如果第一个是-1，第二个也必然是-1。这完美地量化了贝尔态 $|\Phi^+\rangle$ 的强关联特性！

总结：期望值的重要性

• 量化物理属性：期望值将抽象的量子态与可以在实验室中重复测量的物理量（如平均自旋）联系起来。
• 表征量子态：通过测量不同算符的期望值（如 $\langle X \rangle, \langle Y \rangle, \langle Z \rangle$），我们可以反推出量子态在布洛赫球面上的具体位置，这被称为量子态层析 (Quantum State Tomography)。
• 衡量关联性：像 $\langle Z_0 Z_1 \rangle$ 这样的关联期望值是描述和量化量子纠缠强度的有力工具。

• 算法核心：许多先进的量子算法（如VQE）的目标就是寻找一个能使某个特定算符（通常是代表系统能量的哈密顿量）的期望值达到最小的量子态。

本课总结

1. 量子比特 (Qubit) 是量子信息的基本单元，它的叠加态特性使其比经典比特更强大。
2. 多量子比特系统通过张量积描述，其状态空间随比特数指数增长，这是量子计算巨大潜力的来源。
3. 量子纠缠是一种深刻的量子关联，是无法用经典物理理解的、超越个体之和的系统特性。
4. 量子门是作用在量子比特上的幺正变换，用于操控量子态。单比特门和CNOT门构成了通用门集。
5. 测量是从量子世界获取经典信息的唯一途径。通过在测量前施加合适的基变换（如H门），我们可以探测不同基下的信息，从而揭示隐藏在相位中的计算结果。

在下一节课，我们将把今天学到的所有工具——量子比特、量子门和测量——组合起来，学习第一个完整的量子算法，亲身体验量子计算是如何解决实际问题的。