1. 量子的基本概念

1.1 量子化 (Quantization)

什么是量子化？简单来说，就是物质的状态不是连续的，而是分立的。

例1：原子的分立能级
- 原子中的电子只能处于一系列不连续的、特定的能量状态（能级）上，就像楼梯的台阶，而不能停留在台阶之间。
例2：光的双缝干涉实验
- 这个实验完美地揭示了光的 波粒二象性。
- 探测时（只开单缝）：光表现出 粒子性。一个个光子像小球一样通过缝隙。
- 不探测时（双缝全开）：光表现出波性，形成明暗相间的干涉条纹。
- 关键现象：即使是单个光子逐一发射，最终也会形成干涉条纹，这被称为“光子与自身发生干涉”，是量子世界独有的奇特行为。
例3：电子的干涉实验
- 不仅光子，电子这样的实物粒子也具有波动性。
- 电子束通过双缝同样会产生干涉条纹，这证实了 物质波（德布罗意波）的存在。

核心概念：波粒二象性

以上实验共同指向一个核心概念：微观粒子（如光子、电子）同时具有粒子和波的两种属性。

1.2 本质：量子叠加 (Quantum Superposition)

如何在一个统一的框架下理解看似矛盾的波和粒子？答案是 量子相干叠加。

本质：一个量子系统可以同时处于多种可能状态的“叠加”中。当进行观测时，它会随机地“坍缩”到其中一个确定的状态。
数学描述：我们使用一种叫做“狄拉克符号”的记法来表示量子态。例如，一个量子比特(qubit)的状态：
- 可以是一个确定的粒子态：$|0\rangle$ 或 $|1\rangle$
- 也可以是它们的叠加态（体现波动性）：
  $$ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle $$
- 这个叠加态表示该量子比特有50%的概率是 $|0\rangle$，50%的概率是 $|1\rangle$。
意义：通过叠加原理，量子力学将粒子（确定的状态）和波（多种可能性的叠加）的行为完美地统一在了一起。

1.3 总结：数学框架——希尔伯特空间 (Hilbert Space)

所有这些量子态（如$|0\rangle$, $|1\rangle$, $|\psi\rangle$）都存在于一个被称为希尔伯特空间的抽象数学空间中。这个框架为描述和计算量子世界的一切现象提供了坚实的数学基础。

2. 状态表示：希尔伯特空间 (Hilbert Space)

希尔伯特空间 是量子力学中用来描述量子态的数学舞台。简单来说，它是一个完备的、带有内积的线性复数空间。

为了理解这个概念，我们把它拆解成两个部分来学习：“复数空间” 和 “线性空间”。

2.1 为什么是“复数”空间？

量子态的系数是复数，而不仅仅是实数。
一个复数 $c = Re^{i\phi}$ 包含两个关键信息：
- 振幅 (Amplitude): $R$ (其平方 $R^2$ 决定了测量到该状态的概率)。
- 相位 (Phase): $\phi$ (决定了量子态之间如何发生干涉)。
根据欧拉公式，我们可以将其展开，这与复平面上的一个矢量相对应：
$$ c = R e^{i\phi} = R(\cos\phi + i\sin\phi) $$

(注：这是一个示意图，R是模长，φ是相角)

2.2 为什么是“线性空间”？

一个“空间”在数学上是由元素和作用于元素的操作所定义的。在线性代数中，我们最熟悉的就是由矢量和矩阵构成的空间。

元素 (单元)：量子态，表示为 矢量 (Vector)。
- 例如：$|\psi\rangle$
操作 (变换)：对量子态的演化或测量，表示为 线性算符 (Operator)，通常用 矩阵 (Matrix) 来实现。
- 例如：算符 $A$
变换过程：一个态 $|\psi_1\rangle$ 经过算符 $A$ 的作用，会转变为一个新的态 $|\psi_2\rangle$。
$$ |\psi_2\rangle = A |\psi_1\rangle $$

空间的属性

之所以称之为“空间”，是因为这个集合满足特定的数学规则：

封闭性 (Closure)
- 空间内的任意元素（矢量）进行线性组合后，结果仍然是空间内的一个元素。
- 物理意义：这就是量子叠加原理的数学体现。任何几个有效的量子态叠加后，形成的新状态依然是一个有效的量子态。
定义了距离/度量 (Metric)
- 空间中必须有一种方法来衡量两个元素（矢量）之间的“距离”或“相似度”。
- 在希尔伯特空间中，这是通过内积来实现的，内积可以定义范数 (Norm)，范数则可以定义距离。
- 例如，两个态矢量 $|\vec{x}\rangle$ 和 $|\vec{y}\rangle$ 之间的距离可以表示为：
  $$ \text{Distance} = ||\vec{x} - \vec{y}|| $$

算符的线性 (Linearity)

“线性”是对操作（算符）性质的严格约束，它保证了叠加原理的普适性。

算符作用于态的线性组合：
$$ A(\alpha|\psi_1\rangle + \beta|\psi_2\rangle) = \alpha(A|\psi_1\rangle) + \beta(A|\psi_2\rangle) $$
算符本身的线性组合：
$$ (\alpha A + \beta B)|\psi\rangle = \alpha(A|\psi\rangle) + \beta(B|\psi\rangle) $$

（注：$\alpha$ 和 $\beta$ 为任意复数）

2.3 基矢与维度 (Basis and Dimension)

在一个线性空间中，我们需要一个“坐标系”来定位和描述每一个矢量（量子态）。这个“坐标系”就是由一组 基矢 (Basis Vectors) 构成的。

基矢是一组最基本的、线性无关的矢量，空间中的任何矢量都可以表示为这组基矢的线性组合。

例：二维空间中的任意矢量
- 我们可以用两个最简单的基矢来表示它：
  $$ |0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad |1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
- 那么，任何一个二维矢量（比如一个量子比特的状态）都可以写成：
  $$ |\psi\rangle = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = x|0\rangle + y|1\rangle $$

标准正交基 (Orthonormal Basis)

在量子力学中，我们通常使用一种特殊的基矢——标准正交基。它满足两个条件：

正交性 (Orthogonal)：任意两个不同的基矢互相“垂直”，它们的内积为0。
- 例如：$\langle 0 | 1 \rangle = 0$
归一性 (Normalized)：每个基矢自身的“长度”为1。这个长度被称为 范数 (Norm)。
- 例如：$\langle 0 | 0 \rangle = 1$, $\langle 1 | 1 \rangle = 1$

维度 (Dimension)

空间的维度 = 构成这个空间所需的最少基矢的数量。

二维空间 (Qubit)：需要2个基矢，如 $\{ |0\rangle, |1\rangle \}$。
三维空间：需要3个基矢，如 $\{ \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \}$。

2.4 基的变换 (Change of Basis)

描述同一个矢量，我们可以选用不同的“坐标系”（基）。

同一个量子态，在不同的基下，其坐标表示（展开系数）是不同的。

标准基 (Computational Basis)
- 这是我们最常用的基，对应于直角坐标系。
- $|0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad |1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
对角基 / Hadamard基 (Diagonal Basis)
- 这是另一组常用的标准正交基，相当于将标准基旋转45°。
- $|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad |-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

(注：上图形象地展示了从标准基到对角基的变换，就像坐标轴旋转了45度)

重点概念：范数 (Norm)

定义：范数是矢量的“长度”或“大小”。对于一个量子态 $|\psi\rangle$，它的范数 $|| |\psi\rangle ||$ 是通过其与自身的内积来计算的：
$$ || |\psi\rangle || = \sqrt{\langle \psi | \psi \rangle} $$
物理意义：在量子力学中，所有合法的量子态矢量都必须是归一化的，即它们的范数必须等于1。这保证了所有可能性的概率之和为1。
为什么有 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 因子？
- 这是为了确保新的基矢 $|+\rangle$ 和 $|-\rangle$ 的范数为1。
- 以 $|+\rangle$ 为例，其范数的平方为：
  $$ || |+\rangle ||^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 $$

3. 数学工具：狄拉克符号与内积

为了方便地在希尔伯特空间中进行计算，物理学家狄拉克发明了一套简洁而强大的符号系统，即 狄拉克符号 (Dirac Notation) 或 Bra-Ket 符号。

3.1 狄拉克符号 (Bra-Ket Notation)

这套符号将矢量优雅地拆分为两部分：

右矢 (Ket): |ψ⟩
- 代表一个量子态，形式上是一个列矢量。
- 例如，一个任意的量子比特状态：
  $$ |\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle \quad \rightarrow \quad \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} $$
左矢 (Bra): ⟨ψ|
- 是右矢 |ψ⟩ 的共轭转置 (Conjugate Transpose)，形式上是一个行矢量。
- 这个操作也被记为 "dagger" (匕首符)，即 ⟨ψ| = (|ψ⟩)†。
- 计算过程：先对矢量中的每个复数元素取共轭 *，然后将列矢量转置为行矢量。
  $$ \langle\psi| = (\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix})^\dagger = \begin{pmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{pmatrix} $$

3.2 内积 (Inner Product)

内积是衡量两个矢量“相似度”或“投影关系”的运算。在狄拉克符号中，内积就是将一个左矢和一个右矢“并”在一起。

计算方式: ⟨φ|ψ⟩
- 将左矢 ⟨φ|（行矢量）与右矢 |ψ⟩（列矢量）进行矩阵乘法。
- 例如，对于 $|\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix}$ 和 $|\phi\rangle = \begin{pmatrix} \gamma \\ \delta \end{pmatrix}$：
  $$ \langle\phi|\psi\rangle = \begin{pmatrix} \gamma^* & \delta^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \gamma^*\alpha + \delta^*\beta $$
- 注意：内积的结果是一个标量（一个复数）。
与范数的关系：一个矢量与自身的内积，等于其范数的平方。
$$ \langle\psi|\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \alpha^*\alpha + \beta^*\beta = |\alpha|^2 + |\beta|^2 = |||\psi\rangle||^2 $$
- 根据上一页的归一化要求，对于任何一个合法的量子态，必须满足 ⟨ψ|ψ⟩ = 1。

3.3 幺正变换 (Unitary Transformation)

量子态的演化（比如经过一个量子门）是通过幺正变换来实现的。幺正变换由幺正矩阵 (Unitary Matrix) U 所描述。

核心特性：幺正变换保持矢量的范数不变。
- 也就是说，变换前后的矢量“长度”不变。
- 如果 $|\psi'\rangle = U|\psi\rangle$，那么 ⟨ψ'|ψ'⟩ = ⟨ψ|ψ⟩。
物理意义：量子系统的演化必须是概率守恒的。如果一个态在演化前是归一化的（总概率为1），那么演化后的态也必须是归一化的。幺正变换完美地保证了这一点。
数学定义：一个算符（矩阵）U 是幺正的，当且仅当它的共轭转置 U† 等于它的逆 U⁻¹。
$$ U^\dagger U = U U^\dagger = I $$
- 其中 I 是单位矩阵。这个性质确保了内积在变换前后保持不变。

4. 可视化与测量 (Visualization & Measurement)

4.1 布洛赫球 (Bloch Sphere)

我们如何直观地理解一个量子比特的状态 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩？布洛赫球提供了一个完美的几何表示。

任意一个单量子比特的状态，都可以被映射为三维空间中一个单位球球面上的一个点。

基本约定:
- 北极: 代表状态 $|0\rangle$。
- 南极: 代表状态 $|1\rangle$。
- 球面上任何其他的点都代表 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的一个叠加态。
用球坐标表示量子态:
- 为了将 α 和 β (两个复数) 映射到球面上，我们使用球坐标系中的两个角度 θ (极角) 和 φ (方位角) 来重新参数化量子态：
  $$ |\psi\rangle = \cos(\frac{\theta}{2})|0\rangle + e^{i\phi}\sin(\frac{\theta}{2})|1\rangle $$
- 角度的物理意义:
  - θ (theta): 决定了状态在 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 之间的“倾斜”程度，即它们的概率幅值。
    - 当 θ = 0 时，态为 $|0\rangle$ (北极)。
    - 当 θ = π 时，态为 $|1\rangle$ (南极)。
    - 当 θ = π/2 时，态为 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的等量叠加 (位于赤道上)。
  - φ (phi): 决定了两个基态之间的相对相位。它对应于状态在赤道平面上的旋转角度。

4.2 测量 (Measurement)

既然量子态可以处于复杂的叠加态，我们如何获取它的信息？答案是测量。但测量是一个会“破坏”原有状态的“粗暴”过程。

测量的本质: 通过仪器进行观测。在量子计算中，这通常指在某个确定的基（如 $\{|0\rangle, |1\rangle\}$）下进行测量。
一个生动的比喻:
测量一个叠加态 |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩，就好比用一把只能识别 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的尺子去量一个倾斜的矢量。你无法得到矢量的精确方向，只能得到它在这两个坐标轴上的投影。

状态坍缩 (State Collapse)

测量一个叠加态时，会发生状态坍缩：量子态会从叠加态随机地、不可逆地“坍缩”到其中一个基态上。

对于状态 $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$：
- 系统有 $|\alpha|^2$ 的概率 坍缩到状态 $|0\rangle$。
- 系统有 $|\beta|^2$ 的概率 坍缩到状态 $|1\rangle$。

关键后果：失去了相位信息

测量是不可逆的，一旦坍缩发生，原有的叠加态信息就丢失了。

在测量之前，状态 |ψ⟩ 同时包含了振幅信息 (|α|, |β|) 和相位信息 φ。
在测量之后，状态变成了确定的 $|0\rangle$ 或 $|1\rangle$。我们只得到了一个非0即1的经典结果，而关于它们之间原始的、精妙的叠加关系（尤其是相位）则完全丢失。

总结：量子计算的强大威力，正是在于利用测量前、量子态在叠加态下的并行演化（幺正变换）；而测量的目的，则是从这种复杂的演化中提取出我们想要的经典计算结果。

5. 确定性的演化 vs. 概率性的测量

核心思想：量子态的演化是确定的（遵循幺正变换），只有测量才是概率性的。

一个量子态本身是一个确定的数学对象。它的“不确定性”或“随机性”只在与测量仪器发生相互作用时才会体现出来。

我们将通过一个经典的例子——哈达玛门 (Hadamard Gate)——来深入理解这一点。

5.1 核心工具：哈达玛门 (Hadamard Gate, H-Gate)

哈达玛门是量子计算中最基本的量子门之一。它的作用是创造均匀的叠加态。

矩阵表示:
$$ H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$
对基态的作用:
- H 作用于 $|0\rangle$：
  $$ H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) \equiv |+\rangle $$
- H 作用于 $|1\rangle$：
  $$ H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle) \equiv |-\rangle $$

5.2 思想实验：相位信息是“隐藏属性”吗？

现在我们有两个截然不同的量子态：$|+\rangle$ 和 $|-\rangle$。它们唯一的区别是 $|1\rangle$ 分量前的相位（一个是 +，一个是 -）。我们如何区分它们？

情景一：直接在标准基 { $|0\rangle$, $|1\rangle$ } 下测量

测量态 $|+\rangle$：
- 得到 $|0\rangle$ 的概率为 $|\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 = 50\%$
- 得到 $|1\rangle$ 的概率为 $|\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 = 50\%$
测量态 $|-\rangle$：
- 得到 $|0\rangle$ 的概率为 $|\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 = 50\%$
- 得到 $|1\rangle$ 的概率为 $|-\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 = 50\%$

结论：无法区分！
如果只在标准基下进行测量，我们得到的统计结果是完全一样的。相位信息在这种测量方式下丢失了，我们无法分辨初始态是 $|+\rangle$ 还是 $|-\rangle$。

情景二：先通过 H 门演化，再测量

现在，我们在测量之前，先对这两个态施加一个哈达玛门（这是一个确定的幺正演化）。

演化态 $|+\rangle$：
- 一个重要的特性是 H 门是自身的逆，即 HH = I (单位矩阵)。
- 因此：
  $$ H|+\rangle = H(H|0\rangle) = (HH)|0\rangle = I|0\rangle = |0\rangle $$
演化态 $|-\rangle$：
- 同样地：
  $$ H|-\rangle = H(H|1\rangle) = (HH)|1\rangle = I|1\rangle = |1\rangle $$

结论：可以完美区分！
经过 H 门演化后：

如果初始态是 $|+\rangle$，测量结果将 100% 确定是 $|0\rangle$。
如果初始态是 $|-\rangle$，测量结果将 100% 确定是 $|1\rangle$。

5.3 总结：信息隐藏在相位中

这个实验完美地揭示了：

态是确定的：$|+\rangle$ 和 $|-\rangle$ 是两个完全不同、确定无疑的量子态。
演化是确定的：H 门对它们的作用是可预测且唯一的。
测量是概率性的，且依赖于基：相位信息（比如 + 和 - 的区别）就像一种“隐藏属性”，在某个测量基（标准基）下不可见，但在另一个测量基（哈达玛基）下则清晰可辨。通过正确的幺正变换（如 H 门），我们可以将这些“隐藏”的量子信息转换为经典世界里可测量的确定结果。

6. 相干性：量子与经典的根本区别

6.1 一个经典类比：掷骰子

让我们想象一个经典世界的概率事件：掷一枚硬币。

初始状态：硬币在空中旋转，我们可以说它处于一种“50%概率是正面，50%概率是反面”的混合状态。
“测量”：硬币落地，结果是“50%概率是正面，50%概率是反面”。
提出问题：我们能否对这枚硬币在测量前做一个操作，使它确定地恢复到“正面”的状态？
答案是不能。我们无法通过任何操作“撤销”这次随机事件——经典的概率与量子叠加是本质不同的。

这就是经典世界：一旦测量，信息就永久丢失。我们称之为“失去了相干性”。

6.2 量子的优越性：保持相干性 (Coherence)

现在回到我们在上一页讨论的量子态 $|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$。

它看起来也像是“50%是 $|0\rangle$，50%是 $|1\rangle$”。
但关键区别在于，我们可以通过一个确定的操作（哈达玛门 H），将它100%确定地变回 $|0\rangle$。
$$ H|+\rangle \rightarrow |0\rangle $$

这种能够保持不同可能性之间精确关系（尤其是相位），并允许我们通过确定性操作进行状态恢复和转换的能力，就是“量子相干性”。

6.3 量子计算最大的敌人：退相干 (Decoherence)

量子态的相干性是极其脆弱的。任何来自外部环境的微小扰动，都会破坏这种精妙的叠加关系。

破坏相干性 = 非预期的测量 = 环境干扰

什么是环境干扰？
- 一个 stray 光子撞击了你的量子比特。
- 周围磁场的微小波动。
- 设备温度的热振动。
后果：环境“偷看”了量子比特的状态（相当于进行了一次测量），导致其叠加态瞬间坍缩。量子计算赖以为生的相位信息就此丢失，量子比特退化成了一个普通的经典比特。这个过程就叫做 退相干 (Decoherence)。

为什么量子计算机需要在极端环境中运行？

“为什么要隔绝在接近 -273.15℃ (-459.67°F) 的环境？”

-273.15℃ 就是 绝对零度 (0 Kelvin)。
在这个温度下，原子的热运动几乎完全停止。
通过极低温和电磁屏蔽，我们可以创造一个极度“安静”的环境，最大限度地减少对量子比特的干扰，延长其保持相干性的时间（即“相干时间”），从而让量子计算有足够的时间去完成。

总结：量子计算的本质

量子计算 = 利用概率幅和隐藏的相位信息来进行计算。

准备：将量子比特制备到包含多种可能性的叠加态。
计算：通过一系列精确的幺正变换（量子门），巧妙地操控这些叠加态的相位，让错误答案的路径相互抵消（相消干涉），让正确答案的路径相互增强（相长干涉）。
测量：在计算的最后，对系统进行测量。由于相干操作，此时测量到正确答案的概率会变得非常高。